시리즈:수포자도 쉽게 알 수 있는 수학/수열

수학이 정말 쉬워서 저 수포자 그만둡니다.

문서의 내용이 너무 쉬워서 머리속에 쏙쏙 들어옵니다.

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수포자도 쉽게 알 수 있는 수학

등차수열·등비수열

등차수열의 일반항

초항이 [math]\displaystyle{ a }[/math]이고 공차가 d인 수열 [math]\displaystyle{ a_{n} }[/math]의 일반항은 다음과 같다.
[math]\displaystyle{ a_{n}=a+(n-1)d }[/math]

등차수열의 1항부터 [math]\displaystyle{ n }[/math]항까지의 합.

우선 첫째항이 [math]\displaystyle{ a }[/math],공차가 [math]\displaystyle{ d }[/math]인 등차수열의 제 [math]\displaystyle{ n }[/math]항을 [math]\displaystyle{ R }[/math]이라고 하면,첫째항부터 제[math]\displaystyle{ n }[/math]항까지의 합 [math]\displaystyle{ S_{n} }[/math]은.
[math]\displaystyle{ S_{n}=a+(a+d)+(a+2d)+\cdots+(R-2d)+(R-d)+R }[/math](1번식.)
1번식에서 우변의 항을 역순으로 놓으면.
[math]\displaystyle{ S_{n}=R+(R-d)+(R-2d)+\cdots+(a+2d)+(a+d)+a }[/math](2번식.)
1번식과 2번식을 같은 변끼리 더하면.
[math]\displaystyle{ \underset{\huge n}{\underbrace{(a+R)+(a+R)+(a+R)+\cdots+(a+R)+(a+R)}} }[/math]
[math]\displaystyle{ 2S_{n}=n(a+R) }[/math]
[math]\displaystyle{ S_{n}=\frac{n(a+R)}{2} }[/math](3번식)
여기서 [math]\displaystyle{ R }[/math]은 제 [math]\displaystyle{ n }[/math]항이므로.
[math]\displaystyle{ R=a+(n-1)d }[/math]를 위 3번식에 대입하면.
[math]\displaystyle{ S_{n}=\frac{n\left \{ 2a+\left ( n-1 \right )d \right \}}{2} }[/math]

등비수열의 일반항

초항이 [math]\displaystyle{ a }[/math]이고 공차가 [math]\displaystyle{ r }[/math]인 수열 [math]\displaystyle{ a_{n} }[/math]의 일반항은 다음과 같다.
[math]\displaystyle{ a_{n}=ar^{n-1} }[/math]

등비수열의 합

초항이 [math]\displaystyle{ a }[/math]이고 공차가 [math]\displaystyle{ r }[/math]인 수열 [math]\displaystyle{ a_{n} }[/math]의 첫째항부터 제n항까지의 합 [math]\displaystyle{ S_{n} }[/math]은.
[math]\displaystyle{ S_{n}=a+ar+ar^2+\cdots+ar^{n-1} }[/math](1번식.)
이제 1번식의 양변에 r을 곱합니다.
[math]\displaystyle{ rS_{n}=ar+ar^2+ar^3+\cdots+ar^{n} }[/math](2번식.)
이제 1번식에서 2번식을 변끼리 뺍니다.
[math]\displaystyle{ (1-r)S_{n}=a-ar^n }[/math] 따라서 [math]\displaystyle{ r\neq 1 }[/math]이면
[math]\displaystyle{ S_{n}=\frac{a\left ( 1-r^{n} \right )}{1-r}=\frac{a\left ( r^{n}-1 \right )}{r-1} }[/math]입니다.
[math]\displaystyle{ r=1이면 }[/math]
[math]\displaystyle{ S_{n}=\underset{\Huge n}{\underbrace{a+a+a+\cdots+a}}=na }[/math]
이를 표로 정리하면 다음과 같습니다.

등비수열의 합.
[math]\displaystyle{ r\neq 1 }[/math]		[math]\displaystyle{ S_{n}=\frac{a\left ( 1-r^{n} \right )}{1-r}=\frac{a\left ( r^{n}-1 \right )}{r-1} }[/math]
[math]\displaystyle{ r=1 }[/math]		[math]\displaystyle{ S_{n}=\underset{\Huge n}{\underbrace{a+a+a+\cdots+a}}=na }[/math]