복소수

복소수(complex number)는 [math]\displaystyle{ \displaystyle a+bi }[/math]로 표현([math]\displaystyle{ \displaystyle a,b \in \mathbb{R}, i = \sqrt{-1} }[/math])되는 수이다. 실수체에 허수단위 [math]\displaystyle{ \displaystyle i }[/math]를 추가한 확대체([math]\displaystyle{ \displaystyle \mathbb{C}=\mathbb{R}(i) }[/math])로 표현가능하다. 집합 표현으로는 [math]\displaystyle{ \displaystyle \mathbb{C} }[/math]를 사용한다. 엄청나게 쓸모있다.

활용 분야

수학, 공학, 물리에서 너무나도 많이 쓰인다. 그냥 숨 쉬는 공기 같이 쓰이는 존재다. 수학적 실재론에 별 거부감이 없는 경우, 그냥 ‘자연에 복소수가 있다’는 식으로 표현해도 된다. 하지만 안타깝게도 고등학교에서는 이 사실을 제대로 짚고 넘어가질 않는 듯하며 복소수로 뻘짓만 하다가 끝나는 경우가 많다. 사칙연산을 다룬 이후에는 교과서에 다시 등장하지 않는다.

• 양자역학에서, 파동방정식을 풀 때에는 복소수 값을 가진 상태함수들은 복소수 값을 가진 것으로 생각한다. 하지만 작용소에 대한 관측값은 실수가 나오는 것으로 생각한다. 즉, 실수를 바라보기 위해 복소수를 고려하는 게 자연스럽다는 것이 요지.
• 푸리에 변환은 JPEG 압축, 스피커, 전화기 등 일상생활에 숨어서 아주 널리 쓰이는 개념이다. 이 변환의 요지는 임의의 움직임을 단순한 파동적 움직임으로 보겠다는 것인데, 파동함수인 사인과 코사인은 하나로 뭉쳐서 생각하면 편하다. 오일러가 발견했듯이, 이렇게 뭉칠 수 있다: [math]\displaystyle{ \displaystyle e^{ix} = \cos x + i \sin x }[/math]. 따라서 푸리에 변환을 깔끔하게 표현하고 활용하려면 복소수를 사용해야 한다.
• “100만보다 작은 소수의 개수는 몇 개일까?”라는 질문에 대답을 하려면 복소수에 대해 알아야 한다.그냥 일일이 세도 된다 소수의 분포가 복소수에서 정의된 리만 제타 함수라는 것과 관련 있다는 것을 수학자 리만이 발견했으며, 추후 복소수와 그것의 확장된 수체계들을 적극 활용하여 소수에 대한 다양한 새로운 사실들이 밝혀지게 된다.
• 실수 위의 특이적분을 복소수를 동원하면 쉽고 깔끔하게 할 수 있는 경우가 많다. 물론 적분을 잘 할 수 있으면 공학과 물리에 많이 도움이 되며, 결과적으로 잘 먹고 잘 사는 데 보탬이 된다.
• n차 다항식은 실수해가 없을 수도 있지만 복소수에서는 정확히 n개의 해가 있다. 물론 다항식을 잘 풀 수 있으면 잘 먹고 잘 사는 데 보탬이 된다.

뭐 이외에도 그냥 밥 먹듯이 등장한다.

정의

[math]\displaystyle{ \displaystyle i }[/math]라는 추상개체를 [math]\displaystyle{ \displaystyle \sqrt{-1} }[/math]라고 정의하는데서부터 모든것이 시작된다. a와 b가 실수일 때 [math]\displaystyle{ \displaystyle a+bi }[/math]라는 숫자들을 복소수라고 한다.

복소수를 더하거나 곱할 때에는 [math]\displaystyle{ \displaystyle i }[/math]라는 깐죽쟁이는 따로 모아서 정리하는 식으로 한다. 즉, [math]\displaystyle{ \displaystyle (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i }[/math]

으로 정의하고, [math]\displaystyle{ \displaystyle (a+bi)\times(c+di)=ac+bci+adi+bdi^2=(ac-bd)+(bc+ad)i }[/math]

으로 정의한다. 뺄셈 나눗셈도 마찬가지다. 그대신 나누기는 처음 보면 생소할 수도 있다.

[math]\displaystyle{ \displaystyle (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i }[/math]

으로 정의하며, [math]\displaystyle{ \displaystyle \frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}=\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i }[/math]

으로 정의한다.

복소평면

그런데 위에서 하듯이 정의를 하면 정작 복소수가 정말로 중요한 이유를 보기가 힘들다. 복소수가 정말로 중요한 이유중 하나는 [math]\displaystyle{ \displaystyle e^{ix} = \cos x + i \sin x }[/math]이기 때문이다. 이걸 시각화 하기 위해 복소평면이란 것을 생각하자.

복소평면이란, [math]\displaystyle{ \displaystyle a+bi }[/math]라는 복소수를 평면 위의 점 [math]\displaystyle{ \displaystyle (a,b) }[/math]로 보겠다는 것이다. 굳이 왜 이렇게 할까? 이렇게 하면 곱셈과 나눗셈에 대한 새로운 멋진 직관을 얻을 수 있기 때문이다.

그 직관을 말하기 위해 [math]\displaystyle{ \displaystyle (r, \theta)_\text{polar} }[/math]를 복소수 [math]\displaystyle{ \displaystyle r\cos \theta + i r\sin \theta }[/math]와 같다고 하자. 즉, [math]\displaystyle{ \displaystyle (r, \theta)_\text{polar} }[/math]은 양의 x축 방향과 [math]\displaystyle{ \displaystyle \theta }[/math]의 각(동경)를 이루며 길이가 [math]\displaystyle{ \displaystyle r }[/math]인 벡터가 가리키는 점으로 정의하는 것이다. 그렇다면 위에서 명백히 보이지 않던 놀라운 사실을 하나 알 수 있게 된다:

[math]\displaystyle{ \displaystyle (r_1 ,\theta_1)_\text{polar}\cdot (r_2,\theta_2)_\text{polar} =( r_1r_2, \theta_1 + \theta_2)_\text{polar} }[/math]

즉, 복소수 두 개의 곱은 복소평면에서 아주 기하학적인 표현이 가능한 것이다: 두 점을 곱하면 원점에서의 거리가 곱해지고 양의 x축 방향과 이루는 각도가 더해진다는 것이다!

이게 왜 그럴까? 직접 정의를 풀어헤쳐보면 이게 삼각함수의 덧셈정리와 정확히 같은 것을 알 수 있다. 하지만 정작 더 예쁜 이유는 따로 있다. 그게 바로 [math]\displaystyle{ \displaystyle e^{ix} = \cos x + i \sin x }[/math]이다.

오일러의 식: [math]\displaystyle{ \displaystyle e^{ix} = \cos x + i \sin x }[/math]

이게 오일러의 식이다. 위의 표기법대로 다시 쓰면 [math]\displaystyle{ \displaystyle (1, \theta)_\text{polar} \sim e^{i\theta} }[/math]라고 다시 쓸 수도 있으리라. 근데 이 식이 애초에 의미하는 바가 무엇일까? 대체 뭘 어떻게 하면 e의 복소수 승 할 수 있는 거지?

이것을 설명하기 위하여 아예 [math]\displaystyle{ \displaystyle e^x }[/math]라는 함수를 임의의 복소수 값에 대해서 새로 정의한 후, 좌변과 우변을 비교해 볼 수도 있다. 하지만 여기서는 좀 더 직관적인 설명에 대해 우선 알아보고, 그 후에 정의를 논해보자.

직관적인 설명: 복소평면 위의 곡선

이 논의는 바로 "음, 정말로 [math]\displaystyle{ \displaystyle f(x)=e^{ix} }[/math]라는 표현이 복소수라면, 어떤 식으로 행동하는 녀석일까?"라고 궁금증을 던지는 데에서부터 시작된다. [math]\displaystyle{ \displaystyle f(x) }[/math]를 각 실수 x마다 복소평면 위에 점을 찍는 것이라고 생각한다면, 마치 우리는 x가 시간이라고 생각해봐도 무리가 없을 것이다. 즉 시간을 나타내기 위해 x를 t라고 한번 써보면, [math]\displaystyle{ \displaystyle f(t) }[/math]는 시간에 따라 (복소)평면 위를 꾸물꾸물 움직이는 점의 궤적일 것이다.

얘가 어떻게 움직이는지를 보기 위해 속도벡터를 한번 보자. 이 궤적의 속도벡터는 [math]\displaystyle{ \displaystyle \frac{d}{dt}f(t) }[/math]이다. 그런데 우리가 이미 실수 [math]\displaystyle{ \displaystyle c }[/math]에 대해 알고 있는 사실이 바로 [math]\displaystyle{ \displaystyle \frac{d}{dt}e^{ct}=c\cdot e^{ct} }[/math]이다. 따라서 정말로 자연스럽게 [math]\displaystyle{ \displaystyle f(t)=e^{it} }[/math]를 정의하려면 [math]\displaystyle{ \displaystyle \frac{d}{dt}e^{it}=i\cdot e^{it} }[/math]이어야 할 것이다. 즉, 속도벡터가 위치벡터의 [math]\displaystyle{ \displaystyle i }[/math]배라는 것이다. 근데 복소수의 가장 원초적인 정의로 돌아가서 이게 대체 뭘 의미하는지 곱씹어보자. [math]\displaystyle{ \displaystyle i(x+iy)=i^2 y + ix = -y + ix }[/math]로, 조금만 머리를 쓰보면 [math]\displaystyle{ \displaystyle i }[/math]를 곱함으로써 원래 벡터가 원점에 대해 90도 회전했다는 것을 알 수 있다. 따라서 우리의 [math]\displaystyle{ \displaystyle f(t)=e^{it} }[/math]의 [math]\displaystyle{ \displaystyle t=t_0 }[/math]일 때의 속도벡터는 항상 원점으로 그은 선분에 수직함을 알 수 있다. 이제 사실상 게임 끝난것과 마찬가지다. 좀 더 지켜보라.

이제 한번 원점을 중심으로 한 동심원들을 빽빽하게 그려서 평면을 가득 채워보자 foliation . 이렇게 한 후 [math]\displaystyle{ \displaystyle f(t) }[/math]의 궤적을 스케치했다고 치고 아무렇게나 곡선을 그려보자. 그러면 바로 알 수 있는 사실이, [math]\displaystyle{ \displaystyle f(t) }[/math]가 빽빽히 그려놓은 동심원 중 하나를 따라가다가 벗어날 때 바로 속도벡터가 위치벡터와 수직이 아닌 것을 알 수 있다! 즉, 속도벡터와 위치벡터가 수직이게 하고 싶으면 [math]\displaystyle{ \displaystyle f(t) }[/math]를 감히 원 하나에서 벗어나게는 할 수 없다는 것이다. 즉, [math]\displaystyle{ \displaystyle f(t) }[/math]의 궤적은 하나의 원이 된다. 더불어 [math]\displaystyle{ \displaystyle f(0)=e^{i\cdot 0}=e^0=1 }[/math]이므로 이 원은 바로 반지름 1짜리 원인 것이다. 속도가 일정해야 하므로 [math]\displaystyle{ \displaystyle e^{it} }[/math]가 양의 x축 방향과 이루는 각도는 [math]\displaystyle{ \displaystyle t }[/math]여야 하고, 따라서 원하던 대로 [math]\displaystyle{ \displaystyle e^{it}=\cos t + i\sin t }[/math]임을 알 수 있게 되었다.

"증명"과 정의

미적분을 열심히 해보면 실수 [math]\displaystyle{ \displaystyle z }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \displaystyle e^z,\sin z, \cos z }[/math]의 테일러 전개가 다음과 같음을 알 수 있다:

[math]\displaystyle{ \displaystyle e^z = 1+\frac {z^1}{1!}+\frac {z^2}{2!}+\frac {z^3}{3!}+\cdots }[/math]

[math]\displaystyle{ \displaystyle \sin z = z-\frac {z^3}{3!}+\frac {z^5}{5!}-\frac {z^7}{7!}+\cdots }[/math]

[math]\displaystyle{ \displaystyle \cos z = 1-\frac {z^2}{2!}+\frac {z^4}{4!}-\frac {z^6}{6!}+\cdots }[/math]

그리고 아예 [math]\displaystyle{ \displaystyle z }[/math]를 실수에서 복소수에 대해 확장해서 정의된 것으로 치고 정의를 완전히 똑같이 반복할 수 있다. 그러면 [math]\displaystyle{ \displaystyle e^{ix} = \cos x + i \sin x }[/math]는 값을 직접 집어넣어서 바로 확인할 수 있게 된다.

개요: 복소수의 미적분

복소수에서 미적분하면 짱짱맨이다. 실수에서 미적분 하는 것보다 훨씬 더 예뻐진다. 물론 미분과 적분은 따로 다 정의해야 하겠지만 그것들을 논의하기 전에, 그 정의를 만들면 어떤 놀라운 성질들을 만족하는지에 대해 말해보겠다.

• 복소함수는 한번 미분 가능하면 무한번 미분가능하다. 한편 실수함수에서는 [math]\displaystyle{ \displaystyle f(x)=\displaystyle \int_0^x |t|dt }[/math]로 정의하면 얘는 딱 한번밖에 미분이 안 된다.
• 복소함수의 테일러전개는 항상 어떤 반경 내에서는 그 함수로 수렴한다. 한편 실수함수에서는 [math]\displaystyle{ \displaystyle f(t) }[/math]를 [math]\displaystyle{ \displaystyle t\gt 0 }[/math]일 때 [math]\displaystyle{ \displaystyle e^{1/t} }[/math], [math]\displaystyle{ \displaystyle t\leq 0 }[/math]일 때 [math]\displaystyle{ \displaystyle 0 }[/math]으로 정의하면 0에서의 이 함수의 테일러 급수는 그냥 모든 점에서 0인 함수가 된다. 그 어떤 반경을 잡아도 원래 함수와 동일하지 않는 것이다.
• 미분이 되는 아무 함수나 잡고 미분이 되는 영역에서 경로적분을 해주면 무조건 적분값이 0이 된다. 즉 적분 경로를 열심히 바꿔봤자 값이 똑같다는 것. 한편 정의가 안 되는 무한점 등 주변으로 경로적분을 하면 무한점의 "개수"를 정확히 세어주는 작용을 한다. 이런 걸 활용해서 구하기 어려운 실수 적분값들을 구하는 것도 가능하다.

복소 미분

직관

[math]\displaystyle{ \displaystyle \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R^2 }[/math]인 실수 함수가 "미분가능하다"고 하는 것은 국소적으로 선형변환으로 근사가 가능하다는 것이다. 복소적인 미분가능성은 한 걸음 더 나아가서 함수의 국소적 작용이 선형변환 중 특히 착한 놈인 회전&확대변환이라는 것을 뜻한다. 회전&확대변환은 정확히 복소수를 곱하는 작용을 뜻한다.

코시-리만 방정식

[math]\displaystyle{ \displaystyle f(z)=u(x,y)+iv(x,y) }[/math]가 [math]\displaystyle{ \displaystyle z_0 = x_0 + iy_0 }[/math]에서 미분가능하면 [math]\displaystyle{ \displaystyle z_0 }[/math]에서 [math]\displaystyle{ \displaystyle u_x, u_y, v_x, v_y }[/math]가 존재하고 [math]\displaystyle{ \displaystyle u_x=v_y, u_y=-v_x }[/math]를 만족한다. [math]\displaystyle{ \displaystyle f'(z_0)=u_x (x_0, y_0) + iv_x (x_0, y_0) =v_y (x_0, y_0) - iu_y (x_0, y_0) }[/math]이고 [math]\displaystyle{ \displaystyle u_x, u_y, v_x, v_y }[/math]을 [math]\displaystyle{ \displaystyle f=u+iv }[/math]의 코시-리만 방정식이라 한다.