삼각함수

삼각함수(三角函數)는 수학에서 각도에 대한 함수로, 대표적인 초월함수이다. 중학교에서는 삼각비라는 이름으로 배우는데, 이는 직각삼각형에서 직각이 아닌 한 각이 같을 경우 항상 닮음이 되어 길이의 비가 일정하다는 점에서 착안하여 만들어졌다. 직각이 아닌 한 각을 기준으로 하여 각과 닿아있는 변을 밑변, 그렇지 않은 변을 높이라 했을 때,

• sin=높이/빗변
• cos=밑변/빗변
• tan=높이/밑변

으로 정의한다. 그런데 직각삼각형이라는 특성 상, 음의 각이나 직각을 넘어가는 각에 대해서는 비를 나타낼 수 없었고, 이에 따라 일반화를 좋아하는 수학자들이 직각삼각형이 아닌 단위원을 사용하여 일반적인 각도에 대한 삼각함수를 정의하게 된다.

단위원에서 [math]\displaystyle{ x }[/math]축의 양의 방향을 시초선으로, 원점과 단위원의 한 점을 지나는 반직선을 동경으로 하여 생기는 각을 [math]\displaystyle{ \theta }[/math]라 하면, 단위원의 점의 [math]\displaystyle{ x }[/math] 좌표를 [math]\displaystyle{ \cos\theta }[/math], [math]\displaystyle{ y }[/math] 좌표를 [math]\displaystyle{ \sin\theta }[/math]로 정의한다. 탄젠트는 [math]\displaystyle{ \frac{\sin\theta}{\cos\theta} }[/math]로 정의하게 된다. 이 방법으로는 모든 각에 대한 삼각비의 값을 구할 수 있다.

직각삼각형이나 단위원 외에도 무한 급수나 복소함수를 사용한 정의도 존재한다.

참고로 삼각함수는 안 쓰이는 곳이 없다. 대학에서 수학과 완전히 관련이 없는 전공이 아닌 이상 졸업할 때까지 삼각함수와 만나게 된다. 일상 생활을 모델링하는데 쓰이는 미분방정식은 물론이요, 함수를 비교적 간단하게 만들어주는 푸리에 변환에서도 주구장창 쓰이며, 좀 더 극단적으로 가면 막대기 하나로 건물의 높이를 잴 수도 있다. 삼각함수 그 자체는 별로 어려울 것이 없으니 열심히 공부하자.

종류

사인, 코사인, 탄젠트, 코시컨트, 시컨트, 코탄젠트

• 기본함수
  • sin
  • cos
  • tan

• 역수
  • csc(cosec) (sin의 역수)
  • sec (cos의 역수)
  • cot (tan의 역수)

삼각방정식과 부등식

삼각함수가 들어가있는 방정식과 부등식. 참고로 삼각부등식은 일반적으로 거리함수와 관련된 부등식을 말하니 헷갈리지 않도록 하자. 푸는 방법은 공통적으로 그래프를 활용한다. 먼저 아랫 문단의 공식을 사용하여 최대한 간단하게 정리한 뒤, 좌변과 우변의 그래프를 각각 그린다. 그 후 교점, 혹은 구간을 찾아 적으면 끝. 여기서 주의할 점은, 삼각방정식이나 부등식의 해는 정의역이 주어지지 않는한, 주기성을 띈다는 것이다. 따라서 답에도 주기성을 표현해 주어야 한다.

그래프로 그리기 힘든 경우, 좌변과 우변을 같은 함수로 맞춰준다. 즉, [math]\displaystyle{ \sin *=\sin ** }[/math]와 같은 식으로. 그 후 삼각함수 안의 것을 같다고 둔 뒤, 주기성을 표현해 주면 된다.

공식

기본

1. [math]\displaystyle{ \sin^2\theta+\cos^2\theta=1 }[/math]
2. [math]\displaystyle{ 1+\tan^2\theta=\sec^2\theta }[/math] 일하다 타면 시커매진다.
3. [math]\displaystyle{ 1+\cot^2\theta=\csc^2\theta }[/math] 일하다 코타면 코만 시커매진다.
4. [math]\displaystyle{ e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta }[/math] (오일러의 공식)
5. [math]\displaystyle{ \left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta }[/math] (드무아브르의 정리)

주기성

1. [math]\displaystyle{ \sin\left(x+2\pi\right)=\sin x }[/math]
2. [math]\displaystyle{ \cos\left(x+2\pi\right)=\cos x }[/math]
3. [math]\displaystyle{ \tan\left(x+\pi\right)=\tan x }[/math]

각도 변환

[math]\displaystyle{ \sin\left(x\pm\frac{n\pi}{2}\right) }[/math]에서,

1. [math]\displaystyle{ x }[/math]를 여각이라 가정하고, [math]\displaystyle{ x\pm\frac{n\pi}{2} }[/math]가 몇 사분면에 있는지 확인한다. 그 후 소위 "얼싸안고"에 의해 부호를 결정. [math]\displaystyle{ x }[/math]를 여각이라 가정해도 되는 이유는 [math]\displaystyle{ x }[/math]의 값에 상관없이 항상 성립하기 때문이다.
2. [math]\displaystyle{ n }[/math]이 짝수이면 [math]\displaystyle{ \sin }[/math] 그대로, 홀수이면 [math]\displaystyle{ \cos }[/math]으로.

[math]\displaystyle{ \cos\left(x\pm\frac{n\pi}{2}\right) }[/math]에서,

1. [math]\displaystyle{ x }[/math]를 여각이라 가정하고, [math]\displaystyle{ x\pm\frac{n\pi}{2} }[/math]가 몇 사분면에 있는지 확인한다. 그 후 부호를 결정.
2. [math]\displaystyle{ n }[/math]이 짝수이면 [math]\displaystyle{ \cos }[/math] 그대로, 홀수이면 [math]\displaystyle{ \sin }[/math]으로.

[math]\displaystyle{ \tan\left(x\pm\frac{n\pi}{2}\right) }[/math]에서,

1. [math]\displaystyle{ x }[/math]를 여각이라 가정하고, [math]\displaystyle{ x\pm\frac{n\pi}{2} }[/math]가 몇 사분면에 있는지 확인한다. 그 후 부호를 결정.
2. [math]\displaystyle{ n }[/math]이 짝수이면 [math]\displaystyle{ \tan }[/math] 그대로, 홀수이면 [math]\displaystyle{ \cot }[/math]으로.

• [math]\displaystyle{ \sin\left(-x\right)=-\sin x }[/math] (기함수)
• [math]\displaystyle{ \cos\left(-x\right)=\cos x }[/math] (우함수)
• [math]\displaystyle{ \tan\left(-x\right)=-\tan x }[/math] (기함수)

덧셈 정리

1. [math]\displaystyle{ \sin(x\pm y)=\sin x\cos y \pm\cos x\sin y }[/math] 사코코사
2. [math]\displaystyle{ \cos(x\pm y)=\cos x \cos y \mp\sin x \sin y }[/math] 코코마사사
3. [math]\displaystyle{ \tan(x\pm y)=\frac{\tan x \pm\tan y}{1\mp\tan x\tan y} }[/math] 일마탄탄타플탄

더 자세한 것은 삼각함수의 덧셈정리 참조.

합차 공식

1. [math]\displaystyle{ \sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\left(\sin\left(\alpha+\beta\right)+\sin\left(\alpha-\beta\right)\right) }[/math]
2. [math]\displaystyle{ \cos\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}\left(\sin\left(\alpha+\beta\right)-\sin\left(\alpha-\beta\right)\right) }[/math]
3. [math]\displaystyle{ \cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\left(\cos\left(\alpha+\beta\right)+\cos\left(\alpha-\beta\right)\right) }[/math]
4. [math]\displaystyle{ \sin\alpha\sin\beta=-\frac{1}{2}\left(\cos\left(\alpha+\beta\right)-\cos\left(\alpha-\beta\right)\right) }[/math]
5. [math]\displaystyle{ \sin A+\sin B=2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2} }[/math]
6. [math]\displaystyle{ \sin A-\sin B=2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2} }[/math]
7. [math]\displaystyle{ \cos A+\cos B=2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2} }[/math]
8. [math]\displaystyle{ \cos A-\cos B=-2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2} }[/math]

더 자세한 것은 삼각함수의 덧셈정리 참조.

미적분

1. [math]\displaystyle{ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sin x=\cos x }[/math]
2. [math]\displaystyle{ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\cos x=-\sin x }[/math]
3. [math]\displaystyle{ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\tan x=\sec^2x }[/math]
4. [math]\displaystyle{ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sec x=\sec x\tan x }[/math]
5. [math]\displaystyle{ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\csc x= -\csc x\cot x }[/math]
6. [math]\displaystyle{ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\cot x=-\csc^2x }[/math]

적분은 위에 것들을 거꾸로 하면 된다. 아래 공식은 위에 없는 것들.

1. [math]\displaystyle{ \int\tan x\,\mathrm{d}x=-\ln\left|\cos x\right| }[/math]
2. [math]\displaystyle{ \int\cot x\,\mathrm{d}x=\ln\left|\sin x\right| }[/math]
3. [math]\displaystyle{ \int\sec x\,\mathrm{d}x=\ln\left|\sec x+\tan x\right| }[/math]
4. [math]\displaystyle{ \int\csc x\,\mathrm{d}x=-\ln\left|\csc x+\cot x\right| }[/math]

매클로린 급수

이와 관련한 내용은 테일러 급수에서 볼 수 있습니다.

[math]\displaystyle{ \sin x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1} }[/math]

[math]\displaystyle{ \cos x =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n} }[/math]

복소함수로 정의하기

삼각함수는 복소함수로 정의할 수도 있다.

[math]\displaystyle{ \sin z =\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} }[/math]

[math]\displaystyle{ \cos z =\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2} }[/math]

[math]\displaystyle{ \tan z =\frac{\sin z}{\cos z}=\frac{e^{2iz}-1}{i(e^{2iz}+1)} }[/math]

역삼각함수

일반적으로, 삼각함수는 일대일 함수가 아니기 때문에 역함수가 존재하지 않는다. 하지만 정의역을 지정해 준다면 그 정의역 내에서는 일대일 함수가 되며, 따라서 역함수를 정의해 줄 수 있다. 역삼각함수는 ^-1을 붙여서 표기하거나 아니면 "arc"를 붙여서 표기하기도 한다.

• [math]\displaystyle{ \arcsin x }[/math]: 정의역을 [math]\displaystyle{ \left[-1,1\right] }[/math], 치역을 [math]\displaystyle{ \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] }[/math]로 함.
• [math]\displaystyle{ \arccos x }[/math]: 정의역을 [math]\displaystyle{ \left[-1,1\right] }[/math], 치역을 [math]\displaystyle{ \left[0,\pi\right] }[/math]로 함.
• [math]\displaystyle{ \arctan x }[/math]: 정의역을 [math]\displaystyle{ \left(-\infty,\infty\right) }[/math], 치역을 [math]\displaystyle{ \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) }[/math]로 함.

쌍곡선함수

이와 관련한 내용은 쌍곡선함수에서 볼 수 있습니다.

[math]\displaystyle{ \sinh,\,\cosh }[/math]와 같이 뒤에 "h"가 붙은 것들. 여기서 h는 hyperbolic의 약자이다. 삼각함수와 대체로 비슷한 성질을 지니지만, 정작 삼각함수는 들어가 있지 않다.

• [math]\displaystyle{ \sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2} }[/math]
• [math]\displaystyle{ \cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2} }[/math]
• [math]\displaystyle{ \tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x} }[/math]

[math]\displaystyle{ \sinh }[/math]와 [math]\displaystyle{ \tanh }[/math]는 기함수이며, [math]\displaystyle{ \cosh }[/math]는 우함수이다. 특히, [math]\displaystyle{ \cosh }[/math]는 현수선의 방정식으로 알려져있다.