시리즈:수포자도 쉽게 알 수 있는 수학/집합과 명제

수학이 정말 쉬워서 저 수포자 그만둡니다.

문서의 내용이 너무 쉬워서 머리속에 쏙쏙 들어옵니다.

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수포자도 쉽게 알 수 있는 수학 틀:토막글

집합

일단 집합이 쉬운 개념은 아니라는 것부터 인식할 필요가 있다. 다들 그다지 어렵게 생각 안해서 그렇지 집합이란 사실 대단히 추상적인 개념으로, 대단히 최근에(예를 들어 미적분보다 더 요즘) 생겨난 개념이다. 만일 이 단원이 어렵지 않게 느껴진다면 이미 수학적 사고와 추상화에 대단히 익숙해져 있기 때문이다. 거기에 익숙하지 않은 사람들은 당연히 이 단원이 어렵다!

집합은 결국 수학적 엄밀성과 연결되어 있다. 칸토어가 수학적 엄밀성을 추구하다보니 집합이란 개념이 생각난 것이고, 이는 1960년대의 새수학 운동과도 연결되어 있으므로, 이 단원을 언제 가르쳐야 할지 현재 애매한 상태이다. 현재는 수학II 교과에서 가르친다.

간단히 말해서, 집합이란 건 모임이다. 우리 가족의 모임을 예로 들면 울아빠, 울엄마, 나, 우리동생 이렇게 표현할 수 있는 것처럼 이를 기호로 우리 가족={울아빠, 울엄마, 나, 우리동생} 이렇게 표현한 것이다. 그런데, 유의할 점이, 집합 안에도 원소로 집합이 들어갈 수 있다는 점이다. 예를 들면, 추석 때 모이는 친족 모임={우리 가족, 큰아버지 가족, 작은아버지 가족} 이런 방식으로 가족이라는 집합을 원소로 또 다른 집합을 만들 수 있는 것이다. 여기서 헷갈리지?

• 공집합: 원소가 하나도 없는 집합. 기호는 [math]\displaystyle{ \{ \} }[/math]나 [math]\displaystyle{ \emptyset }[/math]. [math]\displaystyle{ \phi }[/math]와는 다르다 [math]\displaystyle{ \phi }[/math]와는 공집합은 모든 집합의 부분집합이다.
• 전체집합: 고려해야하는 모든 대상을 담은 집합. 기호로는 보통 [math]\displaystyle{ U }[/math](universal set)를 쓴다.

집합 원소의 개수

A가 유한집합일 때, A의 원소의 개수를 [math]\displaystyle{ n(A) }[/math]로 표기한다. 나중에는 [math]\displaystyle{ |A| }[/math]의 표기도 쓴다.

집합의 연산

합집합

A에 속하거나 B에 속하는 모든 원소로 이루어진 집합을 A와 B의 합집합(union)이라고 하며 [math]\displaystyle{ A \cup B }[/math]로 표현한다.

여집합은 논리 연산자 OR([math]\displaystyle{ \lor }[/math])과 연관된다. 즉, [math]\displaystyle{ x \in A \cup B \iff x \in A \lor x \in B }[/math]이다.

교집합

A와 B에 동시에 속하는 원소로 이루어진 집합을 A와 B의 교집합(intersection)이라고 하며 [math]\displaystyle{ A \cap B }[/math]로 표기한다.

교집합은 논리 연산자 AND([math]\displaystyle{ \land }[/math])와 연관된다. 즉, [math]\displaystyle{ x \in A \cap B \iff x \in A \land x \in B }[/math]이다.

[math]\displaystyle{ A \cap B = \emptyset }[/math]이면 A와 B는 서로 소(disjoint)라고 한다. 반대로 [math]\displaystyle{ A \cap B \neq \emptyset }[/math]이면 A와 B는 intersect한다고 하는데, 우리말로는 적당한 번역어가 없다.

여집합

전체집합 U의 원소 중에서 A에 속하지 않는 모든 원소로 이루어진 집합을 (U에 대한) A의 여집합(complement)이라고 하고, [math]\displaystyle{ A^{c} }[/math]로 표기한다. 달리 표현하면 [math]\displaystyle{ A^{c} = U - A }[/math]이다.

여집합은 논리 연산자 NOT([math]\displaystyle{ \neg }[/math], 고등학교에서는 [math]\displaystyle{ \sim }[/math]를 더 많이 쓴다)과 연관된다. 즉, [math]\displaystyle{ x \in A^{c} \iff \neg[x \in A] }[/math]이다.

차집합

집합 A의 원소 중 집합 B의 원소가 아닌 것의 집합을 A에서 B를 뺀 차집합(difference)이라고 하며, [math]\displaystyle{ A-B }[/math]로 표기한다. 나중에는 [math]\displaystyle{ A \setminus B }[/math]의 표기도 쓴다.

[math]\displaystyle{ A-B = A \cap B^{c} }[/math]의 관계가 성립한다.

집합에 사용되는 정리, 법칙

포함-배제의 원리

합집합의 원소의 개수를 셀 때 사용하는 방법이다. 경우의 수를 셀 때 아주 유용하게 쓰인다. [math]\displaystyle{ n \left( A \cup B \right) = n \left( A \right) + n \left( B \right) - n \left( A \cap B \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ n \left( A \cup B \cup C \right) = n \left( A \right) + n \left( B \right) + n \left( C \right) - n \left( A \cap B \right) - n \left( B \cap C \right) - n \left( C \cap A \right) + n \left( A \cap B \cap C \right) }[/math]

집합이 3개 이상일 때에도 비슷한 방법으로 계산할 수 있다.

드 모르간의 법칙

집합의 연산식을 단순하게 만들 때 사용한다.

[math]\displaystyle{ \left( A \cup B \right) ^c = A^c \cap B^c, \left( A \cap B \right) ^c = A^c \cup B^c }[/math]

만약 괄호 안에 둘 이상의 집합의 합집합 또는 교집합 연산이 포함된 식이 있을 때는 결합 법칙이 성립하므로 괄호 안을 두 개의 괄호로 나누면 된다.

[math]\displaystyle{ \left( A \cup B^c \cap C \cap D^c \right) ^c }[/math]

[math]\displaystyle{ = \left( \left( A \cup B^c \right) \cap \left( C \cap D^c \right) \right) ^c }[/math]

[math]\displaystyle{ = \left( \left( A \cup B^c \cap C \right) \cap D^c \right) ^c }[/math]

[math]\displaystyle{ = \left( A \cup \left( B^c \cap C \cap D^c \right) \right) ^c }[/math]

명제

누구라도 참인지 거짓인지 일치된 판단을 할 수 있는 문장을 명제라고 한다. 즉, 객관적으로 참과 거짓을 알 수 있다.

명제의 구조

더이상 쪼갤 수 없는 가장 작은 단위의 명제를 단순명제라고 한다.

• 예시

  위키러는 사람이다.

  리브라는 실존인물이다.그랬으면 좋겠..

위의 예시를 보면 공통적으로 "A는 B이다" 형식으로 되어있는 것을 볼 수 있다. A에는 명제가 표현하고자 하는 대상이 오고, B에는 그 대상의 특성이 오게 된다.

단순 명제들 여러개로 이루어진 하나의 명제를 합성명제라고 한다.

• 예시

  추가바람

마찬가지로 예시로 알 수 있듯이, A이면 B이다 형식으로 되어있는 것을 볼 수 있다. A를 가정, B를 결론이라고 한다. 따라서, 복합명제는 "A라고 가정했을 때 B라는 결론이 나온다" 라는 뜻으로 해석할 수 있다.

진리표

명제의 모든 가능성을 표로 나열한 것을 진리표라고 한다.

단순명제 p의 진리표는 다음과 같이 작성한다.

p
T
F

(여기에서 T는 참, F는 거짓을 나타낸다)

합성명제 [math]\displaystyle{ p \rightarrow q }[/math]의 진리표는 다음과 같은 방식으로 작성한다.

p	q	[math]\displaystyle{ p \rightarrow q }[/math]
T	T	T
T	F	F
F	T	T
F	F	T

논리 연산

단순명제를 논리 연산을 이용해 합성하면 합성명제를 만들어낼 수 있다. 이 문서에서 알아볼 논리 연산의 종류는 다음과 같다.

• [math]\displaystyle{ \lnot }[/math](not)
• [math]\displaystyle{ \land }[/math](and)
• [math]\displaystyle{ \lor }[/math](or)
• [math]\displaystyle{ \rightarrow }[/math]
• [math]\displaystyle{ \leftrightarrow }[/math]