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==수열== | ==수열== | ||
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**초항 : 특별히 수열의 가장 첫번째 항 <math>a _1</math>을 초항이라고 한다. | **초항 : 특별히 수열의 가장 첫번째 항 <math>a _1</math>을 초항이라고 한다. | ||
*일반항 : ''n''번째 항을 ''n''에 대해서 나타낸 것. | *일반항 : ''n''번째 항을 ''n''에 대해서 나타낸 것. | ||
*:일반항을 알고 있다면 n에 숫자만 넣어서 얼마인지 바로 알 수 있다! <math>a_{n}=n</math>이라 하면, 이 수열은 1, 2, | *:일반항을 알고 있다면 n에 숫자만 넣어서 얼마인지 바로 알 수 있다! <math>a_{n}=n</math>이라 하면, 이 수열은 1, 2, 3, 4, 5, 6, …가 된다. | ||
*점화식 : 여러 항들 사이의 관계식. | *점화식 : 여러 항들 사이의 관계식. | ||
*:<math>a_{n+1}=a_{n}+1</math>같이 각 항들 사이의 관계를 나타내주는 식이다. 점화식과 초항을 알고 있다면 <math>a_{2}</math>를 구하고, <math>a_{2}</math>를 통해 <math>a_{3}</math>을 구하고, 이렇게 연쇄적으로 수열을 계속 구할 수 있다.<ref>가끔 이렇게 수열을 구하는 게 불을 붙인 게 번져나가는 것 같다 해서 점화(點火)식이라고 알고 있기도 하는데, 한자 자체가 점화식(漸化式)과는 다르다!</ref> | *:<math>a_{n+1}=a_{n}+1</math>같이 각 항들 사이의 관계를 나타내주는 식이다. 점화식과 초항을 알고 있다면 <math>a_{2}</math>를 구하고, <math>a_{2}</math>를 통해 <math>a_{3}</math>을 구하고, 이렇게 연쇄적으로 수열을 계속 구할 수 있다.<ref>가끔 이렇게 수열을 구하는 게 불을 붙인 게 번져나가는 것 같다 해서 점화(點火)식이라고 알고 있기도 하는데, 한자 자체가 점화식(漸化式)과는 다르다!</ref> | ||
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여기서 <math>R</math>은 제 <math>n</math>항이므로 <math>R=a+(n-1)d</math>를 위 3번식에 대입하면 <math>S_{n}=\frac{n\left \{ 2a+\left ( n-1 \right )d \right \}}{2}</math> | 여기서 <math>R</math>은 제 <math>n</math>항이므로 <math>R=a+(n-1)d</math>를 위 3번식에 대입하면 <math>S_{n}=\frac{n\left \{ 2a+\left ( n-1 \right )d \right \}}{2}</math> | ||
여담이지만 수학자 [[카를 프리드리히 가우스|가우스]]가 이 방법으로 1부터 100까지의 합을 구했다고 한다. '''10살 때, | 여담이지만 수학자 [[카를 프리드리히 가우스|가우스]]가 이 방법으로 1부터 100까지의 합을 구했다고 한다. '''10살 때, 11초만에, 암산으로.'''<ref>암산이라거나 10초만이라는 이야기는 과장되었을 수도 있다. 하지만 정말로 빠른 시간안에 풀어냈다는 건 확실한 사실. 정확히 이 이야기를 알고 있다면 [[수정바람]].</ref> | ||
1부터 100까지의 합은 1, 2, 3, …인 수열의 100번째까지의 합이니까 초항이 1이고 100번째 항이 100이므로 100×(1+100)/2=5050이 나온다. 숫자 계산 자체는 그렇게 어려운 것도 아니다. 10살이란 나이에 저 '뒤집어서 더한다' 라는 발상을 해낸 게 대단한 것. | 1부터 100까지의 합은 1, 2, 3, …인 수열의 100번째까지의 합이니까 초항이 1이고 100번째 항이 100이므로 100×(1+100)/2=5050이 나온다. 숫자 계산 자체는 그렇게 어려운 것도 아니다. 10살이란 나이에 저 '뒤집어서 더한다' 라는 발상을 해낸 게 대단한 것. | ||
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==급수== | ==급수== | ||
수열 <math>\left \{ a_{n} \right \}</math>의 첫째항부터 제<math>n</math>항까지의 합을 기호 <math>\sum </math>을 사용하여<br> | 수열 <math>\left \{ a_{n} \right \}</math>의 첫째항부터 제<math>n</math>항까지의 합을 기호 <math>\sum </math>을 사용하여<br /> | ||
<math>a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{n}=\sum_{k=1}^{n}a_{k}</math>이라고 표현합니다.<br> | <math>a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{n}=\sum_{k=1}^{n}a_{k}</math>이라고 표현합니다.<br /> | ||
=== 급수의 성질 === | === 급수의 성질 === | ||
두 수열 <math>\left \{ a_{n} \right \},\left \{ b_{n} \right \}</math>에 대하여.<br> | 두 수열 <math>\left \{ a_{n} \right \},\left \{ b_{n} \right \}</math>에 대하여.<br /> | ||
<math> | <math> | ||
\sum_{k=1}^{n}\left ( a_{k}+b_{k} \right )=\\ | \sum_{k=1}^{n}\left ( a_{k}+b_{k} \right )=\\ | ||
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\left ( a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n \right )+\left ( b_1+b_2+b_3+\cdots+b_n \right )=\\ | \left ( a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n \right )+\left ( b_1+b_2+b_3+\cdots+b_n \right )=\\ | ||
=\sum_{k=1}^{n}a_k+\sum_{k=1}^{n}b_k | =\sum_{k=1}^{n}a_k+\sum_{k=1}^{n}b_k | ||
</math><br> | </math><br /> | ||
또 상수 c에 대하여.<br> | 또 상수 c에 대하여.<br /> | ||
<math> | <math> | ||
\sum_{k=1}^{n}ca_k=ca_1+ca_2+ca_3+\cdots+ca_n\\ | \sum_{k=1}^{n}ca_k=ca_1+ca_2+ca_3+\cdots+ca_n\\ | ||
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이하 내용은 [[거듭제곱의 합]] 문서를 참조하세요. | 이하 내용은 [[거듭제곱의 합]] 문서를 참조하세요. | ||
==== <math>\sum_{k=1}^{n}k</math> ==== | ==== <math>\sum_{k=1}^{n}k</math> ==== | ||
<math>\sum_{k=1}^{n}k=1+2+3+\cdots+n=\frac{n\left ( n+1 \right )}{2}</math><br> | <math>\sum_{k=1}^{n}k=1+2+3+\cdots+n=\frac{n\left ( n+1 \right )}{2}</math><br /> | ||
이건 위 공식에서 그냥 첫째항과 공차에 각각 1 대입하면 나옵니다. | 이건 위 공식에서 그냥 첫째항과 공차에 각각 1 대입하면 나옵니다. | ||
==== <math>\sum_{k=1}^{n}k^2</math> ==== | ==== <math>\sum_{k=1}^{n}k^2</math> ==== | ||
항등식 <math>\left ( x+1 \right )^{3}-{x}^{3}=3{x}^{2}+3x+1</math>의 <math>x</math>에<br> | 항등식 <math>\left ( x+1 \right )^{3}-{x}^{3}=3{x}^{2}+3x+1</math>의 <math>x</math>에<br /> | ||
<math>1,2,3,\cdots,n</math>을 차례로 대입해 봅시다.<br> | <math>1,2,3,\cdots,n</math>을 차례로 대입해 봅시다.<br /> | ||
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\begin{cases} | \begin{cases} | ||
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& x=n,\left ( n+1 \right )^3-n^3=3\times n^2+3\times n+1 | & x=n,\left ( n+1 \right )^3-n^3=3\times n^2+3\times n+1 | ||
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싸그리 더하면.<br> | 싸그리 더하면.<br /> | ||
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& x=n,\left ( n+1 \right )^3\bcancel{-n^3}=3\times n^2+3\times n+1 | & x=n,\left ( n+1 \right )^3\bcancel{-n^3}=3\times n^2+3\times n+1 | ||
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<math>\left ( n+1 \right )^{3}-1^3=3\sum_{k=1}^{n}k^2+3\sum_{k=1}^{n}+3\sum_{k=1}^{n}1</math><br> | <math>\left ( n+1 \right )^{3}-1^3=3\sum_{k=1}^{n}k^2+3\sum_{k=1}^{n}+3\sum_{k=1}^{n}1</math><br /> | ||
그런데 <math>\sum_{k=1}^{n}=\frac{n\left ( n+1 \right )}{2},\sum_{k=1}^{n}1=n</math><br> | 그런데 <math>\sum_{k=1}^{n}=\frac{n\left ( n+1 \right )}{2},\sum_{k=1}^{n}1=n</math><br /> | ||
따라서.<br> | 따라서.<br /> | ||
<math>\left ( n+1 \right )^3-1^3=3\sum_{k=1}^{n}k^2+3\times \frac{n\left ( n+1 \right )}{2}+n</math><br> | <math>\left ( n+1 \right )^3-1^3=3\sum_{k=1}^{n}k^2+3\times \frac{n\left ( n+1 \right )}{2}+n</math><br /> | ||
<math>3\sum_{k=1}^{n}k^2=\left ( n+1 \right )^3-\frac{3n\left ( n+1 \right )}{2}-\left ( n+1 \right )=\frac{n\left ( n+1 \right )\left ( 2n+1 \right )}{6}</math> | <math>3\sum_{k=1}^{n}k^2=\left ( n+1 \right )^3-\frac{3n\left ( n+1 \right )}{2}-\left ( n+1 \right )=\frac{n\left ( n+1 \right )\left ( 2n+1 \right )}{6}</math> | ||
입니다. | 입니다. | ||
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=== 여러 가지 수열의 무한급수 === | === 여러 가지 수열의 무한급수 === | ||
==== 무한등비급수 ==== | ==== 무한등비급수 ==== | ||
초항이 a이고 공비 r이 <math>\left | r \right |<1</math>인 등비수열의 무한급수를 구해 봅시다.<br> | 초항이 a이고 공비 r이 <math>\left | r \right |<1</math>인 등비수열의 무한급수를 구해 봅시다.<br /> | ||
자,초항이 a이고 공비가 r<ref><math>\left | r \right |<1</math></ref>인 등비수열 <math>\left \{ a_n \right \}</math>의 합은 다음과 같습니다.<br> | 자,초항이 a이고 공비가 r<ref><math>\left | r \right |<1</math></ref>인 등비수열 <math>\left \{ a_n \right \}</math>의 합은 다음과 같습니다.<br /> | ||
<math>\huge \frac{a\left ( 1-{r}^{n} \right )}{1-r}</math><br> | <math>\huge \frac{a\left ( 1-{r}^{n} \right )}{1-r}</math><br /> | ||
<math>\lim_{n \to \infty }{r}^{n}=0</math><br> | <math>\lim_{n \to \infty }{r}^{n}=0</math><br /> | ||
따라서 <math>\huge \lim_{n \to \infty }\frac{a\left ( 1-{r}^{n} \right )}{1-r}=\frac{a}{1-r}</math> | 따라서 <math>\huge \lim_{n \to \infty }\frac{a\left ( 1-{r}^{n} \right )}{1-r}=\frac{a}{1-r}</math> | ||
===== 무한등비급수를 이용하여 [[0.99…=1]]임을 증명해 봅시다. ===== | ===== 무한등비급수를 이용하여 [[0.99…=1]]임을 증명해 봅시다. ===== | ||
우선 0.99...는 초항이 0.9이고 공비가 0.1인 무한등비급수라고 할 수 있습니다.<br> | 우선 0.99...는 초항이 0.9이고 공비가 0.1인 무한등비급수라고 할 수 있습니다.<br /> | ||
고로 위 식에 대입합니다.<br> | 고로 위 식에 대입합니다.<br /> | ||
<math>\frac{0.9}{1-0.1}=\frac{9}{10-1}=\frac{9}{9}=1</math> | <math>\frac{0.9}{1-0.1}=\frac{9}{10-1}=\frac{9}{9}=1</math> | ||
어때요,[[참 쉽죠?]] | 어때요,[[참 쉽죠?]] |
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수포자도 쉽게 알 수 있는 수학 | ||||
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집합과 명제 | 수의 체계와 수의 성질 | 문자와 식 및 방정식과 부등식 | 함수 | 수열 |
미분과 적분 | 확률과 통계 | 평면기하학과 공간기하학 | 해석기하학 |
수열[편집 | 원본 편집]
수 들이 어떤 규칙에 따라 나열되어 있는 것을 말한다. 정말로 수들의 나열이라 수열일 뿐이다.
들어가기 전에[편집 | 원본 편집]
- 항 : 수열의 각 원소를 항이라고 한다. 수열의 n번째 항을 [math]\displaystyle{ a _n }[/math]처럼 나타낸다.
- 초항 : 특별히 수열의 가장 첫번째 항 [math]\displaystyle{ a _1 }[/math]을 초항이라고 한다.
- 일반항 : n번째 항을 n에 대해서 나타낸 것.
- 일반항을 알고 있다면 n에 숫자만 넣어서 얼마인지 바로 알 수 있다! [math]\displaystyle{ a_{n}=n }[/math]이라 하면, 이 수열은 1, 2, 3, 4, 5, 6, …가 된다.
- 점화식 : 여러 항들 사이의 관계식.
- [math]\displaystyle{ a_{n+1}=a_{n}+1 }[/math]같이 각 항들 사이의 관계를 나타내주는 식이다. 점화식과 초항을 알고 있다면 [math]\displaystyle{ a_{2} }[/math]를 구하고, [math]\displaystyle{ a_{2} }[/math]를 통해 [math]\displaystyle{ a_{3} }[/math]을 구하고, 이렇게 연쇄적으로 수열을 계속 구할 수 있다.[1]
- 수열 전체를 나타낼 때는 {}를 양쪽에 붙인다. [math]\displaystyle{ \left\{a_n \right\} }[/math] 이렇게.
등차수열·등비수열[편집 | 원본 편집]
등차수열[편집 | 원본 편집]
1, 3, 5, 7, 9, …처럼 계속 일정하게 증가하거나 감소하는 수열을 등차수열이라고 한다. 그리고 여기서 변화하는 만큼을 공차라고 한다. 즉, 이 수열은 초항이 1이고 공차가 2인 수열이다.
Difference의 d를 따서, 공차는 주로 [math]\displaystyle{ d }[/math]로 쓴다.
등차수열을 만드는 건 정말 간단하다! 앞의 항에 공차를 더하면 그냥 다음 항이 된다. 이걸 점화식으로 쓰면 [math]\displaystyle{ a_{n+1}=a_{n}+d }[/math]이다.
- 초항이 1이고 공차가 10인 수열 : 1, 11, 21, 31, 41, …
- 초항이 0이고 공차가 -2인 수열 : 0, -2, -4, -8, -10, …
- 초항이 3이고 공차가 0인 수열 : 3, 3, 3, 3, 3, …[2]
초항이 [math]\displaystyle{ a }[/math]이고 공차가 [math]\displaystyle{ d }[/math]인 수열 [math]\displaystyle{ a_{n} }[/math]를 수식으로 나타내려면 어떻게 할까? 두번째 항은 초항+공차니까 [math]\displaystyle{ a_{2}=a+d }[/math]이다. 세번째 항은 [math]\displaystyle{ a_{2}+d }[/math]니까 [math]\displaystyle{ a_{3}=a+2d }[/math]이다. 규칙이 눈에 보인다!
따라서, 초항이 [math]\displaystyle{ a }[/math]이고 공차가 [math]\displaystyle{ d }[/math]인 등차수열 [math]\displaystyle{ a_{n} }[/math]의 일반항은 [math]\displaystyle{ a_{n}=a+(n-1)d }[/math]이다.
등차수열의 합[편집 | 원본 편집]
우선 첫째항이 [math]\displaystyle{ a }[/math], 공차가 [math]\displaystyle{ d }[/math]인 등차수열의 제 n항을 [math]\displaystyle{ R }[/math]이라고 하면, 첫째항부터 제 n항까지의 합 [math]\displaystyle{ S_{n} }[/math]은
[math]\displaystyle{ \qquad S_{n}=a+(a+d)+(a+2d)+\cdots+(R-2d)+(R-d)+R }[/math] (1번식)
1번식에서 우변의 항을 역순으로 놓으면,
[math]\displaystyle{ \qquad S_{n}=R+(R-d)+(R-2d)+\cdots+(a+2d)+(a+d)+a }[/math] (2번식)
1번식과 2번식을 같은 변끼리 더하면
[math]\displaystyle{ \qquad 2S_{n}=\underset{n개}{\underbrace{(a+R)+(a+R)+(a+R)+\cdots+(a+R)+(a+R)}}=n(a+R) }[/math]
[math]\displaystyle{ \qquad \therefore S_{n}=\frac{n(a+R)}{2} }[/math] (3번식)
여기서 [math]\displaystyle{ R }[/math]은 제 [math]\displaystyle{ n }[/math]항이므로 [math]\displaystyle{ R=a+(n-1)d }[/math]를 위 3번식에 대입하면 [math]\displaystyle{ S_{n}=\frac{n\left \{ 2a+\left ( n-1 \right )d \right \}}{2} }[/math]
여담이지만 수학자 가우스가 이 방법으로 1부터 100까지의 합을 구했다고 한다. 10살 때, 11초만에, 암산으로.[3]
1부터 100까지의 합은 1, 2, 3, …인 수열의 100번째까지의 합이니까 초항이 1이고 100번째 항이 100이므로 100×(1+100)/2=5050이 나온다. 숫자 계산 자체는 그렇게 어려운 것도 아니다. 10살이란 나이에 저 '뒤집어서 더한다' 라는 발상을 해낸 게 대단한 것.
등비수열[편집 | 원본 편집]
1, 2, 4, 8, 16, …처럼 계속 일정한 수가 곱해지는 수열을 등비수열이라고 한다. 그리고 여기서 곱해지는 수를 공비라고 한다. 즉, 이 수열은 초항이 1이고 공비가 2인 수열이다.
Ratio의 r를 따서, 공비는 주로 [math]\displaystyle{ r }[/math]로 쓴다.
등비수열을 만드는 건 정말 간단하다! 데자뷰 앞의 항에 공비를 곱하면 그냥 다음 항이 된다. 이걸 점화식으로 쓰면 [math]\displaystyle{ a_{n+1}=r a_{n} }[/math]이다.
- 초항이 1이고 공비가 10인 수열 : 1, 10, 100, 1000, 10000, …
- 초항이 3이고 공비가 1인 수열 : 3, 3, 3, 3, 3, …
- 초항이 1이고 공비가 -1인 수열 : 1, -1, 1, -1, 1, …[4]
일반항도 등차수열과 비슷하다. 초항이 [math]\displaystyle{ a }[/math]이고 공차가 [math]\displaystyle{ d }[/math]인 수열 [math]\displaystyle{ a_{n} }[/math]의 두번째 항은 [math]\displaystyle{ a_{2}=ar }[/math]이다. 세번째 항은 [math]\displaystyle{ a_{3}=ar^2 }[/math]이다.
초항이 [math]\displaystyle{ a }[/math]이고 공비가 [math]\displaystyle{ r }[/math]인 등비수열 [math]\displaystyle{ a_{n} }[/math]의 일반항은 [math]\displaystyle{ a_{n}=ar^{n-1} }[/math]이다.
등비수열의 합[편집 | 원본 편집]
초항이 [math]\displaystyle{ a }[/math]이고 공비가 [math]\displaystyle{ r }[/math]인 수열 [math]\displaystyle{ a_{n} }[/math]의 첫째항부터 제 n항까지의 합 [math]\displaystyle{ S_{n} }[/math]을 구하는데,
만약 [math]\displaystyle{ r=1 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ S_{n}=\underset{n개}{\underbrace{a+a+a+\cdots+a}}=na }[/math]다.
[math]\displaystyle{ r\neq 1 }[/math]라면,
[math]\displaystyle{ \qquad S_{n}=a+ar+ar^2+\cdots+ar^{n-1} }[/math] (1번식)
1번식의 양변에 [math]\displaystyle{ r }[/math]을 곱하면
[math]\displaystyle{ \qquad rS_{n}=ar+ar^2+ar^3+\cdots+ar^{n} }[/math](2번식)
이제 1번식에서 2번식을 변끼리 뺀다.
[math]\displaystyle{ \qquad (1-r)S_{n}=a-ar^n }[/math]
양변을 [math]\displaystyle{ (1-r) }[/math]로 나눠서 정리하면 [math]\displaystyle{ S_{n}=\frac{a\left ( 1-r^{n} \right )}{1-r}=\frac{a\left ( r^{n}-1 \right )}{r-1} }[/math]가 된다.
이를 표로 정리하면 다음과 같다.
등비수열의 합 | |
---|---|
[math]\displaystyle{ r\neq 1 }[/math] | [math]\displaystyle{ S_{n}=\frac{a\left ( 1-r^{n} \right )}{1-r} }[/math] |
[math]\displaystyle{ r=1 }[/math] | [math]\displaystyle{ S_{n}=na }[/math] |
계차수열[편집 | 원본 편집]
1, 2, 4, 7, 11, 16, …인 수열이 있다고 하자. 이 수열은 위에서 봤던 등차수열도, 등비수열도 아니다. 대신 다음 항에 더해지는 수가 1, 2, 3, 4, 5, …가 된다. 수열 자체보다는 앞뒷항 사이의 차가 일정한 규칙이 있는 것이다!
이처럼 수열 [math]\displaystyle{ \left\{a_n \right\} }[/math]에서 [math]\displaystyle{ a _{n+1} - a _n }[/math]을 새로운 수열 [math]\displaystyle{ b _n }[/math]로 정의할 때, [math]\displaystyle{ \left\{b _n \right\} }[/math]을 [math]\displaystyle{ \left\{a_n \right\} }[/math]의 계차수열이라고 한다.
- [math]\displaystyle{ b _n = a _{n+1} - a _n \left( n \ge 1 \right) }[/math] (계차수열의 정의)
- [math]\displaystyle{ a _{n} = a _1 + \sum _{k=1} ^{n-1} b _k }[/math]
- 왜냐면, 계차수열의 정의에서 [math]\displaystyle{ a_{n+1} = a_n + b_n \left(n \ge 1 \right) }[/math]라고도 쓸 수 있다. 이걸 [math]\displaystyle{ a_{n}, a_{n-1}, …, a_2 }[/math]에 대해서도 쭉 쓰고 양변끼리 더하면
[math]\displaystyle{ \left. \begin{matrix} a_{n+1} &=& a_n + b_n \\ a_{n} &=& a_{n-1} + b_{n-1} \\ a_{n-1} &=& a_{n-2} + b_{n-2} \\ & \vdots & \\ a_{3} &=& a_2 + b_2 \\ a_{2} &=& a_1 + b_1 \\ \end{matrix} \right\} \to \begin{matrix} a_{n+1} &=& a_1 + b_n + b_{n-1} +b_{n-2} + \cdots + b_2 + b_1 \\ &=& a_1 + \sum _{k=1} ^{n} b _k \end{matrix} }[/math]
여기서 [math]\displaystyle{ a _{n} }[/math]를 구하기 위해서는 계차수열을 n-1항까지 더해야 하는 것에 주의하자!
수학적 귀납법[편집 | 원본 편집]
점화식 수열[편집 | 원본 편집]
이 항목을 단순히 달달 외울 필요는 없다. 점화식에 변형을 가해서 위의 등차수열, 등비수열, 계차수열로 바꾸는 방식이기 때문에, 이 방법을 체득하면 된다. 누가 체득이 쉽데? 괜찮아. 문제 100개쯤 풀면 되겠지.
여기에 있는 점화식들은 고등학교 과정에서 나올법한 정도만 있다. 더 자세히 알고 싶다면 점화식으로.
[math]\displaystyle{ a_{n+1}=a_{n}+f(n) }[/math][편집 | 원본 편집]
계차수열의 일반형. 이 수열의 일반형은 [math]\displaystyle{ a_{n}=a_{1}+\sum_{k=1}^{n-1}f(k) }[/math]
[math]\displaystyle{ a_{n+1}=f(n)a_{n} }[/math][편집 | 원본 편집]
- 계비수열
- [math]\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=f(n) }[/math], [math]\displaystyle{ \frac{a_{n}}{a_{n-1}}\cdot\frac{a_{n-1}}{a_{n-2}}\cdots\frac{a_{3}}{a_{2}}\cdot\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{a_{n}}{a_{1}}=f(n-1)\cdot f(n-2)\cdots f(2)\cdot f(1) }[/math], [math]\displaystyle{ a_{n}=f(n-1)\cdot f(n-2)\cdots f(2)\cdot f(1)\cdot a_{1} }[/math]
- 로그
- [math]\displaystyle{ \log a_{n+1}=\log a_{n}+\log f(n) }[/math]
- [math]\displaystyle{ b_{n}=\log a_{n} }[/math]라고 하면 [math]\displaystyle{ a_{n+1}=a_{n}+f(n) }[/math]꼴로 바뀐다.
[math]\displaystyle{ a_{n+1}=pa_{n}+q(p \ne 0) }[/math][편집 | 원본 편집]
[math]\displaystyle{ \left( a_{n+1}-\alpha\right)=p\left( a_{n}-\alpha\right) }[/math], [math]\displaystyle{ \alpha =\frac{q}{1-p} }[/math]
[math]\displaystyle{ b_{n}=a_{n}-\alpha }[/math]라고 하면 [math]\displaystyle{ \left\{ b_{n}\right\} }[/math]은 등비수열이 된다.
[math]\displaystyle{ p a_{n+1}+q a_{n}+r=0(p, q\ne 0) }[/math][편집 | 원본 편집]
[math]\displaystyle{ a_{n+1}=-\frac{q}{p} a_{n}-\frac{r}{p} }[/math]
이렇게 하면, [math]\displaystyle{ a_{n+1}=p a_{n}+q=0(p\ne 0) }[/math]꼴이 된다.
[math]\displaystyle{ p a_{n+2}+q a_{n+1}+r a_{n}=0(p, q, r \ne 0) }[/math][편집 | 원본 편집]
- [math]\displaystyle{ p+q+r=0 }[/math]
- [math]\displaystyle{ p+q+r \ne 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ \begin{cases} a_{n+1}=p a_{n}+q b_{n} \\ b_{n+1}=q a_{n}+p b_{n} \end{cases} }[/math][편집 | 원본 편집]
[math]\displaystyle{ a_{n+1}=p a_{n}+f(n) }[/math][편집 | 원본 편집]
[math]\displaystyle{ a_{n+1}=p\left(a_{n}\right)^q }[/math][편집 | 원본 편집]
[math]\displaystyle{ a_{n+1}=\frac{r a_{n}}{p a_{n}+q} }[/math][편집 | 원본 편집]
[math]\displaystyle{ a_{n+1}=\frac{r a_{n}+s}{p a_{n}+q} }[/math][편집 | 원본 편집]
[math]\displaystyle{ p a_{n} a_{n+1}=q a_{n}-r a_{n+1} }[/math][편집 | 원본 편집]
[math]\displaystyle{ (n+1) a_{n}=n a_{n+1}+p }[/math][편집 | 원본 편집]
[math]\displaystyle{ p a_{n+2}+q a_{n+1}+r a_{n}=s }[/math][편집 | 원본 편집]
[math]\displaystyle{ a_{n}+a_{n+1}=f(n) }[/math][편집 | 원본 편집]
[math]\displaystyle{ a_{n}+a_{n+1}+a_{n+2}=f(n) }[/math][편집 | 원본 편집]
급수[편집 | 원본 편집]
수열 [math]\displaystyle{ \left \{ a_{n} \right \} }[/math]의 첫째항부터 제[math]\displaystyle{ n }[/math]항까지의 합을 기호 [math]\displaystyle{ \sum }[/math]을 사용하여
[math]\displaystyle{ a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{n}=\sum_{k=1}^{n}a_{k} }[/math]이라고 표현합니다.
급수의 성질[편집 | 원본 편집]
두 수열 [math]\displaystyle{ \left \{ a_{n} \right \},\left \{ b_{n} \right \} }[/math]에 대하여.
[math]\displaystyle{
\sum_{k=1}^{n}\left ( a_{k}+b_{k} \right )=\\
\left ( a_1+b_1 \right )+\left ( a_2+b_2 \right )+\left ( a_3+b_3 \right )+\cdots+\left ( a_n+b_n \right )=\\
\left ( a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n \right )+\left ( b_1+b_2+b_3+\cdots+b_n \right )=\\
=\sum_{k=1}^{n}a_k+\sum_{k=1}^{n}b_k
}[/math]
또 상수 c에 대하여.
[math]\displaystyle{
\sum_{k=1}^{n}ca_k=ca_1+ca_2+ca_3+\cdots+ca_n\\
=c\left ( a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n \right )\\
=c\sum_{k=1}^{n}a_k
}[/math]
여러 가지 급수[편집 | 원본 편집]
이하 내용은 거듭제곱의 합 문서를 참조하세요.
[math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k }[/math][편집 | 원본 편집]
[math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k=1+2+3+\cdots+n=\frac{n\left ( n+1 \right )}{2} }[/math]
이건 위 공식에서 그냥 첫째항과 공차에 각각 1 대입하면 나옵니다.
[math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k^2 }[/math][편집 | 원본 편집]
항등식 [math]\displaystyle{ \left ( x+1 \right )^{3}-{x}^{3}=3{x}^{2}+3x+1 }[/math]의 [math]\displaystyle{ x }[/math]에
[math]\displaystyle{ 1,2,3,\cdots,n }[/math]을 차례로 대입해 봅시다.
[math]\displaystyle{
\begin{cases}
& x=1,2^3-1^3=3\times 1^2+3\times 1+1\\
& x=2,3^3-2^3=3\times 2^2+3\times 2+1 \\
& x=3,4^3-3^3=3\times 3^2+3\times 3+1 \\
& \vdots\\
& x=n,\left ( n+1 \right )^3-n^3=3\times n^2+3\times n+1
\end{cases}
}[/math]
싸그리 더하면.
[math]\displaystyle{
\require{cancel}
\begin{cases}
& x=1,\bcancel{2^3}-1^3=3\times 1^2+3\times 1+1\\
& x=2,\bcancel{3^3}\bcancel{-2^3}=3\times 2^2+3\times 2+1 \\
& x=3,\bcancel{4^3}\bcancel{-3^3}=3\times 3^2+3\times 3+1 \\
& \vdots\\
& x=n,\left ( n+1 \right )^3\bcancel{-n^3}=3\times n^2+3\times n+1
\end{cases}
}[/math]
[math]\displaystyle{ \left ( n+1 \right )^{3}-1^3=3\sum_{k=1}^{n}k^2+3\sum_{k=1}^{n}+3\sum_{k=1}^{n}1 }[/math]
그런데 [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}=\frac{n\left ( n+1 \right )}{2},\sum_{k=1}^{n}1=n }[/math]
따라서.
[math]\displaystyle{ \left ( n+1 \right )^3-1^3=3\sum_{k=1}^{n}k^2+3\times \frac{n\left ( n+1 \right )}{2}+n }[/math]
[math]\displaystyle{ 3\sum_{k=1}^{n}k^2=\left ( n+1 \right )^3-\frac{3n\left ( n+1 \right )}{2}-\left ( n+1 \right )=\frac{n\left ( n+1 \right )\left ( 2n+1 \right )}{6} }[/math]
입니다.
수열의 극한[편집 | 원본 편집]
수열의 원소가 n이 커짐에 따라 특정한 값에 다가갈 때, 이 수열은 수렴한다고 한다. 수렴하지 않는 수열은 n이 커짐에 따라 발산한다고 한다.
항의 숫자가 무한히 커질 때, 수열의 값이 어떻게 되는가를 구하면 된다.
무한급수[편집 | 원본 편집]
[math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\sum_{k=1}^{n}a_k }[/math]또는 [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty }a_k }[/math]라고 표기합니다.
무한급수의 수렴(발산) 판정법[편집 | 원본 편집]
고등학교 교육과정에서 다루는 판정법만을 다룹니다. 자세한 내용은 수렴(발산) 판정법을 참고하기 바랍니다.
발산 판정법[편집 | 원본 편집]
수열이 발산하는지만을 판정할 수 있습니다. 반드시 수렴한다고 판정하지는 못합니다.
[math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\sum_{k=1}^{n}a_k=S }[/math]가 성립한다고 하면, [math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\sum_{k=1}^{n-1}a_k=S }[/math]도 성립하게 됩니다. 그러므로, [math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\sum_{k=1}^{n}a_k-\lim_{n \to \infty }\sum_{k=1}^{n-1}a_k=\lim_{n \to \infty}a_n=0 }[/math]이 됩니다. 즉, 무한급수가 수렴한다면, 수열은 0으로 수렴합니다. 이 명제의 대우명제 또한 참이 되므로, 수열이 0으로 수렴하지 않는다면 무한급수의 합은 발산합니다.
비교 판정법[편집 | 원본 편집]
이미 수렴여부가 알려진 무한급수 [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty }b_k }[/math]를 이용해 수렴여부를 판별합니다.
[math]\displaystyle{ 0\le a_{n}\le b_{n} }[/math]이고, [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty }b_k }[/math]이 수렴하면 [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty }a_k }[/math]도 수렴합니다. 또한, [math]\displaystyle{ 0\le b_{n}\le a_{n} }[/math]이고, [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty }b_k }[/math]이 발산하면 [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty }a_k }[/math]도 발산합니다.
여러 가지 수열의 무한급수[편집 | 원본 편집]
무한등비급수[편집 | 원본 편집]
초항이 a이고 공비 r이 [math]\displaystyle{ \left | r \right |\lt 1 }[/math]인 등비수열의 무한급수를 구해 봅시다.
자,초항이 a이고 공비가 r[5]인 등비수열 [math]\displaystyle{ \left \{ a_n \right \} }[/math]의 합은 다음과 같습니다.
[math]\displaystyle{ \huge \frac{a\left ( 1-{r}^{n} \right )}{1-r} }[/math]
[math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }{r}^{n}=0 }[/math]
따라서 [math]\displaystyle{ \huge \lim_{n \to \infty }\frac{a\left ( 1-{r}^{n} \right )}{1-r}=\frac{a}{1-r} }[/math]
무한등비급수를 이용하여 0.99…=1임을 증명해 봅시다.[편집 | 원본 편집]
우선 0.99...는 초항이 0.9이고 공비가 0.1인 무한등비급수라고 할 수 있습니다.
고로 위 식에 대입합니다.
[math]\displaystyle{ \frac{0.9}{1-0.1}=\frac{9}{10-1}=\frac{9}{9}=1 }[/math]
어때요,참 쉽죠?
각주
- ↑ 가끔 이렇게 수열을 구하는 게 불을 붙인 게 번져나가는 것 같다 해서 점화(點火)식이라고 알고 있기도 하는데, 한자 자체가 점화식(漸化式)과는 다르다!
- ↑ 이렇게 공차가 0이면 모든 항이 같은 수이기 때문에 상수수열이라고도 부른다.
- ↑ 암산이라거나 10초만이라는 이야기는 과장되었을 수도 있다. 하지만 정말로 빠른 시간안에 풀어냈다는 건 확실한 사실. 정확히 이 이야기를 알고 있다면 수정바람.
- ↑ 홀수항은 모두 1이고 짝수항은 모두 -1이다. 이런 수열을 보고 '진동한다'라고 하기도 한다.
- ↑ [math]\displaystyle{ \left | r \right |\lt 1 }[/math]
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