평균값 정리

평균값 정리(Mean value theorem, MVT)는 미분가능한 함수의 그래프의 두 점을 이었을 때, 두 점 사이의 다른 점이 존재하여 그 점에서 접선의 기울기가 두 점을 이은 직선의 기울기와 같다는 명제다.

진술

실수 [math]\displaystyle{ a,b\;(a\lt b) }[/math]에 대해, 함수 [math]\displaystyle{ f:[a,b]\to\mathbb{R} }[/math]가 닫힌 구간 [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]에서 연속이고 열린 구간 [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math]에서 미분가능하면,

[math]\displaystyle{ \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c) }[/math]

인 [math]\displaystyle{ c\in(a,b) }[/math]가 존재한다.

증명

[math]\displaystyle{ g(x) = f(x) - f(a) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a) }[/math] 라고 하자. 그러면 [math]\displaystyle{ g(a) = 0, g(b) = 0 }[/math]이라서 롤의 정리를 적용해 [math]\displaystyle{ g'(c) = 0 = f'(c) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a} }[/math]인 [math]\displaystyle{ c }[/math]를 찾을 수 있다. 그러면 [math]\displaystyle{ f'(c)= \frac{f(b)-f(a)}{b-a} }[/math]. 롤의 정리가 캐리해서 짧아진 증명

코시의 평균값 정리

위 평균값의 정리를 좀 더 일반화 시킨 버전.

실수 [math]\displaystyle{ a,b\;(a\lt b) }[/math]에 대해, 함수 [math]\displaystyle{ f,g:[a,b]\to\mathbb{R} }[/math]가 닫힌 구간 [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]에서 연속이고 열린 구간 [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math]에서 미분가능하면,

[math]\displaystyle{ \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)} }[/math]

인 점 [math]\displaystyle{ c\in (a,b) }[/math]가 존재한다.

증명

함수 [math]\displaystyle{ h:[a,b]\to\mathbb{R} }[/math]을 다음과 같이 정의하자.

[math]\displaystyle{ h(x)=\frac{g(b)-g(a)}{b-a}f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}g(x) }[/math]

그러면 h는 닫힌 구간 [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]에서 연속이고 열린 구간 [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math]에서 미분가능하며,

[math]\displaystyle{ h(b)-h(a)=0 }[/math]

이다. 따라서 롤의 정리에 의해 [math]\displaystyle{ h'(c)=0 }[/math]인 [math]\displaystyle{ c\in (a,b) }[/math]가 존재한다. 그러면

[math]\displaystyle{ \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)} }[/math]

이므로 원하는 결론을 얻는다.

다변수 함수의 평균값 정리

어떤 두 점 [math]\displaystyle{ a, b \in \mathbb R^n }[/math]에 대하여 함수 [math]\displaystyle{ f:\; ab=\{ta+(1-t)b: \; t \in [0,1]\} \rightarrow \mathbb R }[/math]이 [math]\displaystyle{ ab^\circ }[/math](양 끝 점 제외)에서 미분 가능하고 [math]\displaystyle{ a, b }[/math]에서 연속이면, 다음이 성립하는 [math]\displaystyle{ c\in ab^\circ }[/math]이 존재한다:

[math]\displaystyle{ f(b) - f(a) = \nabla f(c)^{\mathrm T} (b-a). }[/math]

이때 우변은 두 벡터의 유클리드 내적이다.

적분의 평균값 정리

연속함수 [math]\displaystyle{ f:\; \mathbb R^n \supseteq D\rightarrow \mathbb R }[/math]에 대하여 [math]\displaystyle{ D }[/math]가 nonempty compact connected subset이면, 다음이 성립하는 [math]\displaystyle{ c \in D }[/math]이 존재한다:

[math]\displaystyle{ f(c) \int_D \;\mathrm dx= \int_D f(x)\; \mathrm dx. }[/math]

이를 1차원의 경우로 약화하면

[math]\displaystyle{ \left[\exists c \in (a,b) : \; f(c) (b-a)= \int _a ^b f(x) \;\mathrm d x\right] }[/math] for all real [math]\displaystyle{ a \ne b }[/math]

이 된다.

증명

주어진 정의역에서 최댓값과 최솟값이 존재하므로(최대-최소 정리), 이를 각각 [math]\displaystyle{ M }[/math], [math]\displaystyle{ m }[/math]이라 하면

[math]\displaystyle{ m \le f(x) \le M }[/math],

[math]\displaystyle{ mA = \int_D m\; \mathrm dx \le \int_D f(x)\; \mathrm dx \le \int_D M\;\mathrm dx = MA }[/math]

인데 [math]\displaystyle{ A=\int_D \;\mathrm dx = 0 }[/math]이면 주어진 명제가 성립하므로, 이 경우를 제외하고 생각하면 일반성을 잃지 않고 A > 0이므로

[math]\displaystyle{ m \le \frac 1 A \int_D f(x)\; \mathrm dx \le M }[/math]

이고, 함숫값이 [math]\displaystyle{ M }[/math]과 [math]\displaystyle{ m }[/math]인 두 점을 이은 어떤 선 중 D에 속한 것(정의역이 연결집합이므로 D에 속하는 어떤 선이 존재한다.)을 t ∈ [0, 1]로 매개화하면 중간값 정리에 의하여 증명이 완료된다.

일반화된 적분의 평균값 정리

연속함수 [math]\displaystyle{ f,g:\; \mathbb R^n \supseteq D\rightarrow \mathbb R }[/math]에 대하여 [math]\displaystyle{ D }[/math]가 nonempty compact connected subset이고 [math]\displaystyle{ g(x) }[/math]의 부호(nonnegative 또는 nonpositive)가 정의역 전체에서 일정한 적분가능 함수면, 다음이 성립하는 [math]\displaystyle{ c \in D }[/math]이 존재한다:

[math]\displaystyle{ f(c) \int_D g(x) \; \mathrm dx = \int_D f(x)g(x)\; \mathrm dx. }[/math]

이를 1차원의 경우로 약화하면

[math]\displaystyle{ \left[\exists c \in (a,b) : \; f(c) \int_a^b g(x)\; \mathrm dx= \int _a ^b f(x) g(x)\; \mathrm d x\right] }[/math] for all real [math]\displaystyle{ a \ne b }[/math]

이 된다.

증명은 위와 거의 같다.

활용

함수의 증감

여러 가지 활용이 있겠지만 가장 익숙한 것은 함수의 그래프를 그리는 방법일 것이다.

함수 [math]\displaystyle{ f }[/math]가 [math]\displaystyle{ \left(a, b\right) }[/math]에서 미분가능하고 [math]\displaystyle{ f'\left(x\right) \geq 0 }[/math]이면, [math]\displaystyle{ f }[/math]는 그 구간에서 증가한다.

함수 [math]\displaystyle{ f }[/math]가 [math]\displaystyle{ \left(a, b\right) }[/math]에서 미분가능하고 [math]\displaystyle{ f'\left(x\right) \leq 0 }[/math]이면, [math]\displaystyle{ f }[/math]는 그 구간에서 감소한다.

증명

[math]\displaystyle{ \left(a,b\right) }[/math]내에서 임의의 [math]\displaystyle{ x_1, x_2 }[/math]를 [math]\displaystyle{ x_1\lt x_2 }[/math]가 되게 잡는다. 그럼 [math]\displaystyle{ f }[/math]는 [math]\displaystyle{ \left[x_1, x_2\right] }[/math]에서 연속이고 [math]\displaystyle{ \left(x_1, x_2\right) }[/math]에서 미분가능하다. 따라서 평균값의 정리에 의해 [math]\displaystyle{ f'\left(x_0\right) = \frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_2} }[/math]를 만족하는 [math]\displaystyle{ x_0 }[/math]가 [math]\displaystyle{ \left(x_1, x_2\right) }[/math]내에 적어도 하나 존재한다. 또한 [math]\displaystyle{ x_2-x_1 \gt 0, f'\left(x_0\right) \geq 0 }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right) \geq 0 }[/math]이다. 이것은 곧 [math]\displaystyle{ f\left(x_1\right) \leq f\left(x_2\right) }[/math]이고, [math]\displaystyle{ x_1, x_2 }[/math]는 구간 내의 임의의 값이므로 [math]\displaystyle{ f }[/math]는 구간 내에서 증가한다.

비슷한 방법으로 함수의 감소에 대해 증명할 수 있다.

연쇄법칙

이와 관련한 내용은 연쇄법칙에서 볼 수 있습니다.

Chain Rule 이라고도 부르는 미분 법칙.

[math]\displaystyle{ \left(g\left(f\left(x\right)\right)\right)'=g'\left(f\left(x\right)\right)f'\left(x\right) }[/math]

좀 더 엄밀한 버전은 아래.

[math]\displaystyle{ \left[a,b\right] }[/math]에서 연속이고 [math]\displaystyle{ \left(a,b\right) }[/math]에서 미분가능한 함수 [math]\displaystyle{ f }[/math]와 [math]\displaystyle{ \text{Im}f }[/math], 혹은 이를 포함하는 집합에서 정의된 함수 [math]\displaystyle{ g }[/math]를 생각하자. [math]\displaystyle{ f }[/math]가 [math]\displaystyle{ c }[/math]에서 미분가능하며 [math]\displaystyle{ g }[/math]가 [math]\displaystyle{ f\left(c\right) }[/math]에서 미분 가능하면, [math]\displaystyle{ g\left(f\left(x\right)\right) }[/math]는 [math]\displaystyle{ x=c }[/math]에서 미분 가능하며, [math]\displaystyle{ \left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}g\left(f\left(x\right)\right)\right|_{x=c}=g'\left(f\left(c\right)\right)f'\left(c\right) }[/math]이다.

사실 연쇄 법칙은 평균값의 정리를 사용하지 않고 증명하는 것이 일반적인데, 그 이유는 평균값의 정리를 연쇄 법칙보다 나중에 배우기 때문. 증명은 생략한다.

로피탈의 정리

이와 관련한 주제는 로피탈의 정리에서 다룹니다.

코시의 평균값 정리를 사용하여 증명한다.