실수

실수(實數, real number)는 실수 집합의 원소를 말한다. 실수 집합 [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math]은 아래의 세 공리(계)를 만족하는 집합이며, 그 존재성은 유리수 집합이 존재할 때 보일 수 있다.

개요

고등학교 교육과정에서, 실수 집합은 유리수 집합과 무리수 집합의 합집합으로 정의하고, 무리수는 실수 중 유리수가 아닌 수로 정의한다. 순환논리 실수를 십진 전개 소수로 나타낼 수 있는 수로 정의하기도 한다. 하지만 이는 극한을 먼저 정의해야 할 뿐만 아니라 실수 집합의 성질을 잘 나타내지 못하는 정의이다.

현대에는 실수 집합을 후술하는 세 공리를 만족하는 집합으로 정의한다. 실수 집합은 유리수 집합과는 완비성을 가진다는 점에서 다르다. 예를 들어, 다음의 집합을 상정해보자:

[math]\displaystyle{ \left\{ \lfloor 10^{i}\sqrt{2} \rfloor 10^{-i}: \; i \in \mathbb{N} \cup \{0\}\right\}=\{1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, \cdots\} }[/math]

이는 분명 유리수 집합의 위로 유계된 부분집합이지만, 이 집합의 상한 [math]\displaystyle{ \sqrt 2 }[/math]은 유리수가 아니다. 즉, 유리수 집합은 완비성을 가지지 않는 것이다.

이쯤 되면 ‘실수 집합이 과연 존재하는가?’라는 질문을 가질 수도 있을 것이다. 놀랍게도, 실수 집합은 유리수를 이용하여 만들(모델링) 수 있다. 이때 유리수 집합은 정수 집합에서, 정수 집합은 (0을 포함한) 자연수 집합에서 이끌어낼 수 있으므로, 자연수 집합의 존재만 가정하면 자연히 실수 집합은 존재하게 된다.

실수 집합의 정의

실수 집합은 다음의 세 공리를 만족하는 집합으로 정의한다:

• 체 공리
• 순서 공리
• 완비성 공리

실수 집합의 존재성

이와 관련한 내용은 Wikipedia:Construction of the real numbers에서 볼 수 있습니다.

유리수에서 실수 집합을 생성하는 방법은 코시 수열(Cauchy Sequence)를 이용하거나 데데킨트 절단(Dedekind cut)을 이용한다. 사실 생성 방법은 다르나 두 가지 방법 모두 실수의 완비성(Completeness)을 유도할 수 있다.

우선 각 수열의 값이 유리수로 구성된 코시 수열(Cauchy Sequence)들의 집합을 [math]\displaystyle{ \mathcal{C} = \{ \{x_n \} | x_n \in \mathbb{Q} , n \in \mathbb{N} \} }[/math]라고 놓자. 여기서 코시 수열의 거리(metric)은 일반적 거리 d(x,y)=|x-y|에 의해 정의된다. 다른 거리인 p진 거리에 의해 생성되는 완비된 집합의 경우, p진수 문서를 참조할 것. 코시 수열을 수식으로 표현하자면 아래와 같이 표현할 수 있다.

[math]\displaystyle{ \{x_n \} \in \mathcal{C} \leftrightarrow \forall \epsilon\gt 0, ( \exists N \in \mathbb{N} (\forall k, l \geq N \rightarrow |c_k - c_l | \lt \epsilon)) }[/math]

그 다음에 코시 수열의 집합 C에 대해서 동치관계(equivalence relation) '~'를 아래와 같이 정의한다.

[math]\displaystyle{ a \sim b (\in \mathcal{C}) \Leftrightarrow \forall \epsilon \gt 0 (\exists N \in \mathbb{N} \land (\forall n \gt N \rightarrow |a_n -b_n | \lt \epsilon)) }[/math]

그러면 ~가 동치관계임을 보일 수 있고 (추가예정), 따라서 동치관계에서 나오는 코시 수열의 분할(Partition) C/~이 존재하게 된다.

또한 수열의 합과 곱, 부등호를 아래와 같이 정의할 경우 코시 수열의 분할 C/~에 대해서도 합, 곱 그리고 부등호의 정의가 잘 정의되며, 게다가 선형 부등호를 가진 체(Linearly ordered field)가 만들어진다. 이것이 실수 체(Real Number System)이 된다.

• 두 수열의 합 - n번째 항끼리 합한 새 수열을 두 수열의 합으로 정의한다 : [math]\displaystyle{ (x_n) + (y_n ) = (x_n +y_n) }[/math]
• 두 수열의 곱 - n번째 항끼리 곱한 새 수열을 두 수열의 곱으로 정의한다 : [math]\displaystyle{ (x_n) \cdot (y_n ) = (x_n y_n) }[/math]
• 부등호 - 고정된 수 N에 대해 n이 N보다 클 때 a_n≥b_n으로 정의되면 수열 (a_n)는 (b_n)보다 작지 않다고 정의할 수 있다.