시리즈:수포자도 쉽게 알 수 있는 수학/수열

수학이 정말 쉬워서 저 수포자 그만둡니다.

문서의 내용이 너무 쉬워서 머리속에 쏙쏙 들어옵니다.

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수포자도 쉽게 알 수 있는 수학
집합과 명제	수의 체계와 수의 성질	문자와 식 및 방정식과 부등식	함수	수열
미분과 적분	확률과 통계	평면기하학과 공간기하학	해석기하학

수열

수 들이 어떤 규칙에 따라 나열되어 있는 것을 말한다. 정말로 수들의 나열이라 수열일 뿐이다.

들어가기 전에

• 항 : 수열의 각 원소를 항이라고 한다. 수열의 n번째 항을 [math]\displaystyle{ a _n }[/math]처럼 나타낸다.
  • 초항 : 특별히 수열의 가장 첫번째 항 [math]\displaystyle{ a _1 }[/math]을 초항이라고 한다.
• 일반항 : n번째 항을 n에 대해서 나타낸 것.

  일반항을 알고 있다면 n에 숫자만 넣어서 얼마인지 바로 알 수 있다! [math]\displaystyle{ a_{n}=n }[/math]이라 하면, 이 수열은 1, 2, 3, 4, 5, 6, …가 된다.

• 점화식 : 여러 항들 사이의 관계식.

  [math]\displaystyle{ a_{n+1}=a_{n}+1 }[/math]같이 각 항들 사이의 관계를 나타내주는 식이다. 점화식과 초항을 알고 있다면 [math]\displaystyle{ a_{2} }[/math]를 구하고, [math]\displaystyle{ a_{2} }[/math]를 통해 [math]\displaystyle{ a_{3} }[/math]을 구하고, 이렇게 연쇄적으로 수열을 계속 구할 수 있다.

• 수열 전체를 나타낼 때는 {}를 양쪽에 붙인다. [math]\displaystyle{ \left\{a_n \right\} }[/math] 이렇게.

등차수열·등비수열

등차수열

1, 3, 5, 7, 9, …처럼 계속 일정하게 증가하거나 감소하는 수열을 등차수열이라고 한다. 그리고 여기서 변화하는 만큼을 공차라고 한다. 즉, 이 수열은 초항이 1이고 공차가 2인 수열이다.

Difference의 d를 따서, 공차는 주로 [math]\displaystyle{ d }[/math]로 쓴다.

등차수열을 만드는 건 정말 간단하다! 앞의 항에 공차를 더하면 그냥 다음 항이 된다. 이걸 점화식으로 쓰면 [math]\displaystyle{ a_{n+1}=a_{n}+d }[/math]이다.

• 초항이 1이고 공차가 10인 수열 : 1, 11, 21, 31, 41, …
• 초항이 0이고 공차가 -2인 수열 : 0, -2, -4, -8, -10, …
• 초항이 3이고 공차가 0인 수열 : 3, 3, 3, 3, 3, …

초항이 [math]\displaystyle{ a }[/math]이고 공차가 [math]\displaystyle{ d }[/math]인 수열 [math]\displaystyle{ a_{n} }[/math]를 수식으로 나타내려면 어떻게 할까? 두번째 항은 초항+공차니까 [math]\displaystyle{ a_{2}=a+d }[/math]이다. 세번째 항은 [math]\displaystyle{ a_{2}+d }[/math]니까 [math]\displaystyle{ a_{3}=a+2d }[/math]이다. 규칙이 눈에 보인다!

따라서, 초항이 [math]\displaystyle{ a }[/math]이고 공차가 [math]\displaystyle{ d }[/math]인 등차수열 [math]\displaystyle{ a_{n} }[/math]의 일반항은 [math]\displaystyle{ a_{n}=a+(n-1)d }[/math]이다.

등차수열의 합

우선 첫째항이 [math]\displaystyle{ a }[/math], 공차가 [math]\displaystyle{ d }[/math]인 등차수열의 제 n항을 [math]\displaystyle{ R }[/math]이라고 하면, 첫째항부터 제 n항까지의 합 [math]\displaystyle{ S_{n} }[/math]은

[math]\displaystyle{ \qquad S_{n}=a+(a+d)+(a+2d)+\cdots+(R-2d)+(R-d)+R }[/math] (1번식)

1번식에서 우변의 항을 역순으로 놓으면,

[math]\displaystyle{ \qquad S_{n}=R+(R-d)+(R-2d)+\cdots+(a+2d)+(a+d)+a }[/math] (2번식)

1번식과 2번식을 같은 변끼리 더하면

[math]\displaystyle{ \qquad 2S_{n}=\underset{n개}{\underbrace{(a+R)+(a+R)+(a+R)+\cdots+(a+R)+(a+R)}}=n(a+R) }[/math]

[math]\displaystyle{ \qquad \therefore S_{n}=\frac{n(a+R)}{2} }[/math] (3번식)

여기서 [math]\displaystyle{ R }[/math]은 제 [math]\displaystyle{ n }[/math]항이므로 [math]\displaystyle{ R=a+(n-1)d }[/math]를 위 3번식에 대입하면 [math]\displaystyle{ S_{n}=\frac{n\left \{ 2a+\left ( n-1 \right )d \right \}}{2} }[/math]

여담이지만 수학자 가우스가 이 방법으로 1부터 100까지의 합을 구했다고 한다. 10살 때, 11초만에, 암산으로.

1부터 100까지의 합은 1, 2, 3, …인 수열의 100번째까지의 합이니까 초항이 1이고 100번째 항이 100이므로 100×(1+100)/2=5050이 나온다. 숫자 계산 자체는 그렇게 어려운 것도 아니다. 10살이란 나이에 저 '뒤집어서 더한다' 라는 발상을 해낸 게 대단한 것.

등비수열

1, 2, 4, 8, 16, …처럼 계속 일정한 수가 곱해지는 수열을 등비수열이라고 한다. 그리고 여기서 곱해지는 수를 공비라고 한다. 즉, 이 수열은 초항이 1이고 공비가 2인 수열이다.

Ratio의 r를 따서, 공비는 주로 [math]\displaystyle{ r }[/math]로 쓴다.

등비수열을 만드는 건 정말 간단하다! 데자뷰 앞의 항에 공비를 곱하면 그냥 다음 항이 된다. 이걸 점화식으로 쓰면 [math]\displaystyle{ a_{n+1}=r a_{n} }[/math]이다.

• 초항이 1이고 공비가 10인 수열 : 1, 10, 100, 1000, 10000, …
• 초항이 3이고 공비가 1인 수열 : 3, 3, 3, 3, 3, …
• 초항이 1이고 공비가 -1인 수열 : 1, -1, 1, -1, 1, …

일반항도 등차수열과 비슷하다. 초항이 [math]\displaystyle{ a }[/math]이고 공차가 [math]\displaystyle{ d }[/math]인 수열 [math]\displaystyle{ a_{n} }[/math]의 두번째 항은 [math]\displaystyle{ a_{2}=ar }[/math]이다. 세번째 항은 [math]\displaystyle{ a_{3}=ar^2 }[/math]이다.

초항이 [math]\displaystyle{ a }[/math]이고 공비가 [math]\displaystyle{ r }[/math]인 등비수열 [math]\displaystyle{ a_{n} }[/math]의 일반항은 [math]\displaystyle{ a_{n}=ar^{n-1} }[/math]이다.

등비수열의 합

초항이 [math]\displaystyle{ a }[/math]이고 공비가 [math]\displaystyle{ r }[/math]인 수열 [math]\displaystyle{ a_{n} }[/math]의 첫째항부터 제 n항까지의 합 [math]\displaystyle{ S_{n} }[/math]을 구하는데,

만약 [math]\displaystyle{ r=1 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ S_{n}=\underset{n개}{\underbrace{a+a+a+\cdots+a}}=na }[/math]다.

[math]\displaystyle{ r\neq 1 }[/math]라면,

[math]\displaystyle{ \qquad S_{n}=a+ar+ar^2+\cdots+ar^{n-1} }[/math] (1번식)

1번식의 양변에 [math]\displaystyle{ r }[/math]을 곱하면

[math]\displaystyle{ \qquad rS_{n}=ar+ar^2+ar^3+\cdots+ar^{n} }[/math](2번식)

이제 1번식에서 2번식을 변끼리 뺀다.

[math]\displaystyle{ \qquad (1-r)S_{n}=a-ar^n }[/math]

양변을 [math]\displaystyle{ (1-r) }[/math]로 나눠서 정리하면 [math]\displaystyle{ S_{n}=\frac{a\left ( 1-r^{n} \right )}{1-r}=\frac{a\left ( r^{n}-1 \right )}{r-1} }[/math]가 된다.

이를 표로 정리하면 다음과 같다.

등비수열의 합
[math]\displaystyle{ r\neq 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ S_{n}=\frac{a\left ( 1-r^{n} \right )}{1-r} }[/math]
[math]\displaystyle{ r=1 }[/math]	[math]\displaystyle{ S_{n}=na }[/math]

계차수열

1, 2, 4, 7, 11, 16, …인 수열이 있다고 하자. 이 수열은 위에서 봤던 등차수열도, 등비수열도 아니다. 대신 다음 항에 더해지는 수가 1, 2, 3, 4, 5, …가 된다. 수열 자체보다는 앞뒷항 사이의 차가 일정한 규칙이 있는 것이다!

이처럼 수열 [math]\displaystyle{ \left\{a_n \right\} }[/math]에서 [math]\displaystyle{ a _{n+1} - a _n }[/math]을 새로운 수열 [math]\displaystyle{ b _n }[/math]로 정의할 때, [math]\displaystyle{ \left\{b _n \right\} }[/math]을 [math]\displaystyle{ \left\{a_n \right\} }[/math]의 계차수열이라고 한다.

• [math]\displaystyle{ b _n = a _{n+1} - a _n \left( n \ge 1 \right) }[/math] (계차수열의 정의)
• [math]\displaystyle{ a _{n} = a _1 + \sum _{k=1} ^{n-1} b _k }[/math]
  • 왜냐면, 계차수열의 정의에서 [math]\displaystyle{ a_{n+1} = a_n + b_n \left(n \ge 1 \right) }[/math]라고도 쓸 수 있다. 이걸 [math]\displaystyle{ a_{n}, a_{n-1}, …, a_2 }[/math]에 대해서도 쭉 쓰고 양변끼리 더하면

[math]\displaystyle{ \left. \begin{matrix} a_{n+1} &=& a_n + b_n \\ a_{n} &=& a_{n-1} + b_{n-1} \\ a_{n-1} &=& a_{n-2} + b_{n-2} \\ & \vdots & \\ a_{3} &=& a_2 + b_2 \\ a_{2} &=& a_1 + b_1 \\ \end{matrix} \right\} \to \begin{matrix} a_{n+1} &=& a_1 + b_n + b_{n-1} +b_{n-2} + \cdots + b_2 + b_1 \\ &=& a_1 + \sum _{k=1} ^{n} b _k \end{matrix} }[/math]

여기서 [math]\displaystyle{ a _{n} }[/math]를 구하기 위해서는 계차수열을 n-1항까지 더해야 하는 것에 주의하자!

점화식 수열

이 항목을 단순히 달달 외울 필요는 없다. 점화식에 변형을 가해서 위의 등차수열, 등비수열, 계차수열로 바꾸는 방식이기 때문에, 이 방법을 체득하면 된다. 누가 체득이 쉽데? 괜찮아. 문제 100개쯤 풀면 되겠지.

여기에 있는 점화식들은 고등학교 과정에서 나올법한 정도만 있다. 더 자세히 알고 싶다면 점화식으로.

[math]\displaystyle{ a_{n+1}=a_{n}+f(n) }[/math]

계차수열의 일반형. 이 수열의 일반형은 [math]\displaystyle{ a_{n}=a_{1}+\sum_{k=1}^{n-1}f(k) }[/math]

[math]\displaystyle{ a_{n+1}=f(n)a_{n} }[/math]

1. 계비수열
   • [math]\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=f(n) }[/math], [math]\displaystyle{ \frac{a_{n}}{a_{n-1}}\cdot\frac{a_{n-1}}{a_{n-2}}\cdots\frac{a_{3}}{a_{2}}\cdot\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{a_{n}}{a_{1}}=f(n-1)\cdot f(n-2)\cdots f(2)\cdot f(1) }[/math], [math]\displaystyle{ a_{n}=f(n-1)\cdot f(n-2)\cdots f(2)\cdot f(1)\cdot a_{1} }[/math]
2. 로그
   • [math]\displaystyle{ \log a_{n+1}=\log a_{n}+\log f(n) }[/math]
   • [math]\displaystyle{ b_{n}=\log a_{n} }[/math]라고 하면 [math]\displaystyle{ a_{n+1}=a_{n}+f(n) }[/math]꼴로 바뀐다.

[math]\displaystyle{ a_{n+1}=pa_{n}+q(p \ne 0) }[/math]

[math]\displaystyle{ \left( a_{n+1}-\alpha\right)=p\left( a_{n}-\alpha\right) }[/math], [math]\displaystyle{ \alpha =\frac{q}{1-p} }[/math]

[math]\displaystyle{ b_{n}=a_{n}-\alpha }[/math]라고 하면 [math]\displaystyle{ \left\{ b_{n}\right\} }[/math]은 등비수열이 된다.

[math]\displaystyle{ p a_{n+1}+q a_{n}+r=0(p, q\ne 0) }[/math]

[math]\displaystyle{ a_{n+1}=-\frac{q}{p} a_{n}-\frac{r}{p} }[/math]

이렇게 하면, [math]\displaystyle{ a_{n+1}=p a_{n}+q=0(p\ne 0) }[/math]꼴이 된다.

[math]\displaystyle{ p a_{n+2}+q a_{n+1}+r a_{n}=0(p, q, r \ne 0) }[/math]

1. [math]\displaystyle{ p+q+r=0 }[/math]
2. [math]\displaystyle{ p+q+r \ne 0 }[/math]

급수

수열 [math]\displaystyle{ \left \{ a_{n} \right \} }[/math]의 첫째항부터 제[math]\displaystyle{ n }[/math]항까지의 합을 기호 [math]\displaystyle{ \sum }[/math]을 사용하여
[math]\displaystyle{ a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{n}=\sum_{k=1}^{n}a_{k} }[/math]이라고 표현합니다.

급수의 성질

두 수열 [math]\displaystyle{ \left \{ a_{n} \right \},\left \{ b_{n} \right \} }[/math]에 대하여.
[math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}\left ( a_{k}+b_{k} \right )=\\ \left ( a_1+b_1 \right )+\left ( a_2+b_2 \right )+\left ( a_3+b_3 \right )+\cdots+\left ( a_n+b_n \right )=\\ \left ( a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n \right )+\left ( b_1+b_2+b_3+\cdots+b_n \right )=\\ =\sum_{k=1}^{n}a_k+\sum_{k=1}^{n}b_k }[/math]
또 상수 c에 대하여.
[math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}ca_k=ca_1+ca_2+ca_3+\cdots+ca_n\\ =c\left ( a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n \right )\\ =c\sum_{k=1}^{n}a_k }[/math]

여러 가지 급수

이하 내용은 거듭제곱의 합 문서를 참조하세요.

[math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k=1+2+3+\cdots+n=\frac{n\left ( n+1 \right )}{2} }[/math]
이건 위 공식에서 그냥 첫째항과 공차에 각각 1 대입하면 나옵니다.

[math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k^2 }[/math]

항등식 [math]\displaystyle{ \left ( x+1 \right )^{3}-{x}^{3}=3{x}^{2}+3x+1 }[/math]의 [math]\displaystyle{ x }[/math]에
[math]\displaystyle{ 1,2,3,\cdots,n }[/math]을 차례로 대입해 봅시다.
[math]\displaystyle{ \begin{cases} & x=1,2^3-1^3=3\times 1^2+3\times 1+1\\ & x=2,3^3-2^3=3\times 2^2+3\times 2+1 \\ & x=3,4^3-3^3=3\times 3^2+3\times 3+1 \\ & \vdots\\ & x=n,\left ( n+1 \right )^3-n^3=3\times n^2+3\times n+1 \end{cases} }[/math]
싸그리 더하면.
[math]\displaystyle{ \require{cancel} \begin{cases} & x=1,\bcancel{2^3}-1^3=3\times 1^2+3\times 1+1\\ & x=2,\bcancel{3^3}\bcancel{-2^3}=3\times 2^2+3\times 2+1 \\ & x=3,\bcancel{4^3}\bcancel{-3^3}=3\times 3^2+3\times 3+1 \\ & \vdots\\ & x=n,\left ( n+1 \right )^3\bcancel{-n^3}=3\times n^2+3\times n+1 \end{cases} }[/math]
[math]\displaystyle{ \left ( n+1 \right )^{3}-1^3=3\sum_{k=1}^{n}k^2+3\sum_{k=1}^{n}+3\sum_{k=1}^{n}1 }[/math]
그런데 [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}=\frac{n\left ( n+1 \right )}{2},\sum_{k=1}^{n}1=n }[/math]
따라서.
[math]\displaystyle{ \left ( n+1 \right )^3-1^3=3\sum_{k=1}^{n}k^2+3\times \frac{n\left ( n+1 \right )}{2}+n }[/math]
[math]\displaystyle{ 3\sum_{k=1}^{n}k^2=\left ( n+1 \right )^3-\frac{3n\left ( n+1 \right )}{2}-\left ( n+1 \right )=\frac{n\left ( n+1 \right )\left ( 2n+1 \right )}{6} }[/math] 입니다.

수열의 극한

수열의 원소가 n이 커짐에 따라 특정한 값에 다가갈 때, 이 수열은 수렴한다고 한다. 수렴하지 않는 수열은 n이 커짐에 따라 발산한다고 한다.

항의 숫자가 무한히 커질 때, 수열의 값이 어떻게 되는가를 구하면 된다.

무한급수

[math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\sum_{k=1}^{n}a_k }[/math]또는 [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty }a_k }[/math]라고 표기합니다.

무한급수의 수렴(발산) 판정법

고등학교 교육과정에서 다루는 판정법만을 다룹니다. 자세한 내용은 수렴(발산) 판정법을 참고하기 바랍니다.

발산 판정법

수열이 발산하는지만을 판정할 수 있습니다. 반드시 수렴한다고 판정하지는 못합니다.

[math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\sum_{k=1}^{n}a_k=S }[/math]가 성립한다고 하면, [math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\sum_{k=1}^{n-1}a_k=S }[/math]도 성립하게 됩니다. 그러므로, [math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\sum_{k=1}^{n}a_k-\lim_{n \to \infty }\sum_{k=1}^{n-1}a_k=\lim_{n \to \infty}a_n=0 }[/math]이 됩니다. 즉, 무한급수가 수렴한다면, 수열은 0으로 수렴합니다. 이 명제의 대우명제 또한 참이 되므로, 수열이 0으로 수렴하지 않는다면 무한급수의 합은 발산합니다.

비교 판정법

이미 수렴여부가 알려진 무한급수 [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty }b_k }[/math]를 이용해 수렴여부를 판별합니다.

[math]\displaystyle{ 0\le a_{n}\le b_{n} }[/math]이고, [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty }b_k }[/math]이 수렴하면 [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty }a_k }[/math]도 수렴합니다. 또한, [math]\displaystyle{ 0\le b_{n}\le a_{n} }[/math]이고, [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty }b_k }[/math]이 발산하면 [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty }a_k }[/math]도 발산합니다.

여러 가지 수열의 무한급수

무한등비급수

초항이 a이고 공비 r이 [math]\displaystyle{ \left | r \right |\lt 1 }[/math]인 등비수열의 무한급수를 구해 봅시다.
자,초항이 a이고 공비가 r인 등비수열 [math]\displaystyle{ \left \{ a_n \right \} }[/math]의 합은 다음과 같습니다.
[math]\displaystyle{ \huge \frac{a\left ( 1-{r}^{n} \right )}{1-r} }[/math]
[math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }{r}^{n}=0 }[/math]
따라서 [math]\displaystyle{ \huge \lim_{n \to \infty }\frac{a\left ( 1-{r}^{n} \right )}{1-r}=\frac{a}{1-r} }[/math]

무한등비급수를 이용하여 0.99…=1임을 증명해 봅시다.

우선 0.99...는 초항이 0.9이고 공비가 0.1인 무한등비급수라고 할 수 있습니다.
고로 위 식에 대입합니다.
[math]\displaystyle{ \frac{0.9}{1-0.1}=\frac{9}{10-1}=\frac{9}{9}=1 }[/math] 어때요,참 쉽죠?