대수적 수

개요

대수적 수(代數的 數, algebraic number)는 정수 계수 또는 유리 계수 다항식의 해가 되는 복소수를 말한다. 즉 다음을 만족하는 복소수 [math]\displaystyle{ z }[/math]를 대수적 수라고 한다:

[math]\displaystyle{ \exists p(x)=a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \cdots + a_1 x + a_0\in \mathbb Q[x] \textrm{ s.t. } p(z) = 0. }[/math]

먼저 모든 유리수는 대수적 수임을 쉽게 알 수 있다. 또한 어떤 유리수의 거듭제곱근 꼴의 수 역시 대수적 수이다 - 이 수가 허수여도 상관없다. 또한 모든 작도 가능한 수는 대수적 수이다.

대수적 수의 집합은 가산집합이다. 대수적 수는 유리 계수 다항식의 근이기 때문에 유리 계수 다항식의 집합이 유리수 집합과 기수(cardinal)가 같음에서 대수적 수의 집합은 가산임을 알 수 있다.

대수적 수가 아닌 복소수를 초월수라 한다. 대수적 수의 집합은 가산 집합인 반면 복소수의 집합은 비가산 집합이므로, 대수적 수보다 초월수가 더 많다. 또한 초초월수(hypertranscendental number)라는 것도 있는데, 이는 정수 계수의 대수적인 미분 방정식(초기 조건 역시 대수적이다.)의 해인 함수의 대수적 수에서의 함숫값이 아닌 복소수를 이른다.

성질

• 대수적 수의 집합은 가산이다. 따라서 대수적 수의 집합은 (복소수 전체의 집합에 대해) 르베그 측도 0을 가진다. 즉 거의 대부분의 복소수는 초월수이다.
• 대수적 수는 환이면서 곱셈에 대한 교환법칙이 성립하고 0이 아닌 대수적 수에 대하여 곱셈에 대한 역원이 존재하므로 체를 이룬다. 또한 대수적 수는 유리수 집합을 포함한 가장 작은 대수적으로 닫힌 체이다 - 대수적 수는 유리수의 대수적 닫힘이다.
• 주어진 대수적 수에 대하여 그 수를 근으로 하는 최고차항의 계수가 1인 최소 차수의 다항식은 유일한데, 이를 최소다항식이라 한다. 대수적 수의 차수는 그의 최소다항식의 차수를 말한다. 예를 들어 유리수 집합은 차수 1의 대수적 수의 집합이다.
• 실-대수적 수(대수적인 실수) 집합은 전순서집합이고 가산이며 조밀(dense)한 순서를 가지므로 이는 유리수 집합과 순서동형이다.
• 실수 [math]\displaystyle{ u,v }[/math]에 대하여 [math]\displaystyle{ u+iv }[/math]가 대수적임과 [math]\displaystyle{ u, v }[/math]가 대수적임은 필요충분조건이다.