대수적 수


1 개요[편집]

대수적 수(代數的 數, algebraic number)는 정수 계수 또는 유리 계수[1] 다항식가 되는 복소수를 말한다. 즉 다음을 만족하는 복소수 [math]\displaystyle{ z }[/math]를 대수적 수라고 한다:

[math]\displaystyle{ \exists p(x)=a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \cdots + a_1 x + a_0\in \mathbb Q[x] \textrm{ s.t. } p(z) = 0. }[/math]

먼저 모든 유리수는 대수적 수임을 쉽게 알 수 있다. 또한 어떤 유리수의 거듭제곱근 꼴의 수 역시 대수적 수이다 - 이 수가 허수여도 상관없다. 또한 모든 작도 가능한 수는 대수적 수이다.

대수적 수의 집합가산집합이다. 대수적 수는 유리 계수 다항식의 근이기 때문에 유리 계수 다항식의 집합이 유리수 집합과 기수(cardinal)가 같음에서[2] 대수적 수의 집합은 가산임을 알 수 있다.[3]

대수적 수가 아닌 복소수초월수라 한다. 대수적 수의 집합은 가산 집합인 반면 복소수의 집합은 비가산 집합이므로, 대수적 수보다 초월수가 더 많다. 또한 초초월수(hypertranscendental number)라는 것도 있는데, 이는 정수 계수의 대수적인 미분 방정식(초기 조건 역시 대수적이다.)의 해인 함수의 대수적 수에서의 함숫값이 아닌 복소수를 이른다.

2 성질[편집]

  • 대수적 수의 집합은 가산이다. 따라서 대수적 수의 집합은 (복소수 전체의 집합에 대해) 르베그 측도 0을 가진다. 즉 거의 대부분의 복소수는 초월수이다.
  • 대수적 수는 이면서 곱셈에 대한 교환법칙이 성립하고 0이 아닌 대수적 수에 대하여 곱셈에 대한 역원이 존재하므로 를 이룬다. 또한 대수적 수는 유리수 집합을 포함한 가장 작은 대수적으로 닫힌 체이다 - 대수적 수는 유리수의 대수적 닫힘이다.
  • 주어진 대수적 수에 대하여 그 수를 근으로 하는 최고차항의 계수가 1인 최소 차수의 다항식은 유일한데, 이를 최소다항식이라 한다. 대수적 수의 차수는 그의 최소다항식의 차수를 말한다. 예를 들어 유리수 집합은 차수 1의 대수적 수의 집합이다.
  • 실-대수적 수(대수적인 실수) 집합은 전순서집합이고 가산이며 조밀(dense)한 순서를 가지므로 이는 유리수 집합과 순서동형이다.
  • 실수 [math]\displaystyle{ u,v }[/math]에 대하여 [math]\displaystyle{ u+iv }[/math]가 대수적임과 [math]\displaystyle{ u, v }[/math]가 대수적임은 필요충분조건이다.[4]

3 각주

  1. 무엇을 택해도 같다. 계수의 분모의 최소공배수를 곱하면 되기 때문.
  2. 기수가 무한일 때 성립한다. 먼저 어떤 무한집합 [math]\displaystyle{ S }[/math]의 유한 수열의 집합 [math]\displaystyle{ \mathcal S_\mathrm F }[/math]을 생각하면 단사함수 [math]\displaystyle{ f:S[x]\rightarrow\mathcal S_\mathrm F }[/math]가 존재함을 알 수 있다. 또한, [math]\displaystyle{ \mathcal S_\mathrm F }[/math][math]\displaystyle{ S }[/math]의 가산 합이므로 [math]\displaystyle{ S }[/math]와 기수가 같고, 즉 전단사가 존재한다. 따라서 우리는 [math]\displaystyle{ S[x]\to S }[/math]인 단사함수가 있음을 안다. [math]\displaystyle{ S\to S[x] }[/math]인 단사가 존재하는 것은 매우 자명하므로 칸토르-베른슈타인-슈뢰더 정리에 의하여 [math]\displaystyle{ S }[/math][math]\displaystyle{ S[x] }[/math] 사이에는 전단사가 존재하고, 즉 기수가 같다.
  3. 가산 개의 유한집합을 합해도 가산이기 때문.
  4. Niven 1956, Corollary 7.3.