제곱근

Square root(가끔은 그냥 Root).

개요

중학교 때 피타고라스 정리를 배우면서 처음 배우게 되는 개념.

수 [math]\displaystyle{ a }[/math]에 대해 제곱하여 [math]\displaystyle{ a }[/math]가 되는 수를 [math]\displaystyle{ a }[/math]의 제곱근(square root of [math]\displaystyle{ a }[/math])이라고 하며, [math]\displaystyle{ \sqrt a }[/math]로 나타낸다. 말 그대로 제곱법에 대해 근이 되는 수이기 때문에(즉 방정식 [math]\displaystyle{ x^2 = a }[/math]의 근) ‘제곱’ ‘근’이라 한다.

[math]\displaystyle{ -\sqrt a }[/math]도 제곱하면 [math]\displaystyle{ a }[/math]가 되기 때문에 [math]\displaystyle{ a }[/math]의 제곱근은 [math]\displaystyle{ \pm\sqrt a }[/math]의 두 개가 된다. [math]\displaystyle{ a }[/math]가 양의 실수인 경우 두 제곱근 중에는 양수인 것과 음수인 것이 하나씩 있는데, 이 중 양수인 제곱근을 양의 제곱근, 음수인 제곱근을 음의 제곱근이라 부르며, [math]\displaystyle{ \sqrt a }[/math]는 양의 제곱근만을 나타내는 것이 관례이다.

[math]\displaystyle{ \sqrt\; }[/math]는 제곱근 기호 혹은 약하여 근호(root sign)라고 부르며, [math]\displaystyle{ \sqrt a }[/math]는 근호 [math]\displaystyle{ a }[/math]라고는 하지 않고 루트(root) [math]\displaystyle{ a }[/math] 혹은 제곱근 [math]\displaystyle{ a }[/math]라고 한다. 즉 “[math]\displaystyle{ a }[/math]의 제곱근”이라고 하면 [math]\displaystyle{ \pm\sqrt a }[/math]의 두 개이지만, “제곱근 [math]\displaystyle{ a }[/math]”라고 하면 이때는 ‘제곱근’은 기호의 이름이기 때문에 [math]\displaystyle{ \sqrt a }[/math] 하나만을 가리키는 것이다. 함정 문제로 자주 나오는 유형이니 잘 알아 두자.

인류 최초로 발견된 제곱근은 [math]\displaystyle{ \sqrt2 }[/math]이라고 한다. 피타고라스의 제자인 히파수스가 발견했다고 알려져 있으며, 이 수의 존재는 세상 모든 것이 자연수로 구성되어있다는 피타고라스 학파의 믿음에 정면으로 반하는 수이다. 이 때문에 히파수스는 암살을 당했다느니 자살을 했다느니 하는 설들이 존재하지만, 어느 쪽도 명백한 증거는 없다. 사실 히파수스가 [math]\displaystyle{ \sqrt2 }[/math]를 정말로 발견했는지도 의문에 쌓여 있다. 어찌 되었건, 이 수의 존재로 인해 유리수가 아닌 수가 존재한다는 사실이 밝혀졌고, 현대에는 이러한 수를 무리수라 부른다. [math]\displaystyle{ \sqrt2 }[/math]가 유리수가 아님을 보이는 증명은 여러 가지가 있지만, 가장 잘 알려진 것은 귀류법과 서로소를 이용한 증명일 것이다. 혹은 자연수의 정렬성을 이용하는 증명도 있다.

거듭제곱근

제곱근의 개념을 확장하여 거듭제곱근을 정의할 수 있다.

수 [math]\displaystyle{ a }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ n }[/math]제곱하여 [math]\displaystyle{ a }[/math]가 되는 수를 [math]\displaystyle{ a }[/math]의 [math]\displaystyle{ n }[/math]제곱근([math]\displaystyle{ n }[/math]‐th root of [math]\displaystyle{ a }[/math])이라고 하며, [math]\displaystyle{ \sqrt[n]{a} }[/math]로 나타낸다(단, [math]\displaystyle{ n }[/math]은 자연수). 물론 [math]\displaystyle{ n=2 }[/math]일 경우에는 이제곱근이 아니라 제곱근이라 부르며, 숫자 2도 생략한다. 이는 어떤 수의 제곱을 이제곱이라고 하지 않는 것과 마찬가지이다. 물론 제곱에서 숫자 2를 생략하면 안 된다.

[math]\displaystyle{ a }[/math]가 양의 실수이고 [math]\displaystyle{ n }[/math]이 짝수인 경우 거듭제곱근 중에는 양수인 것과 음수인 것이 하나씩 있다. 양수인 것이 존재함은 다음 절에서 증명할 것이고, 음수인 것이 존재함은 이번에도 [math]\displaystyle{ -\sqrt[n]{a} }[/math]도 [math]\displaystyle{ n }[/math]제곱하면 [math]\displaystyle{ a }[/math]가 되기 때문이다. 어쨌든, 이때에도 [math]\displaystyle{ \sqrt[n]{a} }[/math]는 양수인 것만을 나타내는 것이 관례이다.

존재성과 유일성

심각한 수학책에서는 언제나 정의 바로 다음에 존재성과 유일성이 등장하나, 중고등학교 때에도 배우는 개념임을 감안하여 여기서 증명한다. 지금 증명할 명제는 아래 명제이다.

[math]\displaystyle{ a }[/math]가 양의 실수이면, 자연수 [math]\displaystyle{ n \geq 2 }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ a }[/math]의 [math]\displaystyle{ n }[/math]제곱근이 양의 실수 중에 유일하게 존재한다.

• 존재성

  완비성 공리(공집합이 아닌 실수의 부분집합이 위로 유계이면, 최소상계가 존재한다)를 이용한다.

  실수의 부분집합 [math]\displaystyle{ A=\left\{x|x\geq0,x^n \lt a\right\} }[/math]를 생각한다.

  [공집합이 아님] [math]\displaystyle{ 0^n=0 \lt a }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ 0\in A }[/math]이고, [math]\displaystyle{ A }[/math]는 공집합이 아니다.

  [위로 유계] [math]\displaystyle{ \max\left\{a,1\right\} }[/math]가 상계임을 보인다. 대우명제를 증명하는 것이 간편한데, [math]\displaystyle{ x \gt \max\left\{a,1\right\} }[/math]라고 가정하면 [math]\displaystyle{ x \gt a \;\mbox{and}\; x \gt 1 }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ x^{n-1} \gt 1 }[/math]이고 [math]\displaystyle{ x^n \gt x \gt a }[/math]가 되어 원하는 결과를 얻는다.

  따라서 최소상계 [math]\displaystyle{ \sup A=s }[/math]가 존재한다.

  이제 [math]\displaystyle{ s^n=a }[/math]임을 보이면 된다.

  만약 [math]\displaystyle{ s^n \lt a }[/math]라고 가정하고 [math]\displaystyle{ k = \frac{\sum_{j=1}^{n} {n \choose j} s^{n-j}}{a - s^n}+1 }[/math]라고 하자.

  그러면, [math]\displaystyle{ s+\frac{1}{k} \in A }[/math]임을 보일 수 있다.

  [math]\displaystyle{ \frac{\sum_{j=1}^{n} {n \choose j} s^{n-j}}{a - s^n} \lt k }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ \frac{\sum_{j=1}^{n} {n \choose j} s^{n-j}}{k} \lt a - s^n }[/math]이다. 또한 [math]\displaystyle{ 1 \le k }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ \frac{1}{k} \le 1 }[/math]이다.
  [math]\displaystyle{ \begin{align} \left( s+\frac{1}{k} \right)^n&= \sum_{j=0}^{n} {n \choose j}\frac{s^{n-j}}{k^j}\\&=s^n + \frac{1}{k}\sum_{j=1}^{n}{n \choose j} \frac{s^{n-j}}{k^{j-1}}\\&\le s^n + \frac{1}{k} \sum_{j=1}^{n} {n \choose j} s^{n-j} \lt s^n + (a-s^n) = a\end{align} }[/math]가 되어, [math]\displaystyle{ s + \frac{1}{k} }[/math]가 [math]\displaystyle{ A }[/math]에 포함된다.

  이것은 최소상계가 [math]\displaystyle{ A }[/math]의 원소보다 작아지므로 [math]\displaystyle{ \sup A=s }[/math]라는 것에 모순이다.

  만약[math]\displaystyle{ s^n \gt a }[/math]라고 가정하고 [math]\displaystyle{ k = \max \left\{ \frac{1}{s} , \frac{ns^{n-1}}{s^n-a} \right\}+1 }[/math]이라 하자. [math]\displaystyle{ \frac{1}{s} \lt k }[/math]이기 때문에 [math]\displaystyle{ s-\frac{1}{k} }[/math]는 양수이다.

  그러면, [math]\displaystyle{ s-\frac{1}{k} }[/math] 가 [math]\displaystyle{ A }[/math]의 상계임을 보일 수 있다.

  [math]\displaystyle{ -\frac{1}{sk} \gt -1 }[/math]이므로 베르누이 부등식에 의해 [math]\displaystyle{ \left( s-\frac{1}{k} \right)^n = \left( 1-\frac{1}{sk} \right)^n s^n \ge \left( 1 - \frac{n}{sk} \right) s^n = s^n - \frac{ns^{n-1}}{k} }[/math]이다. [math]\displaystyle{ \frac{ns^{n-1}}{s^n-a} \lt k }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ s^n - \frac{ns^{n-1}}{k} \gt s^n - (s^n - a) = a }[/math]이다. 둘을 합치면, 모든 [math]\displaystyle{ A }[/math]의 원소 [math]\displaystyle{ x }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \left( s-\frac{1}{k} \right)^n \gt a \gt x^n }[/math]이 되어 [math]\displaystyle{ s-\frac{1}{k} }[/math]가 [math]\displaystyle{ A }[/math]의 상계이다.

  최소상계보다 더 작은 상계가 있기 때문에 [math]\displaystyle{ \sup A = s }[/math]에 모순이다.

  따라서 [math]\displaystyle{ s^n \gt a }[/math]도 [math]\displaystyle{ s^n \lt a }[/math]도 될 수 없으므로, [math]\displaystyle{ s^n = a }[/math]이다.

• 유일성

  함수 [math]\displaystyle{ y=x^n }[/math]이 양의 실수에서 강증가(strictly increasing)함수임을 이용하면 매우 쉽다.

  우선 강증가함수임을 설명한다. [math]\displaystyle{ 0 \lt x_1 \lt x_2 }[/math]라고 하고, [math]\displaystyle{ n }[/math]이 자연수일 때 [math]\displaystyle{ 0 \lt x_1^n \lt x_2^n }[/math]라고 가정하면 [math]\displaystyle{ 0 x_1 \lt x_1^n x_1 \lt x_2^n x_1 \lt x_2^n x_2 }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ 0 \lt x_1^{n+1} \lt x_2^{n+1} }[/math]이다. 따라서 수학적 귀납법에 의해 모든 자연수 [math]\displaystyle{ n }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ x_1^n \lt x_2^n }[/math]이 성립하고, 따라서 모든 자연수 [math]\displaystyle{ n }[/math]에 대해 함수 [math]\displaystyle{ y=x^n }[/math]은 양의 실수에서 강증가함수임을 안다.

  따라서 [math]\displaystyle{ x \lt s }[/math]이면 [math]\displaystyle{ x^n \lt a }[/math]이고, [math]\displaystyle{ x \gt s }[/math]이면 [math]\displaystyle{ x^n \gt a }[/math]이다. 양의 실수 [math]\displaystyle{ x }[/math]는 [math]\displaystyle{ x \lt s }[/math]이거나 [math]\displaystyle{ x = s }[/math]이거나 [math]\displaystyle{ x \gt s }[/math]이거나 셋 중 하나인데(실수의 삼분법칙(trichotomy)), 이 중 [math]\displaystyle{ x \lt s }[/math]이거나 [math]\displaystyle{ x \gt s }[/math]인 경우에는 [math]\displaystyle{ x }[/math]가 [math]\displaystyle{ a }[/math]의 [math]\displaystyle{ n }[/math]제곱근이 아니라는 뜻이므로, 앞서 구한 [math]\displaystyle{ s }[/math]만이 유일한 [math]\displaystyle{ a }[/math]의 [math]\displaystyle{ n }[/math]제곱근임을 알 수 있다. ∎

근데 여기서 문제가 하나 생기는데, 예를 들어 [math]\displaystyle{ \sqrt2 }[/math]가 유일하게 존재한다는 것은 알아도, 그 수가 어떤 모양인지는 모른다는 것이다. 물론 계산기를 두들기면 [math]\displaystyle{ \sqrt2=1.414\cdots }[/math]라고 뭔가 던져주지만, 이 ‘…’ 부분을 정확히 묘사하지 못하는 한 이는 근삿값에 지나지 않고, 이러한 수를 수학적으로 표현하는 것은 또 다른 문제이다. 이 수를 직접적으로 묘사하는 매우 유용한 표현이 바로 중학교 때 배운 무한소수 표현이며, 이 무한소수는 사실 무한급수이다. 예를 들면, [math]\displaystyle{ \sqrt2=1.414\cdots }[/math]는 사실 수열 [math]\displaystyle{ \left\{x_n\right\}=\left\{1,\,1.4,\,1.41,\,1.414,\,\cdots\right\} }[/math]의 수렴값을 나타내는 표현이다. 참고로 저 수열은 위로 유계이고, 단조 증가이기 때문에 반드시 수렴함이 알려져 있다. 이로써 우리는 어떤 수의 (거듭)제곱근이 어느 정도 크기의 수인지 가늠할 수 있게 되었다.

복소수의 (거듭)제곱근

한국의 수학 교육과정에선 가르치진 않지만, 복소수의 (거듭)제곱근도 존재한다. 정의는 똑같다 (앞서 (거듭)제곱근을 정의할 때 ‘수’라고만 하고 다른 어떠한 제한도 가하지 않았다). 복소수의 (거듭)제곱근을 공부할 때, 복소평면, 오일러의 공식, 드 무아브르의 공식을 잘 알고 있다면 많은 도움이 된다.

• 존재성과 유일성

  일반적으로 어떤 복소수의 [math]\displaystyle{ n }[/math]제곱근은 복소수 범위에서 [math]\displaystyle{ n }[/math]개가 존재한다. 대수학의 기본 정리를 쓰면 금방 알 수 있고, 아래 실제 찾는 방법으로도 증명을 갈음할 수 있다.

• 실제로 찾는 방법
  • (거듭)제곱근 하나를 찾는 방법

    (거듭)제곱근을 하나만 찾으면 나머지는 금방 찾을 수 있다. [math]\displaystyle{ n }[/math]제곱근을 구하려는 복소수를 극형식으로 [math]\displaystyle{ \alpha = Ae^{i\theta} }[/math]와 같이 나타내면, [math]\displaystyle{ z = \sqrt[n]{A}e^{i\tfrac{\theta}{n}} }[/math]이 원하는 [math]\displaystyle{ n }[/math]제곱근이 된다. 이때 [math]\displaystyle{ \sqrt[n]{A} }[/math] 부분은 전술한 양의 실수에서의 거듭제곱근을 찾는 방법을 따른다.

  • 나머지 (거듭)제곱근을 찾는 방법

    1의 [math]\displaystyle{ n }[/math]제곱근([math]\displaystyle{ n }[/math]‐th roots of unity)를 이용한다. 즉, 예를 들어 [math]\displaystyle{ e^{i\tfrac{2\pi}{n}} = \cos\tfrac{2\pi}{n} + i \sin\tfrac{2\pi}{n} }[/math]를 [math]\displaystyle{ \zeta_n }[/math]로 놓으면 [math]\displaystyle{ \zeta_n^n = 1 }[/math]이므로, [math]\displaystyle{ \alpha }[/math]의 한 [math]\displaystyle{ n }[/math]제곱근 [math]\displaystyle{ z = \sqrt[n]{A}e^{i\tfrac{\theta}{n}} }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ z\zeta_n = \sqrt[n]{A}e^{i\tfrac{\theta}{n}} e^{i\tfrac{2\pi}{n}} = \sqrt[n]{A}e^{i\tfrac{\theta+2\pi}{n}} }[/math] 역시 [math]\displaystyle{ \alpha }[/math]의 [math]\displaystyle{ n }[/math]제곱근이 된다([math]\displaystyle{ \left( z\zeta_n \right)^n = z^n \zeta_n^n = \alpha \cdot 1 = \alpha }[/math]).

    마찬가지로 생각하면 [math]\displaystyle{ \alpha }[/math]의 한 [math]\displaystyle{ n }[/math]제곱근을 [math]\displaystyle{ z }[/math]라 하면 다음 [math]\displaystyle{ n }[/math]개의 복소수

    [math]\displaystyle{ z,\; z\zeta_n,\; \cdots,\; z\zeta_n^{n-1} }[/math]

    가 [math]\displaystyle{ \alpha }[/math]의 [math]\displaystyle{ n }[/math]제곱근임을 알 수 있고, 극형식으로 나타내면 [math]\displaystyle{ z = \sqrt[n]{A}e^{i\tfrac{\theta}{n}} }[/math]에 대해

    [math]\displaystyle{ \sqrt[n]{A}e^{i\tfrac{\theta}{n}},\, \sqrt[n]{A}e^{i\tfrac{\theta+2\pi}{n}},\, \cdots,\, \sqrt[n]{A}e^{i\tfrac{\theta+2\left(n-1\right)\pi}{n}} }[/math]

    와 같이 됨을 알 수 있다.

근삿값

제곱근의 근삿값을 구하는 방법은 여러 가지가 알려져 있다. 이 중 몇 가지를 소개한다.

1. 이분탐색알고리즘(二分探索algorism)
2. 개평법: 나눗셈과 비슷한 방법으로 구하며, 각 자리를 정확하게 구할 수 있지만, 효율이 매우 떨어진다. 자세한 것은 여기를 참조.
3. 바빌로니아 법: 구하고자 하는 제곱근 값으로 수렴하는 수열을 만들어 근사값을 구한다. 개평법과는 달리 횟수가 적으면 정확도가 떨어지지만, 효율면에선 이쪽이 더 좋다. 자세한 것은 여기를 참조.

이분탐색 알고리즘의 예

제곱근을 구하는 확률적인 알고리즘으로는 이분탐색알고리즘(Bisection method)이 있다. 구하고자 하는 제곱근의 보다 작은 정수와 보다 큰 정수의 사이의 임의의 중간값 분할에서 [math]\displaystyle{ x.99999.... }[/math]에 근사값으로 수렴시키므로서 [math]\displaystyle{ a }[/math]에 접근하는 방법이다. 여기서 [math]\displaystyle{ x }[/math] 는 [math]\displaystyle{ \sqrt a }[/math]의 [math]\displaystyle{ a\!-\!1 }[/math]이다. [math]\displaystyle{ \sqrt 5 }[/math] 는 다음과 같이 구해진다 우선 구하고자 하는 값의 수렴은 [math]\displaystyle{ 4.9999... }[/math]이다.

[math]\displaystyle{ \sqrt 4 \lt \sqrt 5 \lt \sqrt 9 }[/math]

[math]\displaystyle{ 2 \lt \sqrt 5 \lt 3 }[/math]

[math]\displaystyle{ 2.1^2=4.41 \lt \sqrt 5^2 \lt 2.5^2= 6.25 }[/math]

[math]\displaystyle{ 2.2^2=4.48\lt \sqrt 5^2\lt 2.3^2=5.29 }[/math]

[math]\displaystyle{ 2.21^2=4.8841\lt \sqrt 5^2\lt 2.25^2= 5.0625 }[/math]

[math]\displaystyle{ 2.22^2=4.9284\lt \sqrt 5^2\lt 2.23^2=4.9729 }[/math]

[math]\displaystyle{ 2.235^2=4.995225\lt \sqrt 5^2\lt 2.239^2=5.013 }[/math]

[math]\displaystyle{ 2.236^2=4.9996\lt \sqrt 5^2\lt 2.237^2=5.004169 }[/math]

[math]\displaystyle{ 2.2362^2=5.0005904\lt \sqrt 5^2\lt 2.2365^2=5.0019322 }[/math]

[math]\displaystyle{ 2.2360^2=4.99969\lt \sqrt 5^2\lt 2.2361^2=5.0001432 }[/math]

[math]\displaystyle{ 2.23605^2=4.999919602 \lt \sqrt 5^2 \lt 2.23609^2= 5.000098488 }[/math]

[math]\displaystyle{ \sqrt 5 = 2.23605... }[/math]

계산기에서의 제곱근

대부분의 실물 계산기에는 제곱근이 탑재되어 있다. 공학용이 아닌 일반적인 계산기에서는 제곱근만 구할 수 있으며, 공학용 계산기를 이용하면 거듭제곱근도 구할 수 있다.

분수

제곱근을 '어떤 수 a를 두 번 곱하여 x가 되었을 때에, a를 x에 대하여 이르는 말. 하나의 수에 대하여 그 제곱근은 양수와 음수 두 개가 있으나 보통 양수를 택한다.'라고 가정해볼때

[math]\displaystyle{ a^2 =x }[/math]

[math]\displaystyle{ \sqrt{a^2 }= \sqrt{x} }[/math]

[math]\displaystyle{ a = \sqrt{x} }[/math]

한편

[math]\displaystyle{ a^{2 \cdot {{1}\over{2}} } =x ^{ {{1}\over{2}} } }[/math]

[math]\displaystyle{ a =x ^{ {{1}\over{2}} } }[/math]

이 가정으로부터 어떤 수 a를 n 번 곱하여 x가 되었을 때를 조사하면

[math]\displaystyle{ a^{n \cdot {{1}\over{n}} } =x ^{ {{1}\over{n}} } }[/math]

[math]\displaystyle{ a =x ^{ {{1}\over{n}} } }[/math]

[math]\displaystyle{ a }[/math]는 [math]\displaystyle{ x }[/math]에 대하여 [math]\displaystyle{ n }[/math]의 역수(reciprocal) 배{거듭제곱}와 관련있음을 확인할수있다.