수열
수 들이 어떤 규칙에 따라 나열되어 있는 것을 말한다. 정말로 수들의 나열이라 수열일 뿐이다.
들어가기 전에
- 항 : 수열의 각 원소를 항이라고 한다. 수열의 n번째 항을 [math]\displaystyle{ a _n }[/math]처럼 나타낸다.
- 초항 : 특별히 수열의 가장 첫번째 항 [math]\displaystyle{ a _1 }[/math]을 초항이라고 한다.
- 일반항 : n번째 항을 n에 대해서 나타낸 것.
- 일반항을 알고 있다면 n에 숫자만 넣어서 얼마인지 바로 알 수 있다! [math]\displaystyle{ a_{n}=n }[/math]이라 하면, 이 수열은 1, 2,
짝3, 4, 5,짝6, …가 된다.
- 일반항을 알고 있다면 n에 숫자만 넣어서 얼마인지 바로 알 수 있다! [math]\displaystyle{ a_{n}=n }[/math]이라 하면, 이 수열은 1, 2,
- 점화식 : 여러 항들 사이의 관계식.
- [math]\displaystyle{ a_{n+1}=a_{n}+1 }[/math]같이 각 항들 사이의 관계를 나타내주는 식이다. 점화식과 초항을 알고 있다면 [math]\displaystyle{ a_{2} }[/math]를 구하고, [math]\displaystyle{ a_{2} }[/math]를 통해 [math]\displaystyle{ a_{3} }[/math]을 구하고, 이렇게 연쇄적으로 수열을 계속 구할 수 있다.[1]
- 수열 전체를 나타낼 때는 {}를 양쪽에 붙인다. [math]\displaystyle{ \left\{a_n \right\} }[/math] 이렇게.
등차수열·등비수열
등차수열
1, 3, 5, 7, 9, …처럼 계속 일정하게 증가하거나 감소하는 수열을 등차수열이라고 한다. 그리고 여기서 변화하는 만큼을 공차라고 한다. 즉, 이 수열은 초항이 1이고 공차가 2인 수열이다.
Difference의 d를 따서, 공차는 주로 [math]\displaystyle{ d }[/math]로 쓴다.
등차수열을 만드는 건 정말 간단하다! 앞의 항에 공차를 더하면 그냥 다음 항이 된다. 이걸 점화식으로 쓰면 [math]\displaystyle{ a_{n+1}=a_{n}+d }[/math]이다.
- 초항이 1이고 공차가 10인 수열 : 1, 11, 21, 31, 41, …
- 초항이 0이고 공차가 -2인 수열 : 0, -2, -4, -8, -10, …
- 초항이 3이고 공차가 0인 수열 : 3, 3, 3, 3, 3, …[2]
초항이 [math]\displaystyle{ a }[/math]이고 공차가 [math]\displaystyle{ d }[/math]인 수열 [math]\displaystyle{ a_{n} }[/math]를 수식으로 나타내려면 어떻게 할까? 두번째 항은 초항+공차니까 [math]\displaystyle{ a_{2}=a+d }[/math]이다. 세번째 항은 [math]\displaystyle{ a_{2}+d }[/math]니까 [math]\displaystyle{ a_{3}=a+2d }[/math]이다. 규칙이 눈에 보인다!
따라서, 초항이 [math]\displaystyle{ a }[/math]이고 공차가 [math]\displaystyle{ d }[/math]인 등차수열 [math]\displaystyle{ a_{n} }[/math]의 일반항은 [math]\displaystyle{ a_{n}=a+(n-1)d }[/math]이다.
등차수열의 합
우선 첫째항이 [math]\displaystyle{ a }[/math], 공차가 [math]\displaystyle{ d }[/math]인 등차수열의 제 n항을 [math]\displaystyle{ R }[/math]이라고 하면, 첫째항부터 제 n항까지의 합 [math]\displaystyle{ S_{n} }[/math]은
[math]\displaystyle{ \qquad S_{n}=a+(a+d)+(a+2d)+\cdots+(R-2d)+(R-d)+R }[/math] (1번식)
1번식에서 우변의 항을 역순으로 놓으면,
[math]\displaystyle{ \qquad S_{n}=R+(R-d)+(R-2d)+\cdots+(a+2d)+(a+d)+a }[/math] (2번식)
1번식과 2번식을 같은 변끼리 더하면
[math]\displaystyle{ \qquad 2S_{n}=\underset{n개}{\underbrace{(a+R)+(a+R)+(a+R)+\cdots+(a+R)+(a+R)}}=n(a+R) }[/math]
[math]\displaystyle{ \qquad \therefore S_{n}=\frac{n(a+R)}{2} }[/math] (3번식)
여기서 [math]\displaystyle{ R }[/math]은 제 [math]\displaystyle{ n }[/math]항이므로 [math]\displaystyle{ R=a+(n-1)d }[/math]를 위 3번식에 대입하면 [math]\displaystyle{ S_{n}=\frac{n\left \{ 2a+\left ( n-1 \right )d \right \}}{2} }[/math]
여담이지만 수학자 가우스가 이 방법으로 1부터 100까지의 합을 구했다고 한다. 10살 때, 10초만에, 암산으로.[3]
1부터 100까지의 합은 1, 2, 3, …인 수열의 100번째까지의 합이니까 초항이 1이고 100번째 항이 100이므로 100×(1+100)/2=5050이 나온다. 숫자 계산 자체는 그렇게 어려운 것도 아니다. 10살이란 나이에 저 '뒤집어서 더한다' 라는 발상을 해낸 게 대단한 것.
등비수열
1, 2, 4, 8, 16, …처럼 계속 일정한 수가 곱해지는 수열을 등비수열이라고 한다. 그리고 여기서 곱해지는 수를 공비라고 한다. 즉, 이 수열은 초항이 1이고 공비가 2인 수열이다.
Ratio의 r를 따서, 공비는 주로 [math]\displaystyle{ r }[/math]로 쓴다.
등비수열을 만드는 건 정말 간단하다! 데자뷰 앞의 항에 공비를 곱하면 그냥 다음 항이 된다. 이걸 점화식으로 쓰면 [math]\displaystyle{ a_{n+1}=r a_{n} }[/math]이다.
- 초항이 1이고 공비가 10인 수열 : 1, 10, 100, 1000, 10000, …
- 초항이 3이고 공비가 1인 수열 : 3, 3, 3, 3, 3, …
- 초항이 1이고 공비가 -1인 수열 : 1, -1, 1, -1, 1, …[4]
일반항도 등차수열과 비슷하다. 초항이 [math]\displaystyle{ a }[/math]이고 공차가 [math]\displaystyle{ d }[/math]인 수열 [math]\displaystyle{ a_{n} }[/math]의 두번째 항은 [math]\displaystyle{ a_{2}=ar }[/math]이다. 세번째 항은 [math]\displaystyle{ a_{3}=ar^2 }[/math]이다.
초항이 [math]\displaystyle{ a }[/math]이고 공비가 [math]\displaystyle{ r }[/math]인 등비수열 [math]\displaystyle{ a_{n} }[/math]의 일반항은 [math]\displaystyle{ a_{n}=ar^{n-1} }[/math]이다.
등비수열의 합
초항이 [math]\displaystyle{ a }[/math]이고 공비가 [math]\displaystyle{ r }[/math]인 수열 [math]\displaystyle{ a_{n} }[/math]의 첫째항부터 제 n항까지의 합 [math]\displaystyle{ S_{n} }[/math]을 구하는데,
만약 [math]\displaystyle{ r=1 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ S_{n}=\underset{n개}{\underbrace{a+a+a+\cdots+a}}=na }[/math]다.
[math]\displaystyle{ r\neq 1 }[/math]라면,
[math]\displaystyle{ \qquad S_{n}=a+ar+ar^2+\cdots+ar^{n-1} }[/math] (1번식)
1번식의 양변에 [math]\displaystyle{ r }[/math]을 곱하면
[math]\displaystyle{ \qquad rS_{n}=ar+ar^2+ar^3+\cdots+ar^{n} }[/math](2번식)
이제 1번식에서 2번식을 변끼리 뺀다.
[math]\displaystyle{ \qquad (1-r)S_{n}=a-ar^n }[/math]
양변을 [math]\displaystyle{ (1-r) }[/math]로 나눠서 정리하면 [math]\displaystyle{ S_{n}=\frac{a\left ( 1-r^{n} \right )}{1-r}=\frac{a\left ( r^{n}-1 \right )}{r-1} }[/math]가 된다.
이를 표로 정리하면 다음과 같다.
등비수열의 합 | |
---|---|
[math]\displaystyle{ r\neq 1 }[/math] | [math]\displaystyle{ S_{n}=\frac{a\left ( 1-r^{n} \right )}{1-r} }[/math] |
[math]\displaystyle{ r=1 }[/math] | [math]\displaystyle{ S_{n}=na }[/math] |
계차수열
1, 2, 4, 7, 11, 16, …인 수열이 있다고 하자. 이 수열은 위에서 봤던 등차수열도, 등비수열도 아니다. 대신 다음 항에 더해지는 수가 1, 2, 3, 4, 5, …가 된다. 수열 자체보다는 앞뒷항 사이의 차가 일정한 규칙이 있는 것이다!
이처럼 수열 [math]\displaystyle{ \left\{a_n \right\} }[/math]에서 [math]\displaystyle{ a _{n+1} - a _n }[/math]을 새로운 수열 [math]\displaystyle{ b _n }[/math]로 정의할 때, [math]\displaystyle{ \left\{b _n \right\} }[/math]을 [math]\displaystyle{ \left\{a_n \right\} }[/math]의 계차수열이라고 한다.
- [math]\displaystyle{ b _n = a _{n+1} - a _n \left( n \ge 1 \right) }[/math] (계차수열의 정의)
- [math]\displaystyle{ a _{n} = a _1 + \sum _{k=1} ^{n-1} b _k }[/math]
- 왜냐면, 계차수열의 정의에서 [math]\displaystyle{ a_{n+1} = a_n + b_n \left(n \ge 1 \right) }[/math]라고도 쓸 수 있다. 이걸 [math]\displaystyle{ a_{n}, a_{n-1}, …, a_2 }[/math]에 대해서도 쭉 쓰고 양변끼리 더하면
[math]\displaystyle{ \left. \begin{matrix} a_{n+1} &=& a_n + b_n \\ a_{n} &=& a_{n-1} + b_{n-1} \\ a_{n-1} &=& a_{n-2} + b_{n-2} \\ & \vdots & \\ a_{3} &=& a_2 + b_2 \\ a_{2} &=& a_1 + b_1 \\ \end{matrix} \right\} \to \begin{matrix} a_{n+1} &=& a_1 + b_n + b_{n-1} +b_{n-2} + \cdots + b_2 + b_1 \\ &=& a_1 + \sum _{k=1} ^{n} b _k \end{matrix} }[/math]
여기서 [math]\displaystyle{ a _{n} }[/math]를 구하기 위해서는 계차수열을 n-1항까지 더해야 하는 것에 주의하자!
수학적 귀납법
점화식 수열
[math]\displaystyle{ a_{n+1}=pa_{n}+q }[/math]
[math]\displaystyle{
a_{n+1}=pa_{n}+q
\begin{cases}
& p\neq1,a_{n}=(a_1-q)p^{n-1}+\frac{q\left ( p^{n-1} \right )}{p-1}\\
& p=1, a_{n}= a_1+q\left ( n-1 \right )
\end{cases}
}[/math]
[math]\displaystyle{ ra_{n+1}+a a_{n}+b=0 }[/math]
[math]\displaystyle{ \begin{cases} & r\neq 0,a+r\neq 0, a_n=\left ( a_1+\frac{b}{r} \right )^{n-1}+\frac{b\left ( \left ( -\frac{a}{r} \right )^{n}-1 \right )}{r+a} \\ & r+a=0,r\neq0, a_n=a_1+\frac{b\left ( 1-n \right )}{r} \\ \end{cases} }[/math]
급수
수열 [math]\displaystyle{ \left \{ a_{n} \right \} }[/math]의 첫째항부터 제[math]\displaystyle{ n }[/math]항까지의 합을 기호 [math]\displaystyle{ \sum }[/math]을 사용하여
[math]\displaystyle{ a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{n}=\sum_{k=1}^{n}a_{k} }[/math]이라고 표현합니다.
급수의 성질
두 수열 [math]\displaystyle{ \left \{ a_{n} \right \},\left \{ b_{n} \right \} }[/math]에 대하여.
[math]\displaystyle{
\sum_{k=1}^{n}\left ( a_{k}+b_{k} \right )=\\
\left ( a_1+b_1 \right )+\left ( a_2+b_2 \right )+\left ( a_3+b_3 \right )+\cdots+\left ( a_n+b_n \right )=\\
\left ( a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n \right )+\left ( b_1+b_2+b_3+\cdots+b_n \right )=\\
=\sum_{k=1}^{n}a_k+\sum_{k=1}^{n}b_k
}[/math]
또 상수 c에 대하여.
[math]\displaystyle{
\sum_{k=1}^{n}ca_k=ca_1+ca_2+ca_3+\cdots+ca_n\\
=c\left ( a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n \right )\\
=c\sum_{k=1}^{n}a_k
}[/math]
여러 가지 급수
[math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k }[/math]
[math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k=1+2+3+\cdots+n=\frac{n\left ( n+1 \right )}{2} }[/math]
이건 위 공식에서 그냥 첫째항과 공차에 각각 1 대입하면 나옵니다.
[math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k^2 }[/math]
항등식 [math]\displaystyle{ \left ( x+1 \right )^{3}-{x}^{3}=3{x}^{2}+3x+1 }[/math]의 [math]\displaystyle{ x }[/math]에
[math]\displaystyle{ 1,2,3,\cdots,n }[/math]을 차례로 대입해 봅시다.
[math]\displaystyle{
\begin{cases}
& x=1,2^3-1^3=3\times 1^2+3\times 1+1\\
& x=2,3^3-2^3=3\times 2^2+3\times 2+1 \\
& x=3,4^3-3^3=3\times 3^2+3\times 3+1 \\
& \vdots\\
& x=n,\left ( n+1 \right )^3-n^3=3\times n^2+3\times n+1
\end{cases}
}[/math]
싸그리 더하면.
[math]\displaystyle{
\require{cancel}
\begin{cases}
& x=1,\bcancel{2^3}-1^3=3\times 1^2+3\times 1+1\\
& x=2,\bcancel{3^3}\bcancel{-2^3}=3\times 2^2+3\times 2+1 \\
& x=3,\bcancel{4^3}\bcancel{-3^3}=3\times 3^2+3\times 3+1 \\
& \vdots\\
& x=n,\left ( n+1 \right )^3\bcancel{-n^3}=3\times n^2+3\times n+1
\end{cases}
}[/math]
[math]\displaystyle{ \left ( n+1 \right )^{3}-1^3=3\sum_{k=1}^{n}k^2+3\sum_{k=1}^{n}+3\sum_{k=1}^{n}1 }[/math]
그런데 [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}=\frac{n\left ( n+1 \right )}{2},\sum_{k=1}^{n}1=n }[/math]
따라서.
[math]\displaystyle{ \left ( n+1 \right )^3-1^3=3\sum_{k=1}^{n}k^2+3\times \frac{n\left ( n+1 \right )}{2}+n }[/math]
[math]\displaystyle{ 3\sum_{k=1}^{n}k^2=\left ( n+1 \right )^3-\frac{3n\left ( n+1 \right )}{2}-\left ( n+1 \right )=\frac{n\left ( n+1 \right )\left ( 2n+1 \right )}{6} }[/math]
입니다.
수열의 극한
수열의 원소가 n이 커짐에 따라 특정한 값에 다가갈 때, 이 수열은 수렴한다고 한다. 수렴하지 않는 수열은 n이 커짐에 따라 발산한다고 한다.
무한급수
[math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\sum_{k=1}^{n}a_k }[/math]또는 [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty }a_k }[/math]라고 표기합니다.
무한급수가 수렴할 조건
여러 가지 수열의 무한급수
무한등비급수
초항이 a이고 공비 r이 [math]\displaystyle{ \left | r \right |\lt 1 }[/math]인 등비수열의 무한급수를 구해 봅시다.
자,초항이 a이고 공비가 r[5]인 등비수열 [math]\displaystyle{ \left \{ a_n \right \} }[/math]의 합은 다음과 같습니다.
[math]\displaystyle{ \huge \frac{a\left ( 1-{r}^{n} \right )}{1-r} }[/math]
[math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }{r}^{n}=0 }[/math]
따라서 [math]\displaystyle{ \huge \lim_{n \to \infty }\frac{a\left ( 1-{r}^{n} \right )}{1-r}=\frac{a}{1-r} }[/math]
무한등비급수를 이용하여 0.99…=1임을 증명해 봅시다.
우선 0.99...는 초항이 0.9이고 공비가 0.1인 무한등비급수라고 할 수 있습니다.
고로 위 식에 대입합니다.
[math]\displaystyle{ \frac{0.9}{1-0.1}=\frac{9}{10-1}=\frac{9}{9}=1 }[/math]
어때요,참 쉽죠?
각주
- ↑ 가끔 이렇게 수열을 구하는 게 불을 붙인 게 번져나가는 것 같다 해서 점화(點火)식이라고 알고 있기도 하는데, 한자 자체가 점화식(漸化式)과는 다르다!
- ↑ 이렇게 공차가 0이면 모든 항이 같은 수이기 때문에 상수수열이라고도 부른다.
- ↑ 암산이라거나 10초만이라는 이야기는 과장되었을 수도 있다. 하지만 정말로 빠른 시간안에 풀어냈다는 건 확실한 사실. 정확히 이 이야기를 알고 있다면 수정바람.
- ↑ 홀수항은 모두 1이고 짝수항은 모두 -1이다. 이런 수열을 보고 '진동한다'라고 하기도 한다.
- ↑ [math]\displaystyle{ \left | r \right |\lt 1 }[/math]
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