다항식

간단히 말해, 다항식은

[math]\displaystyle{ x^3-2x^2+x+999 }[/math]

와 같이, 어떤 x와 그 계수의 곱으로 나타낸 식이다. 여러분이 중·고등학교 수학 수업 시간에 자주 보던 그거 맞다. 여기서 [math]\displaystyle{ x^3 }[/math], [math]\displaystyle{ -2x^2 }[/math], [math]\displaystyle{ x }[/math] 등을 항(Term)이라 부르며, 각 항 앞에 붙은 숫자(1, -2, 1)를 계수라 부른다. 계수를 제외한 부분이 같은 항끼리는 동류항이라 부른다.

정의

R이 환일 때, R 가산 개의 직합 [math]\displaystyle{ P = \bigoplus_{i \in \mathbf{N}} R \subseteq \prod_{i \in \mathbf{N}} R }[/math]의 원소 [math]\displaystyle{ \left(a_0,a_1,a_2,\cdots\right) }[/math] (단, 유한 개의 [math]\displaystyle{ a_i }[/math]만이 non‐zero)를 환 R의 원소를 계수로 가지는 다항식(polynomial with coefficients in the ring R)이라 한다(단, [math]\displaystyle{ \mathbf{N} = \mathbb{N}\cup\{0\} }[/math]).

당연히 [math]\displaystyle{ \left(a_0,a_1,a_2,\cdots\right) }[/math]를 [math]\displaystyle{ \sum_{i \in \mathbf{N}} a_i x^i }[/math]로 해석할 예정이긴 한데, 좀 준비가 필요하다.

다항식의 덧셈 [math]\displaystyle{ \oplus }[/math]과 곱셈 [math]\displaystyle{ \odot }[/math]을 다음과 같이 정의하자.

[math]\displaystyle{ \left(a_0,a_1,a_2,\cdots\right)\oplus\left(b_0,b_1,b_2,\cdots\right)=\left(a_0+b_0,a_1+b_1,a_2+b_2,\cdots\right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \left(a_0,a_1,a_2,\cdots\right)\odot\left(b_0,b_1,b_2,\cdots\right)=\left(a_0b_0,a_0b_1+a_1b_0,a_0b_2+a_1b_1+a_2b_0,\cdots,\sum_{i=0}^n a_i b_{n-i},\cdots\right) }[/math]

그러면 [math]\displaystyle{ \oplus }[/math]와 [math]\displaystyle{ \odot }[/math]은 잘 정의된다. R이 항등원을 가지면 [math]\displaystyle{ 1_P=\left(1_R,0_R,0_R,\cdots\right) }[/math]가 항등원이 되어, [math]\displaystyle{ \left(P,\oplus,\odot\right) }[/math]는 항등원을 갖는 환임을 금방 알 수 있다.

부정원(indeterminate) x와 상수 [math]\displaystyle{ \mathbf{a} }[/math]를 다음과 같이 정의한다.

[math]\displaystyle{ x=\left(0_R,1_R,0_R,0_R,\cdots\right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathbf{a}=\left(a,0_R,0_R,0_R,\cdots\right) }[/math]

그러면 [math]\displaystyle{ \mathbf{a}\odot x=x\odot \mathbf{a} }[/math]이고, 모든 다항식들은 부정원과 유한 개의 상수로 [math]\displaystyle{ a_0\oplus \left(a_1\odot x\right)\oplus \left(a_2\odot x^2\right)\oplus\cdots\oplus \left(a_n\odot x^n\right) }[/math]와 같이 표현할 수 있다.

앞서 예시로 든 실수 계수 다항식 [math]\displaystyle{ x^3-2x^2+x+999 }[/math]에서 계수인 1, −2, 999는 사실 실수가 아니라 실수를 성분으로 가지는 수열 [math]\displaystyle{ \left(1,0,0,\cdots\right) }[/math], [math]\displaystyle{ \left(-2,0,0,\cdots\right) }[/math], [math]\displaystyle{ \left(999,0,0,\cdots\right) }[/math]이었던 것이다.

그러나 이들을 마치 실수처럼 다룰 수 있는데, 그것은 canonical embedding [math]\displaystyle{ \imath : R \to P, r \mapsto \left(r,0_R,0_R,\cdots\right) }[/math]를 생각할 때 P의 (왼쪽) R상수곱과 위 embedding과 P의 (왼쪽) 곱셈의 합성이 같은 결과를 내기 때문이다(정의에 의해 자명하다). 이제부터 [math]\displaystyle{ \oplus,\odot }[/math]를 보통 쓰는 기호인 +, ·로 나타내자. 물론 곱셈 기호는 생략가능하다.

기본적인 성질

• 어떤 다항식을 나타내는 방법은 유일하다. 다시 말해, 다항식 [math]\displaystyle{ f\left(x\right)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n }[/math], [math]\displaystyle{ g\left(x\right)=b_0+b_1x+b_2x^2+\cdots+b_nx^n }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ f\left(x\right)=g\left(x\right) }[/math]이면, 즉

[math]\displaystyle{ a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n=b_0+b_1x+b_2x^2+\cdots+b_nx^n }[/math]

이면 임의의 [math]\displaystyle{ 0\le i\le n }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ a_i=b_i }[/math]이다.

다항식의 차수

다항식 [math]\displaystyle{ a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ a_i\ne 0_R }[/math]인 [math]\displaystyle{ i }[/math] 중 가장 큰 것을 다항식의 차수(degree of a polynomial)라 하고, 이때 [math]\displaystyle{ a_i }[/math]를 선행계수(leading coefficient)라고 한다. 만약 그런 [math]\displaystyle{ i }[/math]가 존재하지 않는다면(그러니까 [math]\displaystyle{ f(x)=0_R }[/math]인 경우) 차수는 정의되지 않는데, [math]\displaystyle{ -\infty }[/math]로 정의하기도 한다.

• R이 환이면, [math]\displaystyle{ f\left(x\right),g\left(x\right)\in R\left[x\right] }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \deg \left(f\left(x\right)g\left(x\right)\right)\le\deg f\left(x\right)+\deg g\left(x\right) }[/math]이 성립하고, 더 나아가 R이 정역이면 [math]\displaystyle{ \deg \left(f\left(x\right)g\left(x\right)\right)=\deg f\left(x\right)+\deg g\left(x\right) }[/math]이다. 다항식이 [math]\displaystyle{ 0_R }[/math]일 때, 차수를 [math]\displaystyle{ -\infty }[/math]로 하는 이유도 그래야 이 식들이 성립하기 때문이다. R이 정역이 아니라면 등식이 성립하지 않을 수 있는데, 예를 들면 [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_6\left[x\right] }[/math]의 원소 [math]\displaystyle{ f\left(x\right)=3x^2+2 }[/math],[math]\displaystyle{ g\left(x\right)=2x^2+3 }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ f\left(x\right)g\left(x\right)=x^2 }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ \deg\left(f\left(x\right)g\left(x\right)\right)=2\ne \deg f\left(x\right)+\deg g\left(x\right) }[/math]이다.

나눗셈정리와 인수분해

F를 체라고 하자. [math]\displaystyle{ f\left(x\right),g\left(x\right)\in F\left[x\right] }[/math]이고 [math]\displaystyle{ g\left(x\right)\ne 0_F }[/math]이면, [math]\displaystyle{ f\left(x\right)=g\left(x\right)q\left(x\right)+r\left(x\right) }[/math]인 [math]\displaystyle{ r\left(x\right),q\left(x\right)\in F\left[x\right] }[/math]가 유일하게 존재하고, [math]\displaystyle{ r\left(x\right)=0_F }[/math]이거나 [math]\displaystyle{ \deg r\left(x\right) \lt \deg g\left(x\right) }[/math]이다.

임의의 정수를 소수의 곱으로 유일하게 나타낼 수 있다는 것이 알려져 있다(산술의 기본 정리). 마찬가지로, 체 F의 원소를 계수로 가지는 임의의 다항식은 기약불가능인 유한 개 다항식의 곱으로 나타낼 수 있다.

다항함수

R을 가환환으로 가정하자. 다항식 [math]\displaystyle{ p\left(x\right) = a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n\in R\left[x\right] }[/math]에 대해 함수 [math]\displaystyle{ f : R\to R, r \mapsto \mathcal{E}_{r}\left(p\left(x\right)\right) = a_0+a_1r+a_2r^2+\cdots+a_nr^n }[/math]를 다항함수(polynomial function)라고 한다.

이때 [math]\displaystyle{ f\left(a\right)=0_R }[/math]이 성립하는 [math]\displaystyle{ a\in R }[/math]을 다항식 [math]\displaystyle{ f\left(x\right) }[/math]의 근(root)이라 한다.

같이 보기

• 형식적 멱급수

외부 참조

• Weisstein, Eric W. "Polynomial." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.