환 (수학)

대수학에서 말하는 대수 구조(algebraic structure)의 하나.

정의

어떤 집합 R이 있을 때, R 위에 두 개의 이항 연산 +와 ·가 잘 정의돼 있고, +와 ·가 다음 세 조건을 만족한다면 (R,+,·)는 환(還, ring)이라고 한다.

• 1) (R,+)은 아벨군(abelian group). 풀어 쓰면 다음 네 가지를 만족하는 것을 말한다.
  • (결합법칙) R의 임의의 세 원소 a, b, c에 대해 a+(b+c) = (a+b)+c.
  • (항등원) [R의 임의의 원소 a에 대해 a+0 = 0+a = a]인 R의 원소 0 존재.
    항등원은 존재하면 유일하므로 이 원소를 정수에서의 예에 따라 0으로 적고, 혼동의 여지가 있을 때는 0_R로 적기도 한다.
  • (역원) R의 임의의 원소 a에 대해 [a+x = x+a = 0인 R의 원소 x 존재].
    역원은 존재하면 유일하므로 이 원소를 정수에서의 예에 따라 −a로 적는다.
  • (교환법칙) R의 임의의 두 원소 a, b에 대해 a+b = b+a.
• 2) (R,·)은 반군(semigroup). 다시 말해 다음 결합법칙을 만족한다.
  • (결합법칙) R의 임의의 세 원소 a, b, c에 대해 a·(b·c) = (a·b)·c.
• 3) (분배법칙) R의 임의의 세 원소 a, b, c에 대해 a·(b+c) = a·b+a·c이고 (a+b)·c = a·c+b·c.

물론 +는 덧셈으로, ·는 곱셈으로 해석할 예정이며, 이렇게 해석할 수 있는 이유는 궁극적으로 위 3) 분배법칙 때문이다. 따라서 a·b = ab와 같이 곱셈기호를 생략하는 관습 역시 통용된다. 아예 처음부터 연산을 붙여쓰기(juxtaposition)로 정의하기도 한다.

위 2) 조건 대신 다음 조건으로 정의하기도 한다.

• 2′) (R,·)은 모노이드(monoid). 즉 곱셈이 결합법칙을 만족할 뿐더러 곱셈에 대한 항등원도 가져야 한다.

다시 말해 후술하는 “1을 갖는 환”만을 환이라고 한다는 것이다. 이 경우 방금 정의한 “1을 꼭 갖지는 않는 환”은 유사환(pseudoring) 또는 rng이라 한다. 이 견해에 따르면 후술할 내용들도 약간씩 달라지는데, 각 문제되는 위치에서 따로 언급한다.

환의 예로는 다음과 같은 것이 있다.

• 정수 전체의 집합 [math]\displaystyle{ \mathbb Z }[/math].
• 유리수 전체의 집합 [math]\displaystyle{ \mathbb Q }[/math], 실수 전체의 집합 [math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math], 복소수 전체의 집합 [math]\displaystyle{ \mathbb C }[/math]. 이들은 후술하듯 특수한 환인 체에 해당한다.
• 사원수 전체의 집합 [math]\displaystyle{ \mathbb H }[/math].
• n이 양의 정수일 때, 정수집합을 n으로 나눈 나머지 [math]\displaystyle{ \mathbb Z/n\mathbb Z }[/math]. 이를 잉여환이라 한다.
• 가우스 정수 전체의 집합 [math]\displaystyle{ \mathbb Z[i] }[/math].
• [math]\displaystyle{ R }[/math]이 환일 때,
  • [math]\displaystyle{ R }[/math] 위의 (일변수) 다항식 전체의 집합 [math]\displaystyle{ R[t] }[/math]
  • [math]\displaystyle{ R }[/math] 위의 [math]\displaystyle{ n \times n }[/math] 정사각행렬 전체의 집합 [math]\displaystyle{ M_{n,n}(R) }[/math].

환이 아닌 것의 예로는 자연수 전체의 집합 [math]\displaystyle{ \mathbb Z }[/math] 등이 있다.

모든 환 R은 자명한 R가군(module) 구조를 가진다. 1을 갖는 것만을 환이라 하는 경우, 1x=x 조건까지 포함하여 자명하다.

또, 모든 환은 [math]\displaystyle{ \mathbb Z }[/math]대수(algebra)로 볼 수 있다.

환의 종류

‘곱셈’에 관해서는(ring이라는 이름에서 느껴지는 것과는 달리) 결합법칙 외에 아무 조건이 없는 점에 유의하여야 한다. 여기에 이런저런 조건이 붙을 때마다 다음과 같은 여러 가지 이름으로 불린다.

• 곱셈에 관해 교환법칙(commutativity)이 성립하는 것을 가환환(commutative ring)이라 하고, 그렇지 않은 것을 비가환환(non‐commutative ring)이라 한다.
  • 가환환의 예: [math]\displaystyle{ \mathbb Z }[/math], [math]\displaystyle{ \mathbb Q }[/math], [math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math], [math]\displaystyle{ \mathbb C }[/math]
  • 비가환환의 예: [math]\displaystyle{ \mathbb H }[/math], [math]\displaystyle{ M_{n,n}(R) }[/math]([math]\displaystyle{ n \geq 2 }[/math])

• 곱셈에 관한 항등원(identity element)을 갖는 것을 항등원을 갖는 환(ring with identity), 단위원을 갖는 환(ring with unity), 1을 갖는 환(ring with 1) 또는 unital ring이라 한다. 1을 갖는 가환환(Commutative ring with 1) 위의 선형대수는 그 내용이 매우 풍부하다. 항등원은 존재하면 유일하므로 이 원소를 정수에서의 예에 따라 1로 적고, 혼동의 여지가 있을 때는 1_R로 적기도 한다. 심지어 2=1_R+1_R 등의 표기도 사용한다.
  • 1이 없는 환의 예: [math]\displaystyle{ 2 \mathbb Z }[/math]
  • 1=0일 수도 있는지 문제되는데, 만일 0이 곱셈의 항등원이라면 환의 임의의 원소 a에 대해 a = a·1 = a·0 = 0이므로 그러한 환은 자명환(trivial ring) 0={0}밖에 없다. 이런 환을 (환으로서 인정하지 않는 것은 아니지만) 연구할 가치는 없고, 이런 환의 존재를 염두하고 매번 1≠0이라고 적는 것도 시간·공간 낭비이므로 차라리 처음부터 0은 곱셈의 항등원이 될 수 없다고 못박고 시작하는 책도 많다. 이 항목에서도 1≠0이라고 약속한다.
• 1을 갖는 환에서 0 외의 모든 원소가 곱셈에 관한 역원(inverse element)을 가지면—나눗셈이 가능하므로—나눗셈환(division ring)이라 한다. 나눗셈환이 가환이면 체(field)라고 하고, 비가환이면 비가환체(skew‐field)라 한다.
  • 체의 예: 유리수체 [math]\displaystyle{ \mathbb Q }[/math], 실수체 [math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math], 복소수체 [math]\displaystyle{ \mathbb C }[/math]
  • 비가환체의 예: [math]\displaystyle{ \mathbb H }[/math]

정수에서는 ab=0이면 a=0 또는 b=0임이 당연했지만, 예를 들어 행렬환에서는 그렇지 않음을(그것이 행렬문제를 더럽게 만드는 주범임을) 우리는 잘 알고 있다.

a가 R의 원소일 때, ax=0을 만족하는 0 아닌 x∈R이 있으면 a를 좌영인자(left zero divisor)라 하고, ya=0을 만족하는 0 아닌 y∈R이 있으면 a를 우영인자(right zero divisor)라 하며, 그냥 영인자(zero divisor)라 하면 좌영인자이거나 우영인자인 원소를 가리킨다. 다행히(?) 가환환에서는 이들을 구분할 필요가 없다. 한편 좌영인자이면서 우영인자인 원소는 양쪽 영인자(two-sided zero divisor)라고 한다.

영인자는 소거법칙(cancellation law)과 연관된다. 다음 여덟 가지 명제는 모두 동치이기 때문이다.

1. R이 (0 외의) 좌영인자를 갖지 않는다.
2. R이 (0 외의) 우영인자를 갖지 않는다.
3. R이 (0 외의) 영인자를 갖지 않는다.
4. R에서는 ab=0이면 a=0 또는 b=0이다.
5. R에서는 ab=0이고 a≠0이면 b=0이다.
6. R에서는 ab=0이고 b≠0이면 a=0이다.
7. R에서는 ab=ac이고 a≠0이면 b=c이다.
8. R에서는 ac=bc이고 c≠0이면 a=b이다.

• 증명)

  우선 4~8만 보면 4 ⇔ 5 ⇔ 6, 7 ⇒ 5, 8 ⇒ 6은 각각 자명하고, 5 ⇒ 7은 [ac=bc ⇔ (a−b)c = 0 ⇒ a−b=0 ⇔ a=b]이기 때문이며, 왼쪽·오른쪽을 바꾸면 6 ⇒ 8도 마찬가지이다.

  이제 1~4를 보면 정의에 의해 [1 ⇔ 모든 0≠a∈R에 대해 ax=0을 만족하는 0≠x∈R는 없음 ⇔ 0 아닌 a, x∈R에 대해 ax≠0 ⇔ 4]가 된다. 왼쪽·오른쪽을 바꾸면 2 ⇔ 4이고, 마지막으로 4 ⇔ 1 AND 2 ⇔ 3이다.

즉 R이 (0 외의) 영인자를 갖지 않는다는 것은 (좌, 우)소거가 가능하다는 것과 동치이다(3 ⇔ 7 ⇔ 8).

• 1을 갖는 가환환이 0 외의 영인자가 없다면 정역(integral domain)이라 한다.
  • 정역의 예: 모든 체(field), [math]\displaystyle{ \mathbb Z }[/math]

모든 체가 정역인 것은 자명한데, 전술했듯 영인자가 없는 것과 소거가 가능한 것은 동치인데 나눗셈은 소거를 함의하기 때문이다. 이는 역으로 나눗셈이 불가능한 정역에서도 소거법칙을 활용해서 상당히 많은 이야기를 할 수 있다는 뜻이 된다. 한편 1을 갖는 가환환일 것을 요구하지 않고 소거법칙이 성립하는 환을 소거환?(cancellation ring? domain?)이라고 부를 수도 있겠으나, 많이 쓰이는 용어는 아니다.

R, S가 환일 때 R×S에 연산을 좌표별로(componentwisely) 정의하면 R×S 역시 환이 되는데, 이런 식의 대수적 구조를 direct product라고 하므로 이런 환을 곱환(product ring)이라 할 수 있다. 1을 갖는 것만을 환이라 하는 경우, 곱환의 1은 (1,1)이 됨을 확인해야 한다.

환 동형사상(ring isomorphism)과 환 준동형사상(ring homomorphism)

R, S가 환일 때, f: R → S가 다음 조건을 만족하면 환 준동형사상(ring homomorphism)이라 한다.

• R의 임의의 두 원소 a, b에 대해 f(a+b) = f(a)+f(b).
• R의 임의의 두 원소 a, b에 대해 f(ab) = f(a)f(b).

즉 환의 연산을 보존하는 것을 환 준동형사상이라 한다.

이 정의는 사실 (i) f는 덧셈에 관해 군 준동형사상(group homomorphism) (ii) f는 곱셈에 관해 반군 준동형사상(semigroup homomorphism)이라고 정의한 것과 동치이다.

1을 갖는 것만을 환이라 하는 경우, 다음 조건도 추가로 만족하도록 정의하여야 한다.

• f(1_R)=1_S.

그리고 이 정의는 사실 (i) f는 덧셈에 관해 군 준동형사상 (ii′) f는 곱셈에 관해 모노이드 준동형사상(monoid homomorphism)이라고 정의한 것과 동치이다. 즉 환 준동형사상과 [1을 갖는 환] 준동형사상은 다른 개념이다(후자가 훨씬 좁다).

일대일대응(one‐to‐one correspondence)인 환 준동형사상은 환 동형사상(ring isomorphism)이라 한다. 동형사상과 준동형사상에 관한 일반적인 내용은 각 항목을 참고하기 바란다.

환 동형사상의 예로는 다음과 같은 것이 있다.

• R이 환일 때, 항등함수(identity function) id_R. 이는 R의 환 자기동형사상(ring automorphism)이다.
• R과 S가 환이고 f: R → S가 환 동형사상일 때, 역함수 f⁻¹: S → R.
• R, S 및 T가 환이고 f: R → S와 g: S → T가 각 환 동형사상일 때, 합성함수 g∘f: R → T.
• Complex conjugation : [math]\displaystyle{ \mathbb C \rightarrow \mathbb C, a+bi \mapsto a-bi }[/math](단, [math]\displaystyle{ a, b }[/math]는 실수)는 [math]\displaystyle{ \mathbb C }[/math]의 환 자기동형사상이고, 나아가 [math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math]‐자기동형사상이다.

환 준동형사상의 예로는 다음과 같은 것이 있다.

• R, S 및 T가 환이고 f: R → S와 g: S → T가 각 환 준동형사상일 때, 합성함수 g∘f: R → T.

부분환(subring)

R이 환일 때, R의 부분집합 S가 R로부터 물려받은 연산에 관해 그 자신이 환이 되면 S를 R의 부분환(subring)이라 하고, [math]\displaystyle{ S \leq R }[/math]로 적는다.

이렇게만 정의해도 군의 성질에 의해 S의 0과 R의 0이 같음은 쉽게 보일 수 있는데(사실 [math]\displaystyle{ \mathbb Z }[/math]가군으로 보면 더 쉽다), 문제는 곱셈의 항등원 1이다. 벡터공간이나 군에서는 없던 다음과 같은 극악한 문제가 있다.

[math]\displaystyle{ \mathbb Z \times \{ 0 \} \leq \mathbb Z \times 2 \mathbb Z \leq \mathbb Z \times \mathbb Z }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathbb Z \times \{ 0 \} }[/math]은 (1,0)을 곱셈의 항등원으로 갖고, [math]\displaystyle{ \mathbb Z \times 2 \mathbb Z }[/math]은 1이 없고, [math]\displaystyle{ \mathbb Z \times \mathbb Z }[/math] 은 (1,1)을 곱셈의 항등원으로 갖는다. 즉, 1을 갖는 환의 부분환이 1이 없을 수도 있고, 1이 없는 환의 부분환이 1을 가질 수도 있고, 1을 갖는 환의 부분환이 1을 갖는데 그게 원래 환의 1과 다를 수도 있다!

1을 갖는 것만을 환이라 하는 경우, S가 1_R을 갖도록 제한하므로 이러한 문제가 없다. 다만 이렇게 하면 아이디얼(ideal)은 부분환의 일종이 아니고 전혀 별개의 개념이 된다. 즉 부분환과 부분[1을 갖는 환]은 다른 개념이다.

한편, 이 문제는 R이 1을 갖는 경우 R가군 M을 정의할 때 왜 1x = x라는 조건이 필수적인지 설명해 준다(R가군 M의 R상수곱 구조와 아벨군 M의 [math]\displaystyle{ \mathbb Z }[/math]상수곱 구조가 충돌하지 않기 위해서이다).

그나마 다행인 점은 R이 정역이면 1_S = 1_R이 성립한다는 것이다. 이 또한 궁극적으로 소거법칙의 결과이다.

부분환의 예로는 다음과 같은 것이 있다.

• [math]\displaystyle{ 0 \lt 2 \mathbb Z \lt \mathbb Z \lt \mathbb Q \lt \mathbb R \lt \mathbb C \lt \mathbb H }[/math]

한편 잉여환 [math]\displaystyle{ \mathbb Z/n \mathbb Z }[/math] 는 [math]\displaystyle{ \mathbb Z }[/math]의 준동형상(homomorphic image)이지, 부분환이 아니다.

• 부분환의 부분환은 부분환이다. 즉, S≤R이고 T≤S이면 T≤R(정의에 의해 자명하다).
• 부분환의 교집합도 부분환이다. 즉, S, T≤R이면 S∩T≤R(이것도 정의에 의해 자명하다).

한편, S가 R의 부분환이면, R을 S의 확장환(extension ring)이라 하고, [math]\displaystyle{ R / S }[/math]로 적는다.

부분환의 정의는 (i) (S,+)는 (R,+)의 부분군(subgroup), (ii) (S,·)는 (R,·)의 부분반군(subsemigroup)인 것과 동치이다. 1을 갖는 것만을 환이라 하는 경우에는 (i) (S,+)는 (R,+)의 부분군(subgroup), (ii′) (S,·)는 (R,·)의 부분모노이드(submonoid)인 것과 동치이다.

X가 R의 부분집합일 때 X를 포함하는 R의 최소의(smallest) 부분환을 X가 생성하는 부분환(subring generated by X)이라 하고, [math]\displaystyle{ \langle X \rangle }[/math]로 적는다. 최소(Smallest)가 아니고 극소(minimal)로 정의하기도 하는데, 최소로 정의하면 존재성이, 극소로 정의하면 유일성이 문제되나……

이러한 부분환 [math]\displaystyle{ \langle X \rangle }[/math]의 존재성과 유일성은 [math]\displaystyle{ \langle X \rangle = \bigcap_{X \subseteq S \leq R} S }[/math]를 증명하면 보일 수 있다. 증명은 부분환의 교집합이 다시 부분환인 것만 보이면 충분한데, 앞에서 이미 보였다.

실제로 [math]\displaystyle{ \langle X \rangle }[/math]를 계산하려면 [math]\displaystyle{ \langle X \rangle = \{ }[/math]X의 모든 원소의 비가환다항식(non‐commutative polynomial)[math]\displaystyle{ \} }[/math]임을 증명하여야 한다. 이는 X⊆S≤R일 때마다 S에는 X의 모든 원소의 비가환다항식이 다 포함되어야 함을 증명하면 충분한데, 앞서의 부분환 정의의 동치 정리를 생각하면 거의 자명하다.

1을 갖는 것만을 환이라 하는 경우에는 증명의 모든 X 대신 1_R을 더한 집합 X¹=X∪{1_R}을 생각하면 되고, 나머지는 똑같다.

몫환(quotient ring)

R이 환이고 I가 R의 (양쪽) 아이디얼(ideal)일 때, 잉여공간(coset space) [math]\displaystyle{ \overline{R} = \frac{R}{I} = R / I = \{ \overline{a} = a + I | a \in R \} }[/math]에 덧셈과 곱셈을 아래와 같이 자명한 방법으로 정의하면 이 연산에 관해 R/I는 환이 되는데, 이를 몫환(quotient ring)이라 한다.

자명한 방법이란 [math]\displaystyle{ \overline{a}, \overline{b} \in R / I }[/math]에 대해 덧셈은 [math]\displaystyle{ \overline{a} + \overline{b} := \overline{a+b} }[/math]와 같이, 곱셈은 [math]\displaystyle{ \overline{a} \overline{b} := \overline{ab} }[/math]와 같이 정의하는 것이다. 이 연산이 잘 정의될 필요충분조건이 I가 양쪽아이디얼인 것이기 때문에 이때만 몫환을 정의한다.

한편, 이와 같은 덧셈과 곱셈의 정의는 전형사영(canonical projection) [math]\displaystyle{ \pi : R \to R / I, a \mapsto \overline{a} }[/math]가 환 준동형사상이 되도록 하는 유일한 방법이기도 하다.

R이 1을 갖는 가환환일 때, I가 소아이디얼(prime ideal)인 것과 R/I가 정역인 것은 동치이고, I가 극대아이디얼(maximal ideal)인 것과 R/I가 체인 것은 동치이다.

몫환의 예로는 다음과 같은 것이 있다.

• 잉여환 [math]\displaystyle{ \mathbb Z/n\mathbb Z }[/math]

같이 보기

• 군