시리즈:수포자도 쉽게 알 수 있는 수학/미분과 적분

수학이 정말 쉬워서 저 수포자 그만둡니다.

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수포자도 쉽게 알 수 있는 수학
집합과 명제	수의 체계와 수의 성질	문자와 식 및 방정식과 부등식	함수	수열
미분과 적분	확률과 통계	평면기하학과 공간기하학	해석기하학

이 문서에는 극한 개념이 포함되어 있습니다. 극한에 대해 알고 싶은 분은 쉬운 수학:극한을 참고하세요.

미분

고등학생들에겐 악몽의 시작 미분은 간단히 말하면 어떤 함수의 도함수를 구하는 과정이다. 도함수는 뭔데요? 도함수는 함수를 미분했을 때 나오는 함수이다.

미분의 시작, 변화율

실생활의 예

어떤 자동차가 0m의 출발선에서 출발한 뒤 1초 후에 1m, 2초 후에 4m, 3초 후에 9m … 에 도달한다고 해 보자. 즉 자동차는 갈수록 빨라져서 [math]\displaystyle{ x }[/math]초 후 자동차의 위치는 [math]\displaystyle{ x^2 }[/math]m가 된다. 2시간 후에는 지구를 한바퀴 돈다 슈퍼카 이 때 출발하고 나서 10초 동안의 자동차의 평균 속력은 [math]\displaystyle{ \frac{\scriptstyle\text{출발 후에 10초 동안 간 거리}}{\scriptstyle\text{10초}} }[/math]니까, [math]\displaystyle{ \frac{100m}{10초}=10m/s }[/math]가 된다. 그럼 5초에서 10초 사이의 자동차의 속력은? [math]\displaystyle{ \frac{\scriptstyle\text{5~10초 동안 간 거리}}{\scriptstyle\text{10초 - 5초}} = \frac{\scriptstyle\text{(10초일 때 위치) - (5초일 때 위치)}}{\scriptstyle\text{10초 - 5초}} }[/math]니까 [math]\displaystyle{ \frac{100m - 25m}{10초 - 5초} = \frac{75m}{5초} = 15m/s }[/math]가 된다. 이렇듯, 이 자동차의 [math]\displaystyle{ a }[/math]초에서 [math]\displaystyle{ b }[/math]초 사이의 평균속력을 구하고 싶다면 [math]\displaystyle{ \frac{b^2 - a^2}{b - a} }[/math]로 구하면 된다.

그런데 10초 동안 이 자동차의 속력이 10m/s로 일정했을까? 그건 절대 아니다. 그림에서도 분명하게 알 수 있듯이 자동차는 점차 가속하고 있다. 10m/s는 10초 동안 이 자동차의 평균속력이지, 10초가 된 순간에 자동차 계기판에 찍힌 순간 속력은 아니다. 그렇다면 정확히 10초가 된 순간의 속력을 구하기 위해서는 어떻게 해야 할까?

10초가 된 '순간'이라는 것은 10초 근처에서의 '아주 짧은 시간' 동안이라는 것이다. 그러니까 9.999초와 10초 사이의 속력, 혹은 10초와 10.001초 사이의 속력은 10초에서의 순간속력과 거의 비슷하다. 오차를 더 줄이고 싶다면 9.999… 뒤로 9를 더 많이 붙이면 된다. 예를 들어, 9.999초와 10초 사이의 평균 속력보다는 9.9999999999999초와 10초 사이의 평균 속력이 10초에서의 순간속력과 더 가깝다.

수식으로 생각해보자. 우선 9초~10초에서의 속력은 아까 나왔던 [math]\displaystyle{ \frac{b^2 - a^2}{b - a} }[/math]를 활용해서 [math]\displaystyle{ \frac{100m - 81m}{10초 - 9초} }[/math]일 것이고, 9.9초~10초에서는 [math]\displaystyle{ \frac{100m - 98.01m}{10초 - 9.9초} }[/math], 9.99초~10초는 [math]\displaystyle{ \frac{100m - 99.8001m}{10초 - 9.99초} }[/math], … 가 된다.

이렇게 9를 무한히 붙여나갈 때 속력은 극한을 사용해서[math]\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow 10}\frac{100 - x^2}{10 - x} }[/math]라고 쓸 수 있고, 인수분해해서 계산하면 [math]\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow 10}\frac{100 - x^2}{10 - x} = \lim_{x \rightarrow 10}\frac{(10 + x)(10 - x)}{10 - x} = \lim_{x \rightarrow 10}(10 + x) = 20 }[/math]

즉 10초가 된 순간의 자동차의 속력이 20m/s 임을 함수의 극한을 이용해 구한 것이다.

함수에서는?

미분의 원리를 보여 주는 움짤. 두 점 사이의 평균변화율을 나타내는 직선이, 두 점이 한없이 가까워지면 한 점의 순간변화율로 수렴한다.

위에서는 자동차의 위치가 [math]\displaystyle{ f(x)=x^2 }[/math]로 정해져 있을 때이다.

평균변화율을 설명하기 전에 여러분이 알고 가셔야 될 용어가 있습니다. 이 용어는 순간변화율에서도 사용되니 꼭 알아두셔야 합니다. 바로 증분이 그것이죠!

증분이란, 어떤 값의 변화량을 의미합니다. 예를 들어, 함수 y=f(x)에서 x의 값이 a에서 b까지 변한다고 해봅시다. 그럼 y의 값은 f(a)에서 f(b)까지 변하겠죠? 이때, x값의 변화량 b-a를 x의 증분이라고 하고, 기호로 델타x라고 표시합니다. 또한 y값의 변화량 f(b)-f(a)를 y의 증분이라고 하는데요. 이것도 마찬가지로 기호로 델타y라고 표시한답니다.

자, 그럼 평균변화율을 설명해 드리죠!

평균변화율은 바로 x의 증분에대한 y의 증분의 비율입니다. 이것을 수식으로 표현하자면 델타x/델타y=f(b)-f(a)/b-a이고, 델타x=b-a이므로, b=델타x+a라고 표현할 수 있습니다. 따라서 f(b)-f(a)/b-a=f(a+델타x)-f(a)/델타 x가 됩니다. 그리고 우리는 이 식을 직선의 기울기를 구하는 식이라고 말하죠. 무슨 말이냐고요? 간단해요! 평균변화율은 한마디로 두점을 지나는 직선의 기울기라는 소리입니다. 어떤가요? 평균변화율 저글링 잡는 것 보다 쉽죠?

미분이라는 것은 어떤 함수 [math]\displaystyle{ f(x) }[/math]가 있을 때 [math]\displaystyle{ (x, f(x)) }[/math]에서 [math]\displaystyle{ f(x) }[/math]와 접하는 선, 즉 접선의 기울기를 구할 때에 사용된다.

이를 어떻게 구하는지 보자. [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] 함수 위의 두 점, [math]\displaystyle{ (a, f(a)) }[/math]와 [math]\displaystyle{ (b, f(b)) }[/math]를 지나는 선의 기울기는 다음과 같을 것이다.

기울기 : [math]\displaystyle{ \frac{f(b) - f(a)}{b-a} }[/math]

이를 그대로 적용해서, 점 [math]\displaystyle{ (x, f(x)) }[/math]와 그로부터 x축으로 [math]\displaystyle{ \Delta x }[/math]만큼 떨어진 [math]\displaystyle{ (x+\Delta x, f(x+\Delta x)) }[/math] 의 기울기를 표현하면 다음과 같을 것이다.

기울기 : [math]\displaystyle{ \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{ (x + \Delta x) - x} = \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{ \Delta x} }[/math]

이 때 [math]\displaystyle{ \Delta x }[/math]가 작아질수록 이 두 점을 연결하는 선은 점점 우리가 구하고자 하는 접선의 기울기에 가까워지게 된다. 따라서, 함수 [math]\displaystyle{ f(x) }[/math]의 접선의 기울기는 다음과 같이 표현할 수 있다.

접선의 기울기 : [math]\displaystyle{ \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{ \Delta x} }[/math]

이를 함수 [math]\displaystyle{ f(x) }[/math]의 도함수라고 하며, [math]\displaystyle{ f'(x) }[/math] 또는 [math]\displaystyle{ \frac {\mathrm dy}{\mathrm dx} }[/math]라고 표기한다. 전자는 함수 [math]\displaystyle{ f(x) }[/math]의 도함수라는 것을 표현한 것이며, 후자는 접선의 기울기를 나타낸다는 것을 표현한 것이다. 문제에 따라서 편리한 표현방법을 사용하게 된다.

여러 가지 함수의 미분법

멘붕을 방지하기 위해 대부분의 증명은 생략한다. 자세한 증명은 미분으로.

상수함수

상수함수의 그래프

상수함수란 x의 값에 상관없이 항상 함숫값이 일정한 함수다. 즉 [math]\displaystyle{ f(x)=c }[/math]인 함수가 있을 때, 도함수 [math]\displaystyle{ f'(x)=0 }[/math]이다.

미분계수가 곧 그래프에서의 기울기니까, 직관적으로도 도함수는 항상 0임을 알 수 있다.

다항함수

다항함수의 미분법은 아주 간단하다. 빼기, 곱하기만 할 수 있으면 누구나 할 수 있다. 물론 그 증명도 중요하지만 일단 계산법만 올려보자면 아래와 같다.

실수 n에 대해 함수 [math]\displaystyle{ {x}^{n} }[/math]의 도함수는 [math]\displaystyle{ ({x}^{n})'=n{x}^{n-1} }[/math]

마찬가지로 [math]\displaystyle{ \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}({x}^{n})=n{x}^{n-1} }[/math]

상수배

상수배의 미분

[math]\displaystyle{ (cf(x))'=c(f(x))' }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(cf(x))=c\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(f(x)) }[/math]

합차

합의 미분

[math]\displaystyle{ h(x)=f(x) \pm g(x) }[/math]일 때 [math]\displaystyle{ h'(x)=f'(x) \pm g'(x) }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(f(x) \pm g(x))=\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(f(x)) \pm \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(g(x)) }[/math]

여기까지는 정확히 증명을 모르더라도 직관적으로 대충 그럴 듯하게 보인다.

곱의 미분법

곱의 미분

[math]\displaystyle{ h(x)=f(x)·g(x) }[/math]일 때 [math]\displaystyle{ h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(f(x)g(x))=\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(f(x))g(x)+f(x)\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(g(x)) }[/math]

미분했더니 왜 쪼개지냐고 묻는다면- (증명)

[math]\displaystyle{ (f(x)g(x))' = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)-f(x)g(x)}{h} }[/math] [math]\displaystyle{ = \lim_{h \to 0} \left(g(x+h) \frac{f(x+h)-f(x)}{h} + f(x)\frac{g(x+h)-g(x)}{h} \right) = f'(x)g(x)+f(x)g'(x) }[/math]

합성함수의 미분법

[math]\displaystyle{ h(x)=f(g(x)) }[/math]일 때 [math]\displaystyle{ h'(x)=f'(g(x))·g'(x) }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\frac{\mathrm dy}{\mathrm du}\times \frac{\mathrm du}{\mathrm dx} }[/math]

갑자기 왜 [math]\displaystyle{ g'(x) }[/math]가 튀어나왔냐고 묻는다면- (증명)

[math]\displaystyle{ (f(g(x)))' = \lim_{h \to 0} \frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h} = \lim_{h \to 0} \left( \frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{g(x+h)-g(x)} \; \frac{g(x+h)-g(x)}{h} \right) }[/math]

이 때 [math]\displaystyle{ h \rightarrow 0 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ g(x+h) \rightarrow g(x) }[/math]이므로

[math]\displaystyle{ (f(g(x)))' = \lim_{g(x+h) \to g(x)} \frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{g(x+h)-g(x)} × \lim_{h \to 0} \frac{g(x+h)-g(x)}{h} = f'(g(x))g'(x) }[/math]

몫의 미분법

[math]\displaystyle{ h(x)=\frac{f(x)}{g(x)} }[/math]일 때 [math]\displaystyle{ h'(x)=\frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{{g(x)}^2} }[/math]

역함수

임의의 함수 [math]\displaystyle{ f(x) }[/math]의 역함수 [math]\displaystyle{ {{f}^{-1}(x)} }[/math]가 존재하면, [math]\displaystyle{ ({f}^{-1}(x))'=\frac{1}{f'({f}^{-1}(x))} }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}({f}^{-1}(x))=\frac{1}{f'({f}^{-1}(x))} }[/math].

삼각함수

• 삼각함수 공식 외우기는 삼각함수 공식을 외워보자 참고.

[math]\displaystyle{ (\sin x)'=\cos x \left( \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(\sin x)=\cos x \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ (\cos x)'=-\sin x \left( \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(\cos x)=-\sin x \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \color{asd} (\tan x)'={\sec }^{2} x \left( \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(\tan x)={\sec }^{2} x \right) }[/math]

지수함수

[math]\displaystyle{ (e^x)' = e^x \left( \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}e^x = e^x \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ (a^x)' = a^x \ln a \left( \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}({a}^{x})={a}^{x}\ln a (a\neq 1,a\gt 0) \right) }[/math]

로그함수

[math]\displaystyle{ (\ln x)' = \frac{1}{x} \left( \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\ln x = \frac{1}{x} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ (\log_{a} x)' = \frac{1}{x \ln a} \left( \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \log_{a} x = \frac{1}{x \ln {a}} \right) }[/math]

평균값 정리

구간단속방법을 잘 나타내는 그림으로 수정바람 ㅠㅠ

도로교통 이야기로 잠시 넘어가보자. 구간단속은 일정 구간에서 평균 속도가 제한 속도를 위반하면 적발하는 단속 방법이다. 이전까지 쓰이던 지점단속에는 단속 대상자가 카메라 앞에서만 속도를 잠시 줄인 뒤 카메라에서 벗어나면 다시 과속을 할 수 있다는 문제가 있었다. 그러나 구간단속에서는 이런 꼼수가 원천 차단된다.

예를 들어 어떤 운전자의 차량이 적발 속도가 80km/h이고 길이가 1km인 구간단속 시작지점에 들어설 때 시속 60km으로 달리고 있었다고 가정하고 30초 후 끝지점으로 나올 때 여전히 시속 60km로 달리고 있었다고 가정하자. 이때 이 차량의 평균 속도는 120km/h이다. 이 결과는 단속구간에 있을 때 어느 순간 차량의 순간속도가 120km/h을 찍었다는 걸 의미한다. 지점단속으로는 단속에 걸리지 않지만 구간단속으로는 얄짤없이 단속에 걸리게 된다. 이 상황을 약간 추상화하면, 어느 구간에서 (구간 양끝 함수값의 차)/(구간 양끝점의 차)의 값과 같은 미분계수를 가지는 지점이 존재한다는 결론을 얻고, 이것이 바로 평균값 정리다.

적분

부정적분

문과생에게도 잘 알려져 있는 "적분은 미분 거꾸로, 미분은 적분 거꾸로"

상수배

[math]\displaystyle{ \int c f(x) dx = c \int f(x) dx }[/math]

합차

[math]\displaystyle{ \int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx }[/math]

[math]\displaystyle{ \color{#FF00}{{x}^{n}} }[/math]

함수		역도함수(부정적분)
[math]\displaystyle{ {x}^{n} }[/math]		[math]\displaystyle{ n \neq -1 }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{{x}^{n+1}}{n+1}+C }[/math]
		[math]\displaystyle{ n = -1 }[/math]	[math]\displaystyle{ \ln |x|+C }[/math]

삼각함수

함수		역도함수(부정적분)
[math]\displaystyle{ \sin x }[/math]		[math]\displaystyle{ -\cos x +C }[/math]
[math]\displaystyle{ \cos x }[/math]		[math]\displaystyle{ \sin x+C }[/math]
[math]\displaystyle{ {\sec}^{2} x }[/math]		[math]\displaystyle{ \tan x+C }[/math]
[math]\displaystyle{ {\csc}^{2} x }[/math]		[math]\displaystyle{ -\cot x+C }[/math]
[math]\displaystyle{ \sec x \tan x }[/math]		[math]\displaystyle{ \sec x +C }[/math]
[math]\displaystyle{ \csc x \cot x }[/math]		[math]\displaystyle{ -\csc x +C }[/math]

[math]\displaystyle{ {a}^{x},a\gt 0,a\neq 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ \int {a}^{x} dx=\frac{{a}^{x}}{\ln a}+C }[/math]

치환적분법

[math]\displaystyle{ \int f(x) dx = \int f(g(t)) g'(t) dt }[/math]

뭐 이렇기는 한데, 미분의 합성함수의 미분법과는 달리 치환적분법은 모든 합성함수에 대해 적용할 수가 없다. 오히려 적용이 거의 안 되는 경우가 훨씬 더 많다!

전혀 간단하지 않게 말하자면 [math]\displaystyle{ t= }[/math]([math]\displaystyle{ x }[/math]에 관한 적당한 함수)로 놓고 [math]\displaystyle{ x= }[/math]([math]\displaystyle{ t }[/math]에 관한 함수)로 적절히 변형한 다음에 위 식에 대입하자.
또는 dt,dx 등을 숫자처럼 취급하여 적당한 함수를 t로 놓은 다음에 적당히 양변을 미분해 보자.

예시 1 : [math]\displaystyle{ \int {(2x+1)}^{3} dx = ? }[/math]

[math]\displaystyle{ 2x+1=t, f(x)={(2x+1)}^{3} }[/math]로 놓자. 양변에 1을 빼고 2로 나누면, [math]\displaystyle{ x=\frac{t-1}{2}=g(t) \implies g'(t)=\frac{1}{2}=\frac{dx}{dt} }[/math]

이제 [math]\displaystyle{ f(x) }[/math]에 대입하면

[math]\displaystyle{ \int {(2x+1)}^{3} dx = \int { \left( 2×\frac{t-1}{2} + 1 \right) }^{3} \times \frac{1}{2} dt }[/math] [math]\displaystyle{ = \int \frac{1}{2}{t}^{3} dt = \frac{1}{2} \int {t}^{3} dt = \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} t^4+C = \frac{1}{8} t^4+C }[/math]

[math]\displaystyle{ t=2x+1 }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ t }[/math]에 다시 대입하면 [math]\displaystyle{ \frac{1}{8} {(2x+1)}^{4} + C }[/math]

예시 2 : [math]\displaystyle{ \int \tan x dx = ? }[/math]

[math]\displaystyle{ \tan x=\frac{\sin x}{\cos x} }[/math] 이므로 주어진 식은 [math]\displaystyle{ \int \frac{\sin x}{\cos x} dx }[/math]

이때 [math]\displaystyle{ t=g(x)=\cos x }[/math]로 두면 [math]\displaystyle{ g'(x) = - \sin x = \frac{{\mathrm d}t}{\mathrm dx} }[/math]

[math]\displaystyle{ \int \frac{\sin x}{\cos x}dx = \int \frac{1}{t} × -1 dt = -\int \frac{1}{t} dt = -\ln|t| + C }[/math]

[math]\displaystyle{ t= \cos x }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ t }[/math]에 다시 대입하면 [math]\displaystyle{ - \ln|\cos x| + C }[/math]

예시 3 : [math]\displaystyle{ \int \csc x dx = ? }[/math]

[math]\displaystyle{ \int \frac{1}{\sin x}dx }[/math]
[math]\displaystyle{ \int \frac{\sin x}{\sin^2 x}dx }[/math]
[math]\displaystyle{ \int \frac{\sin x}{1-\cos^2 x}dx }[/math]
[math]\displaystyle{ t=\cos x }[/math],[math]\displaystyle{ \frac{dt}{dx}=-\sin x }[/math]
[math]\displaystyle{ dt=-\sin x dx }[/math]
[math]\displaystyle{ -\frac{1}{\sin x}dt=dx }[/math]
[math]\displaystyle{ -\int \frac{1}{1-t^{2}}dt }[/math]
[math]\displaystyle{ -\frac{1}{2}\int \ \left ( \frac{1}{1+t}+\frac{1}{1-t} \right )dt }[/math]
[math]\displaystyle{ -\frac{1}{2}\int \frac{1}{1+t} dt-\frac{1}{2}\int \frac{1}{1-t} dt }[/math]
[math]\displaystyle{ -\frac{1}{2}\ln\left | 1+t \right |+\frac{1}{2}\ln \left | 1-t \right |+C }[/math]
[math]\displaystyle{ -\frac{1}{2}\ln\left | 1+\cos x \right |+\frac{1}{2}\ln \left | 1-\cos x \right |+C }[/math]
[math]\displaystyle{ \frac{1}{2}\ln\left | \frac{1-\cos x}{1+\cos x} \right |+C }[/math]

예시 4 : [math]\displaystyle{ \int \sec x dx = ? }[/math]

[math]\displaystyle{ \int \frac{1}{\cos x}dx }[/math]
[math]\displaystyle{ \int \frac{\cos x}{\cos^2 x}dx }[/math]
[math]\displaystyle{ \int \frac{\cos x}{1-\sin^2 x}dx }[/math]
[math]\displaystyle{ t=\sin x }[/math],[math]\displaystyle{ \frac{dt}{dx}=\cos x }[/math]
[math]\displaystyle{ dt=\cos x dx }[/math]
[math]\displaystyle{ \frac{1}{\cos x}dt=dx }[/math]
[math]\displaystyle{ \int \frac{1}{1-t^{2}}dt }[/math]
[math]\displaystyle{ \frac{1}{2}\int \ \left ( \frac{1}{1+t}+\frac{1}{1-t} \right )dt }[/math]
[math]\displaystyle{ \frac{1}{2}\int \frac{1}{1+t} dt-\frac{1}{2}\int \frac{1}{1-t} dt }[/math]
[math]\displaystyle{ \frac{1}{2}\ln\left | 1+t \right |+\frac{1}{2}\ln \left | 1-t \right |+C }[/math]
[math]\displaystyle{ \frac{1}{2}\ln\left | 1+\sin x \right |-\frac{1}{2}\ln \left | 1-\sin x \right |+C }[/math]
[math]\displaystyle{ \frac{1}{2}\ln\left | \frac{1+\sin x}{1-\sin x} \right |+C }[/math]

예시 5: [math]\displaystyle{ \int \cot x dx=? }[/math]

[math]\displaystyle{ \int \frac{\cos x}{\sin x}dx }[/math]
[math]\displaystyle{ t=\sin x,\frac{dt}{dx}=\cos x,dt=\cos x dx,\frac{1}{\cos x}dt=dx }[/math]
[math]\displaystyle{ \int \frac{1}{t}dt,\ln\left | t \right |+C,\ln\left | \sin x \right |+C }[/math]

예시 6: [math]\displaystyle{ \int \sqrt{1+b^2 \left ( \ln a \right )^{2}a^{2\left ( bx+c \right )}}dx }[/math]

1.이 함수는 곡선 [math]\displaystyle{ f(x)=a^{bx+c} }[/math]의 길이를 구하는 데 필요한 함수이므로 한번 구해봅시다.
2.우선 [math]\displaystyle{ t=a^{2\left ( bx+c \right )} }[/math]로 삼아야 합니다.
3.양변에 자연대수를 취해볼까요?
4.[math]\displaystyle{ \ln t=2\left ( bx+c \right )\ln a }[/math]
5.[math]\displaystyle{ \frac{\ln t}{2\ln a}=bx+c }[/math]
6.[math]\displaystyle{ \frac{\ln t}{2\ln a}-c=bx }[/math]
7.[math]\displaystyle{ \frac{\ln t}{2b\ln a}-\frac{c}{b}=x=g(t) }[/math]
8.자,이제 양변에 미분을 먹여줍시다.
9.[math]\displaystyle{ \frac{1}{2bt\ln a }=g'(t) }[/math]
10.이제 [math]\displaystyle{ f(x)=\sqrt{1+a^{\left ( 2\left ( bx+c \right ) \right )}b^{2} \left (\ln a \right )^2} }[/math]에 대입합시다.
11.[math]\displaystyle{ 2(bx+c)=\frac{\ln t}{\ln a} }[/math]
12.[math]\displaystyle{ \frac{\int \sqrt{1+b^2\left ( \ln a \right )^{2}t}}{2bt \ln a} dt }[/math]
13.아무튼 이렇게 됩니다.자 아무튼 [math]\displaystyle{ \frac{\int \sqrt{1+b^2\left ( \ln a \right )^{2}x}}{2bx \ln a} dx\\ }[/math]을 구해봅시다.
14.[math]\displaystyle{ t=\sqrt{1+b^{2}\left ( \ln a \right )^{2}x}\\ t^{2}=1+b^2\left ( \ln a \right )^{2}x\\ t^{2}-1=b^2\left ( \ln a \right )^{2}x\\ \frac{t^{2}-1}{b^2\left ( \ln a \right )^{2}}=x=g(t)\\ \frac{2t}{b^2\left ( \ln a \right )^{2}}=g'(t)\\ }[/math]
15.[math]\displaystyle{ \frac{\frac{2t^2}{b^2\left ( \ln a \right )^2}}{\frac{2b\ln a\left ( t^2-1 \right )}{b^2\left ( \ln a \right )^2}} }[/math]
16.[math]\displaystyle{ \frac{2t^2}{b^2\left ( \ln a \right )^2}\\ \frac{2b\ln a\left ( t^2-1 \right )}{b^2\left ( \ln a \right )^2}\\ \int \frac{\frac{2t^2}{b^2\left ( \ln a \right )^2}}{\frac{2b\ln a\left ( t^2-1 \right )}{b^2\left ( \ln a \right )^2}} dt\\ \int \frac{2t^2}{2b\ln a \left ( t^2-1 \right )}dt\\ \int \frac{t^2}{b\ln a \left ( t^2-1 \right )}dt\\ \frac{1}{b\ln a}\int \frac{t^2}{t^2-1}dt\\ \frac{1}{b\ln a}\int \left ( \frac{t^2-1+1}{t^2-1} \right )dt\\ \frac{1}{b\ln a}\int \left ( 1-\frac{1}{t^2-1} \right )dt\\ }[/math]
17. [math]\displaystyle{ \frac{1}{t^2-1}=\frac{A}{t+1}+\frac{B}{t-1}\\ \frac{1}{t^2-1}=\frac{At-A+Bt+B}{t^2-1}\Leftrightarrow \left ( A+B \right )t+\left ( B-A \right )=1\\ \begin{cases} & A+B= 0\\ & B-A= 1 \end{cases}\\ \begin{pmatrix} 1 & 1\\ -1 & 1 \end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{-1}{2}\\ \frac{1}{2} \end{pmatrix}\\ A=-\frac{1}{2},B=\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}\left ( \frac{1}{t-1} -\frac{1}{t+1}\right )=\frac{1}{t^2-1} }[/math]
18. [math]\displaystyle{ \frac{1}{b\ln a}\int \left ( 1-\frac{1}{t^2-1} \right )dt\\ \frac{1}{b \ln a}\left ( \int 1 dt -\frac{1}{2}\int\left ( \frac{1}{t-1}-\frac{1}{t+1} \right ) dt\right )\\ \frac{1}{b \ln a}\left ( t-\frac{1}{2}\ln \left | \frac{t-1}{t+1} \right | \right )+C\\ }[/math] 19. [math]\displaystyle{ \frac{1}{b \ln a}\left ( \sqrt{1+b^{2}\left ( \ln a \right )^{2}x}-\frac{1}{2}\ln \left | \frac{\sqrt{1+b^{2}\left ( \ln a \right )^{2}x}-1}{\sqrt{1+b^{2}\left ( \ln a \right )^{2}x}+1} \right | \right )+C\\ }[/math] 20. 12번의 부정적분은 [math]\displaystyle{ \frac{1}{b \ln a}\left ( \sqrt{1+b^{2}\left ( \ln a \right )^{2}t}-\frac{1}{2}\ln \left | \frac{\sqrt{1+b^{2}\left ( \ln a \right )^{2}t}-1}{\sqrt{1+b^{2}\left ( \ln a \right )^{2}t}+1} \right | \right )+C\\ }[/math] 아래와 같습니다.
21.이제 원래대로 되돌아갑시다...

[math]\displaystyle{ \frac{1}{b \ln a}\left ( \sqrt{1+b^{2}\left ( \ln a \right )^{2}a^{2\left ( bx+c \right )} }-\frac{1}{2}\ln \left | \frac{\sqrt{1+b^{2}\left ( \ln a \right )^{2}a^{2\left ( bx+c \right )}}-1}{\sqrt{1+b^{2}\left ( \ln a \right )^{2}a^{2\left ( bx+c \right )}}+1} \right | \right )+C\\ }[/math]

22.

[math]\displaystyle{ \frac{\sqrt{1+b^{2}\left ( \ln a \right )^2 a^{2\left ( bx+c \right )}}-\frac{1}{2}\ln \left | \frac{\sqrt{1+b^{2}\left ( \ln a \right )^2 a^{2\left (bx+c \right )}}-1}{\sqrt{1+b^{2}\left ( \ln a \right )^2 a^{2\left (bx+c \right )}}+1} \right |}{b\ln a}+C\\ \frac{2\sqrt{1+b^{2}\left ( \ln a \right )^2 a^{2\left (bx+c \right )}}-\ln \left | \frac{\sqrt{1+b^{2}\left ( \ln a \right )^2 a^{2\left (bx+c \right )}}-1}{\sqrt{1+b^{2}\left ( \ln a \right )^2 a^{2\left (bx+c \right )}}+1} \right |}{2b\ln a}+C\\ }[/math]

이제 끝났습니다.

부분적분법

[math]\displaystyle{ \int f(x)g'(x) dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx }[/math]

　　　　　　　　 　그　적　　　　　미　그(...)

[math]\displaystyle{ f(x) }[/math]를 그대로 두고 [math]\displaystyle{ g'(x) }[/math]를 적분한 뒤 적분 안에서 [math]\displaystyle{ f(x) }[/math]를 미분하고 [math]\displaystyle{ g'(x) }[/math]를 적분한 그대로 둔다.

로그함수, 역삼각함수, 다항함수, 삼각함수, 지수함수 중에서 가장 전자를 [math]\displaystyle{ f(x) }[/math]에 대입하고 후자를 [math]\displaystyle{ g'(x) }[/math]에 대입하는 것이 좋다. 후자로 갈수록 적분하기 쉬우며 적분한 함수가 간단하기 때문.

곱의 미분법 적분판이라고 볼 수 있…지만 만능은 전혀 아니다. 또 뒤에 달린 [math]\displaystyle{ \int f'(x)g(x)dx }[/math]에서 다시 부분적분을 할 수 있다. 즉 부분적분을 연쇄적으로 두 번, 세 번 할 수도 있다.

예시 1 : [math]\displaystyle{ \int x e^x\ dx = ? }[/math]

[math]\displaystyle{ x }[/math]를 [math]\displaystyle{ f(x) }[/math]로, [math]\displaystyle{ e^x }[/math]를 [math]\displaystyle{ g'(x) }[/math]로 놓자. 즉 [math]\displaystyle{ x }[/math]는 미분하고 [math]\displaystyle{ e^x }[/math]는 적분해서

[math]\displaystyle{ \int x e^x dx = x(e^x +C) - \int 1·(e^x +C) = x e^x + Cx - (e^x + Cx + D ) = (x-1)e^x - D }[/math]

(단, [math]\displaystyle{ C, D }[/math]는 적분상수다.)

이 때 적분상수는 부호를 떼버려도 된다. 적분상수 자체가 정해진 값이 아닌, 임의의 실수이기 때문.

[math]\displaystyle{ \therefore \int x e^x dx = (x-1)e^x + D }[/math]

예시 2 : [math]\displaystyle{ \int \log_{a} x\ dx = ? \; (a\gt 0) }[/math]

우선 로그함수를 자연로그로 바꿔 [math]\displaystyle{ \int \log_{a} x dx = \int \frac{\ln x}{\ln a} dx = \frac{1}{\ln a} \int \ln x dx }[/math]로 쓰자.

이제 적분하거나 미분할 함수 2개가 필요한데, 보이는 건 [math]\displaystyle{ \ln x }[/math]밖에 없다! 이 때는 당황하지 말고 앞에 숨어 있는 1을 끄집어내서 [math]\displaystyle{ 1 × \ln x }[/math]로 만들고 1을 다항함수로 취급하자.

1은 적분하고 [math]\displaystyle{ \ln x }[/math]는 미분하면 [math]\displaystyle{ \frac{1}{\ln a} \int 1 × \ln x dx = \frac{1}{\ln a} \left(x \ln x - \int x·\frac{1}{x} dx \right) = \frac{1}{\ln a} \left( x \ln x - \int 1 dx \right) = \frac{1}{\ln a} (x \ln x - x) }[/math]

[math]\displaystyle{ \therefore \int \log_{a} x\ dx = \frac{1}{\ln a} (x \ln x - x) \; (a\gt 0) }[/math]

예시 3 : [math]\displaystyle{ \int x\log_{a} x\ dx = ? \; (a\gt 0) }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{1}{\ln a}\int x \ln x dx }[/math]
[math]\displaystyle{ f(x)=\ln x,g'(x)=x }[/math]로 둡니다.
[math]\displaystyle{ \frac{1}{\ln a}\int x \ln x dx=\frac{1}{\ln a} \left ( \ln x\left ( \frac{x^{2}}{2}+C \right )-\int \frac{1}{x}\left ( \frac{x^{2}}{2}+C \right )dx \right ) }[/math]
[math]\displaystyle{ \frac{1}{\ln a}\int x \ln x dx=\frac{1}{\ln a} \left ( \frac{x^{2}\ln x}{2}+C\ln x+\int \left ( \frac{-x^{2}}{2x}+\frac{-C}{x} \right ) dx \right ) }[/math]
[math]\displaystyle{ \frac{1}{\ln a}\int x \ln x dx=\frac{1}{\ln a} \left ( \frac{x^{2}\ln x}{2}+C\ln x+\int \left ( \frac{-x}{2}+\frac{-C}{x} \right ) dx \right ) }[/math]
[math]\displaystyle{ \frac{1}{\ln a}\int x \ln x dx=\frac{1}{\ln a} \left ( \frac{x^{2}\ln x}{2}+C\ln x+\int \frac{-x}{2}dx+\int \frac{-C}{x} dx\right ) }[/math]
[math]\displaystyle{ \frac{1}{\ln a}\int x \ln x dx=\frac{1}{\ln a} \left ( \frac{x^{2}\ln x}{2}+C\ln x-\frac{1}{2}\int \ xdx-C\int \frac{1}{x} dx\right ) }[/math]
[math]\displaystyle{ \frac{1}{\ln a}\int x \ln x dx=\frac{1}{\ln a} \left ( \frac{x^{2}\ln x}{2}+C\ln x-\frac{1}{2}\times \frac{x^{2}}{2}-C\times \ln \left | x \right | \right )+D }[/math]
[math]\displaystyle{ \frac{1}{\ln a}\int x \ln x dx=\frac{1}{\ln a} \left ( \frac{x^{2}\ln x}{2}+C\ln x-\frac{x^{2}}{4}-C\ln \left | x \right | \right )+D }[/math]
그런데 [math]\displaystyle{ x\geq 0 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \left | x \right |=x }[/math]입니다.따라서.
[math]\displaystyle{ \require{cancel} \frac{1}{\ln a}\int x \ln x dx=\frac{1}{\ln a} \left ( \frac{x^{2}\ln x}{2}\cancel{+C\ln x}-\frac{x^{2}}{4}+\cancel{-C\ln x} \right )+D }[/math]
[math]\displaystyle{ \frac{1}{\ln a}\int x \ln x dx=\frac{1}{\ln a} \left ( \frac{x^{2}\ln x}{2}-\frac{x^{2}}{4} \right )+D }[/math]
[math]\displaystyle{ \frac{1}{\ln a}\int x \ln x dx= \frac{x^{2}\ln x}{2\ln a}-\frac{x^{2}}{4\ln a} +D }[/math]
[math]\displaystyle{ \frac{1}{\ln a}\int x \ln x dx= \frac{2x^{2}\ln x-x^{2}}{4\ln a} +D }[/math]
[math]\displaystyle{ \therefore \frac{1}{\ln a}\int x \ln x dx= \frac{x^{2}\left ( 2\ln x -1 \right )}{4\ln a} +D }[/math]

부분적분의 빠른 계산을 위한 팁

위에서 [math]\displaystyle{ f\left(x\right) }[/math]와 [math]\displaystyle{ g\left(x\right) }[/math]자리에 어떤 함수가 들어가야 빠르게 계산할 수 있는지에 관한 팁이다.

• L-I-A-T-E

  L = 로그함수, I = 역삼각함수, A = 대수함수(다항함수, 유리함수, 무리함수), T = 삼각함수, E = 지수함수

  적분기호 안의 함수를 위 순서대로 배열한다. 그런 다음, 왼쪽에 있는 함수를 [math]\displaystyle{ f\left(x\right) }[/math], 오른쪽에 있는 함수를 [math]\displaystyle{ g^\prime \left(x\right) }[/math]로 놓고 부분적분을 사용하면 된다.

  이렇게 하면 연쇄적으로 해야 하는 부분적분의 횟수를 최소한으로 할 수 있다.

정적분

정적분이란 함수 y=f(x)와 닫힌 구간[a, b]로 둘러 싸인 도형의 넓이를 구하는 방법이다. 사실 보통 배울 때 적분은 미분 거꾸로다... 라고 배우는데, 사실 미적분은 절대 같이 발달한 게 아니다. 단지 계산식이 그렇게 얽혀 있을 뿐이다(미적분의 기본 정리인가 뭔가. 얼핏 보면 적분을 미분하면 원래 식이 나온다는 게 당연한 거 아닌가? 라는 생각도 들지만, 적분과 미분의 관계를 설명하는 중요한 포인트다. ). 여기서 미분과는 좀 상관없어 보이는 넓이 개념이 나오는 것도 그 때문.

구분구적법

도형의 넓이나 입체의 부피를 다음과 같이 구할 수 있다.

1. 주어진 도형을 충분히 작은 여러 개의 기본 도형으로 나누고,
2. 그 기본 도형의 넓이 또는 부피의 합을 구할 수 있는 식을 만들고
3. 2에서 구한 식에서 n->∞일 때의 극한값을 구하면 됩니다.

이것이 바로 구분구적법이다.

다음은 구분 구적법을 적용해서 도형의 넓이를 구한 것이다.

구분구적법을 활용한 삼각형의 넓이 구하기

화면 확대가 필요하다!도저히 작성자의 실력으로는 도형과 식들을 표현 할 수 없었다 카더라.

여기까지가 구분구적법의 설명! 하지만, 작성자가 구분구적법을 공부하실 위키러에게 드리고 싶은 말씀은, 수능에 안 나올 거 같다고, 중요하지 않다고 막 넘기시지 마시고, 어떻게 해서 구분구적법이 나오게 되었는가? 즉, 구분구적법의 원리와 발상을 공부해 보시라는 것이다. 수능에서는 흔한 합답형 문제로 출제된다. 위에서 말한 적분의 발생 기원과 관련있을지도...(단순한 미분 거꾸로가 아니라는 거)

정의

[math]\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{k=1}^{n}f(x_{k})\Delta x(\Delta x=\frac{b-a}{n},x_{k}=a+k\Delta x)=\int_{a}^{b}f(x)dx }[/math]

예제 1

[math]\displaystyle{ \int_{1}^{2} {x}^{2} dx }[/math]
[math]\displaystyle{ f(x)={x}^{2} }[/math]
[math]\displaystyle{ a=1,b=2,b-a=1 }[/math]
[math]\displaystyle{ \Delta x=\frac{1}{n},{x}_{k}=1+k\Delta x=1+\frac{k}{n} }[/math]
[math]\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow \infty } \sum_{k=1}^{n}(1+\frac{k}{n})^2\frac{1}{n} }[/math]
[math]\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow \infty } \sum_{k=1}^{n}(1+\frac{2k}{n}+\frac{k^{2}}{n^2})\frac{1}{n} }[/math]
[math]\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow \infty } \sum_{k=1}^{n}(\frac{1}{n}+\frac{2k}{n^2}+\frac{k^{2}}{n^3}) }[/math]
[math]\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow \infty }(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n}+\sum_{k=1}^{n}\frac{2k}{n^2}+\sum_{k=1}^{n}\frac{{k}^{2}}{{n}^{3}}) }[/math]
[math]\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow \infty }(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}1+\frac{2}{n^2}\sum_{k=1}^{n}k+\frac{1}{n^3}\sum_{k=1}^{n}{k}^{2}) }[/math]
그리고
[math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2},\sum_{k=1}^{n}{k}^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} }[/math]
입니다.
[math]\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow \infty }(1+\frac{2}{n^2}\frac{n(n+1)}{2}+\frac{1}{n^3}\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}) }[/math]
[math]\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow \infty }(1+\frac{n(n+1)}{n^2}+\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}) }[/math]
극한의 성질에 따라 세 식 모두 수렴하므로 각각 분리한다.
[math]\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow \infty }1+\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{n(n+1)}{n^2}+\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3} }[/math]
[math]\displaystyle{ 1+1+\frac{1}{3}=\frac{7}{3} }[/math]

미적분의 기본정리

[math]\displaystyle{ f(x) }[/math]가 닫힌구간 [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]에서 연속일 때, [math]\displaystyle{ \frac{d}{dx} \int_{a}^{b} f(t)\, dt=f(x) }[/math]이다.
닫힌구간 [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]에서 연속인 함수 [math]\displaystyle{ f(x) }[/math]의 한 부정적분을 [math]\displaystyle{ F(x) }[/math]라고 할 때, [math]\displaystyle{ \int_{a}^{b} f(x) dx=F(b)-F(a) }[/math]

이 미적분의 기본정리를 통하여 이제 정적분의 계산을 쉽게 할 수 있다. 정적분 계산할 때 부정적분이 사용되므로 이제까지 부정적분 구하는 연습을 한 것이다. 이 정리가 없었으면 정적분값을 구할 때, 항상 구분구적법 처음 할 때처럼, 구간을 나누고 도형의 합을 계산하고 극한으로 보내는 작업을 해야 한다.