불가촉수

불가촉수(Untouchable number)는 자연수의 진약수의 합으로 도달할 수 없는 수를 말한다.

가장 작은 불가촉수들은 아래와 같다.

• 2, 5, 52, 88, 96, 120, 124, 146, 162, 188, … (OEIS의 수열 A005114)

2 이상의 모든 자연수의 진약수로 1이 있고, 1보다 큰 진약수가 있다면 진약수의 합은 3 이상이다. 즉 2는 진약수의 합으로 나타낼 수 없으므로 불가촉수이다.

에르되시 팔은 불가촉수의 개수가 무한하다는 사실을 증명하였다.

불가촉수 여부

소수의 진약수의 합은 언제나 1이므로, 1은 불가촉수가 아니다. 1 이외의 어떤 자연수가 불가촉수인지 알아보려면 합성수의 진약수의 합으로 확인하면 된다.

• 소수의 제곱, 즉 [math]\displaystyle{ p^2 }[/math]의 진약수의 합은 [math]\displaystyle{ p+1 }[/math]이므로, (소수+1) 꼴의 자연수는 전부 불가촉수가 아니다. 나아가 [math]\displaystyle{ p^{e-1}+p^{e-2}+\cdots +1 }[/math] 꼴의 자연수는 [math]\displaystyle{ p^e }[/math] 꼴의 진약수의 합으로 표현되므로, 이 역시 불가촉수가 아니다.
• 9 이상의 홀수는 불가촉수가 아님을 비교적 쉽게 확인할 수 있다. 아래 문단 참고.
• 짝수의 경우, 홀수의 제곱 또는 짝수의 진약수를 중심으로 확인하면 된다.
  • 홀수의 진약수는 모두 홀수이다. 완전제곱수가 아닌 자연수의 전체 약수는 짝수 개이므로 진약수는 홀수 개이다. 따라서 완전제곱수가 아닌 홀수의 진약수의 합은 홀수이다.
  • 짝수, 즉 [math]\displaystyle{ 2m }[/math]의 진약수 중 가장 큰 값은 원래 수의 절반인 [math]\displaystyle{ m }[/math]이다. 또, 1과 2 역시 진약수이므로, 6 이상의 짝수 [math]\displaystyle{ n }[/math]이 불가촉수인지 알아보려면 [math]\displaystyle{ 2(n-3) }[/math] 이하의 짝수들을 대상으로 진약수의 합을 조사하면 된다.
  • 홀수의 제곱의 진약수의 합에 대해서는 후보를 미리 상당수 추릴 수 있다. [math]\displaystyle{ m }[/math]이 홀수이고 [math]\displaystyle{ q }[/math]를 진약수로 가질 때, [math]\displaystyle{ N=m^2 }[/math]은 [math]\displaystyle{ q, mq }[/math]를 반드시 진약수로 가진다. 이때 [math]\displaystyle{ 1\leq q\lt m\leq mq\lt N }[/math]이다. 따라서 [math]\displaystyle{ N }[/math]의 진약수의 합은 [math]\displaystyle{ m+1 }[/math]의 배수이다. 그러므로 [math]\displaystyle{ n }[/math]이 불가촉수인지 알아보려면 [math]\displaystyle{ n }[/math]의 짝수 약수들을 찾고, 그 약수에서 1을 뺀 값의 제곱에 대해 진약수의 합을 조사하면 된다.

52를 예로 들어보면, 먼저 98 이하의 짝수들의 진약수의 합으로는 52를 찾을 수 없다. 홀수의 제곱에 대해서는, 52의 짝수 약수인 2, 4, 26, 52에서 1을 빼고 제곱한 자연수인 1, 9, 625, 2601만 조사하면 된다. 여기서도 진약수의 합으로 52를 찾을 수 없다. 따라서 52는 불가촉수이다.

홀수 불가촉수

이와 관련한 내용은 골드바흐 추측에서 볼 수 있습니다.

현재까지 찾아낸 홀수 불가촉수는 5가 유일하다. 만약 골드바흐 추측이 참이라면, 5 이외의 홀수 불가촉수는 존재하지 않는다는 사실에 거의 다다를 수 있다.

• 3과 7은 각각 4와 8의 진약수의 합으로 나타낼 수 있으므로 불가촉수가 아니다.
• 진술: 8 이상의 모든 짝수가 서로 다른 두 소수의 합으로 나타낼 수 있다면, 5 이외의 홀수 불가촉수는 존재하지 않는다.
• 증명: 9 이상의 임의의 홀수 [math]\displaystyle{ n }[/math]이 있다고 할 때, 가정에 의해 [math]\displaystyle{ n-1=p+q, p \neq q }[/math]인 두 소수를 불러올 수 있다. [math]\displaystyle{ N=pq }[/math]라 하면 진약수들의 합은 [math]\displaystyle{ \sigma(N)-N=1+p+q=n }[/math]이 되어, 불가촉수의 정의에 의해 [math]\displaystyle{ n }[/math]은 불가촉수가 아니다.

골드바흐 추측 자체는 짝수를 두 소수의 합으로 나타낼 때, 같은 소수를 두 번 사용하는 것을 허용한다는 전제가 깔려있다. 때문에 위 진술의 가정은 골드바흐 추측 자체가 아닌 조금 더 강화된 조건이다. 어떤 짝수가 소수의 두 배가 아니면, 골드바흐 추측의 정리로부터 서로 다른 두 소수의 합으로 나타낼 수 있으므로 위 진술을 그대로 적용할 수 있다. 소수의 두 배의 경우, 같은 소수 둘 외의 다른 조합(10=3+7, 14=3+11 등)을 찾아야 한다.

같이 보기

아래 세 부류는 정의 자체로 불가촉수가 될 수 없는 자연수들이다.

• 완전수
• 친화수
• 사교수