시리즈:수포자도 쉽게 알 수 있는 수학/해석기하학

수학이 정말 쉬워서 저 수포자 그만둡니다.

문서의 내용이 너무 쉬워서 머리속에 쏙쏙 들어옵니다.

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수포자도 쉽게 알 수 있는 수학
집합과 명제	수의 체계와 수의 성질	문자와 식 및 방정식과 부등식	함수	수열
미분과 적분	확률과 통계	평면기하학과 공간기하학	해석기하학

개요

해석 기하란 좌표계를 이용하는 기하학이다. (반대되는 개념으로 좌표를 사용하지 않고 순수하게 도형의 성질만으로 답을 구하거나 명제를 증명하는 논증기하학이 있다.)

우리가 일반적으로 사용하는 평면좌표계에서는 각 점마다 정해진 좌표가 존재하고, 그 좌표의 값에 따라 선분의 길이 등이 명시적으로 표현되기 때문에 기하학 문제를 상당히 단순화시킬 수 있는 경우가 많다. 물론 이와는 반대로 선분의 길이를 각 끝점의 좌표로 계산하게 되면 피타고라스의 정리로부터 나오는 제곱근들이 난무하게 되어 논리는 어찌 되었는 계산은 매우 지저분해지는 경우가 상당수이다. 이외에 해석기하학의 장점은 직선, 곡선 등으로 이루어진 도형을 일차함수 등 함수의 그래프의 조합으로 표현할 수 있다는 것이다. 일반적인 고등학교 수학에는 잘 나오지 않는 내용이지만, 경시 수학에서 나올 법한 '세 점이 한 직선 위에 있다는 것을 증명하라' 또는 '세 직선이 한 점에서 만난다는 것을 증명하라', '두 선분의 교점이 ~의 과정을 통해 구한 원의 중심임을 보여라' 등의 문제는 증명이 매우 쉬워지기도 한다. 도형의 성질만을 이용하는 경우와는 달리, 해석기하학에서는 '어느 직선 위에 있다=그 직선의 방정식을 만족한다', '여러 직선이 한 점에서 만난다=직선의 방정식을 연립하면 해가 하나다'가 성립하기 때문이다. 확인된 정보는 아니지만, 모 수학 강사에 따르면 한국수학올림피아드(KMO)애 출전한 학생들이 기하 문제를 전부 해석기하로 풀어제끼는 바람에 주최측인 대한수학회에서 해석기하를 사용한 풀이는 감점하기 시작했다는 이야기도 있다.

또한, 해석기하학은 수능에서 맨날 나와주시는 '무한등비급수'에서의 문제풀이를 도와주기도 한다. 일반적인 기하로는 전혀 공비가 보이지 않다가도 좌표평면을 그리고 점 몇개의 좌표를 정하다보면 공비가 나오는 경우가 많기 때문이다.

해석 기하의 유용함을 들 때 사용하는 설명은 중선 정리(또는 아폴로니우스의 정리, 파푸스의 중선 정리라는 이름은 우리나라하고 일본만 쓴다 카더라)를 예로 많이 든다.

좌표로 돌리고 풀면 쉽게 증명할 수 있다.

정리) [math]\displaystyle{ \operatorname{\overline {AB}^2+\overline {AC}^2=2(\overline {AM}^2+\overline {BM}^2)} }[/math]

증명) [math]\displaystyle{ \operatorname{\overline {AB}^2+\overline {AC}^2}= \{ (a+c)^2+b^2 \} + \{ (a-c)^2+b^2 \} =2a^2+2b^2+2c^2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2a^2+2b^2+2c^2=2\{(a^2 + b^2) + c^2 \}=\operatorname{2(\overline {AM}^2+\overline {BM}^2)} }[/math]

그런데 왜 타원 방정식, 쌍곡선 방정식 이런 어려운 걸 푸냐고?? 쉽게 풀 수 있으니까 이제 어려운거 도전해야지!! 조삼모사???

다만 2018년부터 수학 교과 과정이 간소화되어 기하벡터 과목이 선택사항이 되면 더 이상 모든 수험생들이 이런 복잡한 문제와 씨름할 필요는 없을지도 모른다. 이과는 안 될 거야 아마

평면좌표

평면좌표의 평행이동

이차방정식 [math]\displaystyle{ y=x^2 }[/math]의 그래프는 다음과 같다.

이때, 위의 그래프를 x축의 양의 방향으로 2씩, y축의 양의 방향으로 3씩 이동하면 다음과 같다.

이때, 위 그래프의 꼭짓점은 [math]\displaystyle{ (2, 2) }[/math]이다. 기울기는 변하지 않았으므로 위 그래프의 식은 [math]\displaystyle{ y=(x-2)^2 + 2 }[/math] 따라서, 알 수 있는 것은 어떠한 함수의 식을 [math]\displaystyle{ x }[/math]축의 방향으로 a만큼 평행이동할때는 [math]\displaystyle{ x }[/math]의 자리에 [math]\displaystyle{ x - a }[/math]을 대입하면 되고, y축의 방향으로 b만큼 평행이동할때는 [math]\displaystyle{ y }[/math]의 자리에 [math]\displaystyle{ y - a }[/math]를 대입하면 된다는 점이다.

평면좌표의 대칭이동

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어떤 함수의 식을 [math]\displaystyle{ x }[/math]축에 대하여 대칭시킬 때는 [math]\displaystyle{ x }[/math] 자리에 [math]\displaystyle{ -x }[/math]를 대입하고, [math]\displaystyle{ y }[/math]축에 대하여 대칭시킬 때는 [math]\displaystyle{ y }[/math] 자리에 [math]\displaystyle{ -y }[/math]를 대입하면 된다. 원점에 대칭시키려면? 둘 다 하면 된다.

원의 방정식

반지름이 [math]\displaystyle{ r }[/math]이고, 중심이 [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math]인 원의 방정식은 다음과 같다.

[math]\displaystyle{ (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 }[/math]

이차 곡선

여기에서는 포물선의 준선, 타원의 장축 또는 장축, 쌍곡선의 주축이 x축 또는 y축과 평행한 경우만을 다룬다. 사실 행렬을 다룰 경우 평행하지 않은 경우도 행렬 복습수준의 낮은 난이도로 다룰 수 있지만, 이번 교육과정부터 행렬이 빠졌기 때문에 이는 불가능하다.

공간좌표

공간좌표 일반

구의 방정식

반지름이 [math]\displaystyle{ r }[/math]이고, 중심이 [math]\displaystyle{ (a,b,c) }[/math]인 구의 방정식은 다음과 같다.

[math]\displaystyle{ (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2 }[/math]

벡터

기초적인 의미에서 벡터는 도형이 아니라 방향과 크기로 결정되는 양으로 정의한다. 물론 이것조차도 수학적으로 엄밀한 정의는 아니다. '방향'과 '크기'로 정의하는 것은 '물리학'적인 의미에 가깝다.