시리즈:수포자도 쉽게 알 수 있는 수학/평면기하학과 공간기하학

수학이 정말 쉬워서 저 수포자 그만둡니다.

문서의 내용이 너무 쉬워서 머리속에 쏙쏙 들어옵니다.

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수포자도 쉽게 알 수 있는 수학

기본 도형

• 점
• 직선
  • 반직선
  • 선분
• 각
• n각형
  • 정n각형
• 원
• 다면체
  • 정다면체
• 각뿔
• 원뿔
• n각기둥
• 원기둥
• 구

평면기하학

유클리드 기하

유클리드가 기원전 3세기 경에 집필한 책<원론>에서 체계를 정리한 기하학을 말한다. 사실 이를 제대로 하기 위해서는 점,선,합동 등의 무정의 용어(가장 기초적인 용어는 정의조차 안한다)와 이로 이루어진 공리들(유클리드 5공리, 쉽게 말해 증명할 필요도 없이 받아들일 수 있는 것이다. 현재는 수정되어 그 수가 훨씬 많다)로부터 공리보다는 덜하지만 그래도 척보기에 자명해보이는 명제들(예를들어 삼각형의 한 꼭지점에서 삼각형 내부로 나아가는 반직선은 그 맞은편 변과 만난다)을조차 증명해 나가야되지만...

그렇게 되면 중학교 3년 내내 유클리드 기하만 해야할지도 모른다.(사실 그러는 게 수학자체를 알기에는 더 좋을 수도 있다.) 그러니 학교에서는 척보기에 자명한(혹은 유명한) 사실들은 외우고 그를 이용한 문제를 풀면서 수학적 사고력을 기르는 연습을 한다.

도형의 합동

도형의 닮음

닮음의 조건은

• (SSS 조건) 세 쌍의 대응변의 길이의 비가 같다.
• (SAS 조건) 두 쌍의 대응변의 길이 비가 같고, 그 끼인각의 크기가 같다.
• (AA 조건) 두 쌍의 대응각의 크기가 같다.

학교에서는 이 세 조건중 하나만 만족하면 두 삼각형이 닮음이라고 하고 기호로 ∽ 또는 ~를 사용한다. 기호의 유래는 여기를 참고하시길. 그런데 왜 별로 쓸모없어 보이는 닮음을 배우느냐... 직각삼각형때문에 그렇다. 직각삼각형은 결국 한 각만 같으면 나머지 하나가 직각이므로 서로 모두 닮은 삼각형이기 때문이다. 직각삼각형의 한 각만 알 수 있다면, 각 변마다 비율이 일정해져 버린다. 이제 본격적인 삼각함수 공부에 예열을 거는 것이다.

닮음을 이용한 비율

• 길이비
• 넓이비
• 부피비

삼각형

삼각형의 성질

삼각형의 오심

• 무게중심
• 외심
• 내심
• 수심
• 방심

피타고라스 정리

피타고라스의 정리는 초딩도 알고 있을만큼 상당히 단순한 정리이다.

이 정리를 통해서 무리수의 존재를 대략이나마 유추할 수 있다. 예를 들어, 양변의 길이가 1인 직각삼각형이 있으면, 피타고라스의 정리에 의해 나머지 빗변의 길이가 제곱하면 2가 되는 숫자가 나와야 하는데, 이 숫자가 자연수 중에서도 존재하지 않고, 유리수 중에서도 존재하지 않는다는 사실을 깨달을 수 있다는 것. 이 [math]\displaystyle{ \sqrt 2 }[/math]가 무리수임을 보이는 증명은 귀류법의 대표적인 문항으로 수포자가 아니라면 아예 외워 두는 사람도 많으나, 수포자라면 일단은 보기만 하자. 귀류법 자체가 처음에는 상당히 난해하다.

증명: [math]\displaystyle{ \sqrt 2 }[/math]가 유리수라면 [math]\displaystyle{ \sqrt 2= \frac a b }[/math] ([math]\displaystyle{ b \neq 0 }[/math], [math]\displaystyle{ a }[/math], [math]\displaystyle{ b }[/math]는 서로 소인 정수, 즉 기약분수)꼴로 둘 수 있다. 양변을 제곱하면 [math]\displaystyle{ 2=\frac {a^2} {b^2} }[/math] 양변에 [math]\displaystyle{ b^2 }[/math]을 곱하면 [math]\displaystyle{ 2 b^2=a^2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 b^2 }[/math]이 2의 배수, 즉 짝수이므로 [math]\displaystyle{ a^2 }[/math]도 짝수이다. 제곱해서 짝수가 나오는 수는 짝수 뿐이므로(홀수의 제곱은 홀수), [math]\displaystyle{ a }[/math]는 짝수이고 [math]\displaystyle{ a=2k }[/math] ([math]\displaystyle{ k }[/math]는 정수)로 바꿀 수 있다. [math]\displaystyle{ a=2k }[/math]를 [math]\displaystyle{ 2 b^2=a^2 }[/math]에 대입해 정리하면 [math]\displaystyle{ b^2=2k^2 }[/math] 같은 방법으로 [math]\displaystyle{ b }[/math]는 2의 배수이므로 짝수이다. [math]\displaystyle{ a }[/math], [math]\displaystyle{ b }[/math] 모두 짝수이므로(어????), 모두 2로 나눌 수 있으니 모순이다. 따라서, [math]\displaystyle{ \sqrt 2 }[/math]는 위와 같은 기약분수꼴로 나타낼 수 없고, 유리수가 아니다.

훨씬 더 쉬운 증명은 아래와 같다(여전히 귀류법이긴 하다).

증명: [math]\displaystyle{ \sqrt 2 }[/math]가 유리수라면 적당한 정수 [math]\displaystyle{ a }[/math]와 [math]\displaystyle{ b \neq 0 }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \sqrt 2= \frac a b }[/math]로 둘 수 있다(기약분수가 아니어도 아무런 상관이 없다!). 양변을 제곱하여 정리하면 [math]\displaystyle{ a^2=2 b^2 }[/math]을 얻는다. 이제 양변의 소인수분해를 생각하면, 좌변에는 2가 짝수 개 있고, 우변에는 2가 홀수 개 있다. 따라서 모순이다. (왜냐면 예를 들어 [math]\displaystyle{ a }[/math]의 소인수분해에 2가 3개 있다고 하면 [math]\displaystyle{ a^2 }[/math]의 소인수분해에는 2가 6개 있어야 하기 때문이다. [math]\displaystyle{ b }[/math]도 마찬가지.) [math]\displaystyle{ \sqrt 2 }[/math]가 유리수라고 가정하니 모순이 생겼으므로, [math]\displaystyle{ \sqrt 2 }[/math]는 유리수가 아니고 무리수이다.

이 증명 자체를 이해하는 게 어려울지라도, 최소한 [math]\displaystyle{ \sqrt 2 }[/math]는 유리수가 아님을 명심하자.

그리스의 피타고라스 학파 중 한 사람인 히파수스란 자가 빗변의 길이가 자연수 꼴로 나타나지 않는 경우도 있음을 알아차렸고, 또 이를 학파 밖의 다른 사람에게 이야기를 해서 죽임을 당했다고는 하는데, 정확한 사실은 아닌듯 하니 확인은 불가!

또, 바로 밑에 있는 해석 기하에 유용하게 써 먹을라고 배우는 것이다. 우리가 좌표 평면에서 두 점 사이의 거리를 계산할 때 피타고라스의 정리를 사용해서 구하고 있다(고 교과서에도 나온다). 이게 가장 중요한 이유이다.

사인 법칙

삼각형 ABC에 대하여 외접원의 반지름을 R이라 할 때, [math]\displaystyle{ \frac{a} {\sin A} =\frac{b} {\sin B}=\frac{c} {\sin C}=2R }[/math]가 성립한다. 사인 법칙은 두 각과 마주보는 변의 크기에 대해 알려졌을 때 사용하면 좋다. 예를 들자면 삼각형에 대해 A와 B의 크기, b의 길이를 주고 a의 길이를 구할 때, 혹은 A의 크기와 a와 b의 길이가 주어졌을 때, B의 크기를 구할 때 사용하면 된다. 혹은 삼각형의 외접원의 길이 R과 A의 크기가 주어졌을 때 a의 길이를 구할 때, 혹은 외접원의 길이 R과 a의 길이가 주어졌을 때 A의 크기를 구할 때 사용하면 된다.

사인법칙을 물리학적으로 접근하면 라미의 정리가 된다.

코사인 법칙

삼각형의 세 변에 대하여 [math]\displaystyle{ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A }[/math]가 성립한다. 코사인 법칙은 두 변과 끼인 각의 크기가 주어지고 끼인 각에 대한 마주보는 변의 길이를 구할 때 사용한다. 암기할 때는 abc cbA 이런 식으로 외우면 좋다.

식을 변형 시키면 [math]\displaystyle{ \cos A=\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} }[/math]가 되는데 이 형태는 세 변의 길이가 주어졌을 때, 어느 각에 대한 크기를 구할 때 사용한다.

원

한 점(중심)에서 거리가 같은 점들의 집합을 원이라고 한다. 유클리드는 3번째 공리(자명해서 의심의 여지가 없는 것)로서 이러한 원의 존재성을 들었지만 현대에서는 굳이 공리로 들 필요가 없이 집합론의 결과로서 연역된다.

원의 정의는 선생들이 정의 중요성에 대해 말하면서 이 정의는 아느냐? 하고 물어보는 것중에 단골인듯 하다.별거 없으니 외워두자.

기초 정리

• 원의 결정 조건
  • 원의 중심의 위치와 반지름의 길이
  • 한 직선 위에 있지 않은 세 점
• 가장 긴 현은 원의 지름이다.
• 선대칭 도형이면서 점대칭 도형이다. 원의 중심을 지나는 모든 직선은 대칭축이 되며 원의 중심은 대칭중심이 된다.
• 현에 수직인 지름은 그 현을 이등분하며 현에 대한 호를 이등분한다.
• 하나의 원에서 2개의 원주각이 같음 [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow }[/math] 2개의 호의 길이가 같음 [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow }[/math] 2개의 현의 중심까지의 거리가 같음
• 한 호에 대한 원주각은 그 호에 대한 중심각의 절반이다.

원의 위치 관계

어떤 도형이 원의 안에서 접할 때를 원과 내접한다고 하고, 원의 밖에서 접할 때를 원과 외접한다고 한다.

두 원의 위치관계

• 두 원의 중심 사이의 거리 > 두 원의 반지름의 합

  두 원은 서로 떨어져 만나지 않는다

• 두 원의 중심 사이의 거리 = 두 원의 반지름의 합

  두 원은 외접한다

• 두 원의 반지름의 차 < 두 원의 중심 사이의 거리 < 두 원의 반지름의 합

  두 원은 두 점에서 만난다

• 두 원의 중심 사이의 거리 = 두 원의 반지름의 차(차가 0이 아닐 때)

  반지름이 작은 원이 반지름이 큰 원에 내접한다

• 0 < 두 원의 중심 사이의 거리 < 두 원의 반지름의 차(차가 0이 아닐 때)

  반지름이 작은 원이 반지름이 큰 원 안에 있다.

• * 두 원의 중심 사이의 거리 = 0

  두 원이 동심원 모양으로 위치해있다.