시리즈:수포자도 쉽게 알 수 있는 수학/수열

수학이 정말 쉬워서 저 수포자 그만둡니다.

문서의 내용이 너무 쉬워서 머리속에 쏙쏙 들어옵니다.

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수포자도 쉽게 알 수 있는 수학

수열

수 들이 특정 규칙에 따라 나열되어 있는 것을 말한다. 수열의 각 원소를 항이라고 한다. 수열의 n번째 항을 [math]\displaystyle{ a _n }[/math]처럼 나타낸다.

등차수열·등비수열

등차수열의 일반항

초항이 [math]\displaystyle{ a }[/math]이고 공차가 d인 수열 [math]\displaystyle{ a_{n} }[/math]의 일반항은 다음과 같다.
[math]\displaystyle{ a_{n}=a+(n-1)d }[/math]

등차수열의 1항부터 [math]\displaystyle{ n }[/math]항까지의 합.

우선 첫째항이 [math]\displaystyle{ a }[/math],공차가 [math]\displaystyle{ d }[/math]인 등차수열의 제 [math]\displaystyle{ n }[/math]항을 [math]\displaystyle{ R }[/math]이라고 하면,첫째항부터 제[math]\displaystyle{ n }[/math]항까지의 합 [math]\displaystyle{ S_{n} }[/math]은.
[math]\displaystyle{ S_{n}=a+(a+d)+(a+2d)+\cdots+(R-2d)+(R-d)+R }[/math](1번식.)
1번식에서 우변의 항을 역순으로 놓으면.
[math]\displaystyle{ S_{n}=R+(R-d)+(R-2d)+\cdots+(a+2d)+(a+d)+a }[/math](2번식.)
1번식과 2번식을 같은 변끼리 더하면.
[math]\displaystyle{ \underset{\huge n}{\underbrace{(a+R)+(a+R)+(a+R)+\cdots+(a+R)+(a+R)}} }[/math]
[math]\displaystyle{ 2S_{n}=n(a+R) }[/math]
[math]\displaystyle{ S_{n}=\frac{n(a+R)}{2} }[/math](3번식)
여기서 [math]\displaystyle{ R }[/math]은 제 [math]\displaystyle{ n }[/math]항이므로.
[math]\displaystyle{ R=a+(n-1)d }[/math]를 위 3번식에 대입하면.
[math]\displaystyle{ S_{n}=\frac{n\left \{ 2a+\left ( n-1 \right )d \right \}}{2} }[/math]

등비수열의 일반항

초항이 [math]\displaystyle{ a }[/math]이고 공차가 [math]\displaystyle{ r }[/math]인 수열 [math]\displaystyle{ a_{n} }[/math]의 일반항은 다음과 같다.
[math]\displaystyle{ a_{n}=ar^{n-1} }[/math]

등비수열의 합

초항이 [math]\displaystyle{ a }[/math]이고 공차가 [math]\displaystyle{ r }[/math]인 수열 [math]\displaystyle{ a_{n} }[/math]의 첫째항부터 제n항까지의 합 [math]\displaystyle{ S_{n} }[/math]은.
[math]\displaystyle{ S_{n}=a+ar+ar^2+\cdots+ar^{n-1} }[/math](1번식.)
이제 1번식의 양변에 r을 곱합니다.
[math]\displaystyle{ rS_{n}=ar+ar^2+ar^3+\cdots+ar^{n} }[/math](2번식.)
이제 1번식에서 2번식을 변끼리 뺍니다.
[math]\displaystyle{ (1-r)S_{n}=a-ar^n }[/math] 따라서 [math]\displaystyle{ r\neq 1 }[/math]이면
[math]\displaystyle{ S_{n}=\frac{a\left ( 1-r^{n} \right )}{1-r}=\frac{a\left ( r^{n}-1 \right )}{r-1} }[/math]입니다.
[math]\displaystyle{ r=1이면 }[/math]
[math]\displaystyle{ S_{n}=\underset{\Huge n}{\underbrace{a+a+a+\cdots+a}}=na }[/math]
이를 표로 정리하면 다음과 같습니다.

등비수열의 합.
[math]\displaystyle{ r\neq 1 }[/math]		[math]\displaystyle{ S_{n}=\frac{a\left ( 1-r^{n} \right )}{1-r}=\frac{a\left ( r^{n}-1 \right )}{r-1} }[/math]
[math]\displaystyle{ r=1 }[/math]		[math]\displaystyle{ S_{n}=\underset{\Huge n}{\underbrace{a+a+a+\cdots+a}}=na }[/math]

계차수열

수열의 인접한 두 항의 차이로 구성되는 수열이다. 즉, 수열 [math]\displaystyle{ \left\{ a _n \right\}{ }[/math]에서 [math]\displaystyle{ b _n = a _{n+1} - a _n \left( n \ge 1 \right) }[/math]로 정의되는 수열이다. 계차수열과 원래 수열의 사이에는 다음과 같은 성질이 있다.

• [math]\displaystyle{ b _n = a _{n+1} - a _n \left( n \ge 1 \right) }[/math](정의)
• [math]\displaystyle{ a _{n+1} = a _1 + \sum _{k=1} ^n b _k }[/math]

점화식 수열

[math]\displaystyle{ a_{n+1}=pa_{n}+q }[/math]

[math]\displaystyle{ a_{n+1}=pa_{n}+q \begin{cases} & p\neq1,a_{n}=(a_1-q)p^{n-1}+\frac{q\left ( p^{n-1} \right )}{p-1}\\ & p=1, a_{n}= a_1+q\left ( n-1 \right ) \end{cases} }[/math]

급수

수열 [math]\displaystyle{ \left \{ a_{n} \right \} }[/math]의 첫째항부터 제[math]\displaystyle{ n }[/math]항까지의 합을 기호 [math]\displaystyle{ \sum }[/math]을 사용하여
[math]\displaystyle{ a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{n}=\sum_{k=1}^{n}a_{k} }[/math]이라고 표현합니다.

급수의 성질

두 수열 [math]\displaystyle{ \left \{ a_{n} \right \},\left \{ b_{n} \right \} }[/math]에 대하여.
[math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}\left ( a_{k}+b_{k} \right )=\\ \left ( a_1+b_1 \right )+\left ( a_2+b_2 \right )+\left ( a_3+b_3 \right )+\cdots+\left ( a_n+b_n \right )=\\ \left ( a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n \right )+\left ( b_1+b_2+b_3+\cdots+b_n \right )=\\ =\sum_{k=1}^{n}a_k+\sum_{k=1}^{n}b_k }[/math]
또 상수 c에 대하여.
[math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}ca_k=ca_1+ca_2+ca_3+\cdots+ca_n\\ =c\left ( a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n \right )\\ =c\sum_{k=1}^{n}a_k }[/math]

여러 가지 급수

[math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k=1+2+3+\cdots+n=\frac{n\left ( n+1 \right )}{2} }[/math]
이건 위 공식에서 그냥 첫째항과 공차에 각각 1 대입하면 나옵니다.

[math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k^2 }[/math]

항등식 [math]\displaystyle{ \left ( x+1 \right )^{3}-{x}^{3}=3{x}^{2}+3x+1 }[/math]의 [math]\displaystyle{ x }[/math]에
[math]\displaystyle{ 1,2,3,\cdots,n }[/math]을 차례로 대입해 봅시다.
[math]\displaystyle{ \begin{cases} & x=1,2^3-1^3=3\times 1^2+3\times 1+1\\ & x=2,3^3-2^3=3\times 2^2+3\times 2+1 \\ & x=3,4^3-3^3=3\times 3^2+3\times 3+1 \\ & \vdots\\ & x=n,\left ( n+1 \right )^3-n^3=3\times n^2+3\times n+1 \end{cases} }[/math]
싸그리 더하면.
[math]\displaystyle{ \require{cancel} \begin{cases} & x=1,\bcancel{2^3}-1^3=3\times 1^2+3\times 1+1\\ & x=2,\bcancel{3^3}\bcancel{-2^3}=3\times 2^2+3\times 2+1 \\ & x=3,\bcancel{4^3}\bcancel{-3^3}=3\times 3^2+3\times 3+1 \\ & \vdots\\ & x=n,\left ( n+1 \right )^3\bcancel{-n^3}=3\times n^2+3\times n+1 \end{cases} }[/math]
[math]\displaystyle{ \left ( n+1 \right )^{3}-1^3=3\sum_{k=1}^{n}k^2+3\sum_{k=1}^{n}+3\sum_{k=1}^{n}1 }[/math]
그런데 [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}=\frac{n\left ( n+1 \right )}{2},\sum_{k=1}^{n}1=n }[/math]
따라서.
[math]\displaystyle{ \left ( n+1 \right )^3-1^3=3\sum_{k=1}^{n}k^2+3\times \frac{n\left ( n+1 \right )}{2}+n }[/math]
[math]\displaystyle{ 3\sum_{k=1}^{n}k^2=\left ( n+1 \right )^3-\frac{3n\left ( n+1 \right )}{2}-\left ( n+1 \right )=\frac{n\left ( n+1 \right )\left ( 2n+1 \right )}{6} }[/math] 입니다.

수열의 극한

수열의 원소가 n이 커짐에 따라 특정한 값에 다가갈 때, 이 수열은 수렴한다고 한다. 수렴하지 않는 수열은 n이 커짐에 따라 발산한다고 한다.