알렉산드리아의 에우클레이데스(고대 그리스어: Εὐκλείδης ὁ Ἀλεξανδρεὺς 에우클레이데스 호 알렉산드레우스, 기원전 325년 경~기원전 265년 경)는 고대 그리스 또는 고대 이집트의 수학자이다. 영어식으로는 유클리드(영어: Euclid)라고 표기한다.
프톨레마이오스 1세 소테르의 재위 기간(기원전 323년~기원전 283년) 동안 프톨레마이오스 1세 소테르의 부탁으로 최초의 대학이자 도서관, 박물관이라고 불리는 알렉산드리아 대학에서 활동하였고 당시 알려진 정수론 및 기하학을 체계적으로 정리한 《유클리드의 원론》을 집대성한 업적을 가장 높게 평가받고 있다. 다른 이름으로 기하학 원본이라고 불리기도 한다. (원본은 그리스어로 문자라는 뜻이다)
흔히 수학에는 왕도가 없다는 말로도 유명하다.[1]
원론[편집 | 원본 편집]
이와 관련한 내용은 유클리드 원론에서 볼 수 있습니다.- 공리체계 : 유클리드 기하학을 대표하는 5개의 공리체계이다. 일단 내용 자체만 보면 너무나 쉬운 내용들이다. 아래의 다섯가지 내용만 가지고 이루어지는 기하학을 유클리드 기하학이라고 하기도 한다.
- 두 점이 주어졌을 때, 그 두 점을 통과하는 직선을 그을 수 있다.
- 임의의 선분을 직선으로 연장할 수 있다.
- 한 점을 중심으로 임의의 반경의 원을 그릴 수 있다.
- 모든 직각은 서로 같다.
- 임의의 직선이 두 직선과 교차할 때, 교차되는 각의 내각의 합이 두 직각(180도)보다 작을 때, 두 직선을 계속 연장하면 두 각의 합이 두 직각보다 작은 쪽에서 교차한다
문제의 다섯 번째 공리[편집 | 원본 편집]
위의 다섯 가지 공리를 보면 죄다 너무나 당연한 이야기들로 보인다. 특히 1~4번 공리는 딱히 의심할 여지가 없을 정도로 직관적이라는 것. 문제는 말이 긴(...) 다섯 번째 공리(평행선의 공리라고도 한다)인데, 어찌 보면 너무나 당연해 보이는데 앞의 네 가지 공리와는 달리 직관적이지 못해서 무언가 모순이 있는 게 아닌가 싶은 의심이 들게 만들어진 문구라는 것이다.역시나 말이 길어지면 뭔가 걸린다
이 제 5공리를 가지고 영국의 플레이페어가 발견한 공리(일명 플레이페어 공리)가 있는데, 이는
“ 직선 밖의 한 점을 지나는 직선 중 평행한 직선은 오직 하나뿐이다 “
이다. 도찐개찐
문제는 이 플레이페어 공리 역시 뭔지는 알겠는데(그려보면 바로 감이 온다) 이 당시쯤 되면 수학의 증명이 슬슬 중요해지기 시작하는 시기라서 수많은 수학자들이 이 공리를 증명하고자 덤벼들게 된 것이다.
이 공리가 의심을 사게 된 이유는 이것이 무한에 관한 것을 내포한다는 점 때문이다. 그러니까 내각의 합이 180도보다 작으면 두 직선이 만나긴 만나는데 도대체 어디서 만나냐는 것이다. 내각의 합을 180도에 근접시키면 시킬수록 두 직선의 만나는 점도 무한히 멀어져 간다. 따라서 우리가 이 명제가 실제인가를 관측하는데는 무한히 작은각을 관측할 수 있는 각도기와 무한히 긴 자가 필요하게 된다. 그러니 이게 과연 공리로서 받아들일 수 있었겠는가?(여기서의 공리는 유클리드가 가장 처음 사용한 공리로서의 의미이다. 즉 우리 세계에서 의심할 여지가 없는 사실. 현재는 좀 더 넒은 의미로서 쓰인다. 주의해서 써야 할 용어중 하나)
한편 이 공리를 증명 시도 과정에서 수학사의 중요한 전환점이 나타나게 되는데 그것이 바로 비유클리드 기하학이다. 직선적인 증명방법으로는 아무리 해도 증명할 수 없으니 아니라고 하고 모순을 찾는 시도(귀류법)가 생겨나게 되었다. 하지만 그러한 결과들은 비록 기존의 인식과는 다르긴 했지만 논리적으로서는 모순이 없었다. 따라서 공리라는 개념 그 자체가 의심받게 되는데, 즉 공리라고 불리는 자명한 것 조차 믿을 수 없다는 것.따라서 유클리드 기하학의 공리가 아닌 다른 공리들을 취한 비유클리드 기하학이란것도 말을 할 수가 있게 된 것이다. 가장 첫 번째로 나온 비유클리드 기하학인 쌍곡기하학(1~4번째 공리는 놔두고 5번째 공리만을 거꾸로 취했다. 구 내부에서 그리는 기하학이라고 보면 된다)이 상대성이론에 응용이 된다는걸 생각해보면 그럴듯하다.
결국 이 공리의 증명 노력은 나머지 공리들로서는 증명할 수 없다 라는 게 증명되면서 끝나게 된다.
각주
- ↑ 원래는 "기하학에는 왕도가 없다"이다.
