기수법

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기수법 모음
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기수법(記數法)이란, 추상적인 개념인 숫자를 인간이 알아볼 수 있게 구체적인 방법으로 표현하는 것을 말한다. 인류 최초의 기수법은 작대기 하나로만 (즉, 1) 수를 표기하는 단항 기수법이었으며, 이후 특정 수는 다른 표기법을 가지는 명수법, 그리고 현대에 쓰이는 위치 기수법의 형태로 발전하였다.

고대에는 국가에 따라 다양한 기수법이 존재하였다. 그러나 현대에 가장 많이 쓰이는 기수법은 10개의 숫자를 사용한 위치 기수법인 10진법이다. 간혹 필요에 따라 2진법이나 12진법, 60진법 등이 쓰이긴 하지만 이들 모두는 위치 기수법이라는 공통점을 가진다.

종류

단항 기수법

1만을 사용하여 수를 표기하는 방법. 1만으로 숫자를 세는데 어디다가 써먹냐는 생각이 들 수 있는데, 실생활에서도 생각보다 많이 쓰인다. 슬래시(/)를 사용하여 수를 세거나 정(正)자를 그리며 수를 세는 방법이 바로 단항 기수법이다. 그러나 수가 커지면 표기하는데도, 읽는데도 오래걸리는 한계가 있었으며, 인류는 다른 기수법을 개발하기에 이른다.

명수법

1만으로 큰 수를 표기하기에는 문제가 있었고, 인류는 "그럼 큰 수를 다른 기호로 바꾸면 되지!"라는 생각을 하게 되었다. 가장 대표적인 예는 로마 숫자가 있으며, 한자도 보기에 따라서는 명수법이라 볼 수 있다. 하지만 이 명수법도 직관적이지 못한 한계가 있었다. 게다가 수가 커질 때마다 새로운 기호를 만들고, 그 새로운 기호를 외워야 그 수를 읽을 수 있었으니, 역시 큰 수를 표현하는데 한계를 보였다.

위치 기수법

단항 기수법과 명수법의 한계를 극복하기 위해 인류가 최종적으로 도달한 기수법. 기존의 기수법은 기호만을 사용해 수의 크기만을 나타냈다면, 위치 기수법은 기호뿐만 아니라 기호의 위치를 통해 수의 크기를 나타내었다. (10진법에서의) 1234를 예시로 들면, 기존에는 이 수를 1과 2와 3과 4, 이런 식으로 해석하였다. 하지만 위치 기수법에서는 4는 제일 오른쪽에 있으니 그냥 4, 3은 그보다 하나 왼쪽에 있으니 3보다 10배 큰 30, 2는 그보다 하나 더 왼쪽에 있으니 2보다 100배 큰 200, 이런 식으로 수를 인지하는 것이다. 또한, 한 자리 씩 왼쪽으로 갈 때마다 곱해지는 수의 비율에 따라 다른 진법을 만들어 낼 수 있었으며, 이중 인류는 손가락이 10개라 10진법을 사용하게 되었다.

위치 기수법이 처음 생겼을 당시에는 크기가 없는 위치를 표기하기 위해 공백을 사용했는데, 이 공백이 참 애매한 표현이라 문제가 좀 있었다. 이 문제를 해결한 것은 인도 문명이었으며, 방법은 우리가 모두 알고 있는 0. 0의 발명은 인류의 수학사에 큰 영향을 끼쳤으며, 대수학의 본격적인 발전을 이루어 냈다.

고대 문명의 기수법

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대표적인 진법

2진법

이와 관련한 내용은 이진법에서 볼 수 있습니다.

중학교 때 진법을 배우면서 가장 먼저 배우게 되는 진법. 0과 1로만 수를 표기하며, 이는 참, 거짓의 논리적 이분법과 맞아 떨어져 논리학을 배울 때 쓰이게 된다. 또한, 위키러가 애용하는 컴퓨터가 바로 이진법으로 돌아간다.

10진법

이와 관련한 내용은 십진법에서 볼 수 있습니다.

가장 많이 쓰이는 기수법. 인간의 손가락이 10개라서 10진법이 가장 많이 쓰이게 됐다는 설이 유력하며, 현대 수학, 과학에서 빼놓을 수 없는 필수요소.

12진법

수학에서는 잘 쓰이진 않지만 일상 생활에 녹아들어 있는 기수법 중 하나. 이는 주로 문화적으로 연관되어 있는데 그리스 철학에서 12를 세상에서 가장 완전한 숫자라 정의했기 때문이라는 설이 그나마 유력하다. 동양에서도 12를 10과는 별개로 완전한 수로 정의한 기록이 있는데 10간 12지가 대표적인 적용 예. 또한 영어 Dozen(더즌, 다스)단위 및 숫자체계 및 실링-펜스 체계에서 유럽의 끝자락인 영국까지 퍼진 12진법의 영향을 볼 수 있고, 시간이 12구간으로 나눠져 있는 것, 황도 12궁, 1 feet = 12 inch인 것도 전부 12진법의 잔재다.

60진법

60진법이 어디서 왜 튀어나왔는지는 모르지만 60진법 역시 12진법과 마찬가지로 실생활에 녹아있다. 여러 가지 설이 있으나 종합하면 12와 10의 최소공배수인 점이 크게 작용한다. 가장 유명한 적용 예는 수메르의 숫자체계. 1시간이 60분, 1분이 60초인 것이 대표적이며, 수학이나 천문학에서의 각도의 단위 역시 60진법을 사용한다. 동양의 육십갑자 또한 60진법의 적용사례이다.

진법 전개의 존재성과 유일성

10진법의 수 2222가 있다고 가정하자. 우리는 이 수를 [math]\displaystyle{ 2222=2\times10^3+2\times10^2+2\times10^1+2 }[/math]로 나타낼 수 있다는 것을 초등학교에서 배웠을 것이다. 이런식으로 수를 표기하는 것을 10진법 전개라고 하며, 이 진법 전개는 임의의 [math]\displaystyle{ b }[/math]진법에 대해 유일하게 존재한다. 정확한 명제는 다음과 같다.

명제

[math]\displaystyle{ b\gt 1 }[/math]인 자연수라 가정하자. 그럼, 임의의 자연수 [math]\displaystyle{ n }[/math]에 대해, 적당한 정수 [math]\displaystyle{ 0\leq a_i\lt b }[/math]가 존재하여 [math]\displaystyle{ n=a_kb^k+a_{k-1}b^{k-1}+\cdots+a_1b+a_0 }[/math]로 유일하게 나타낼 수 있다.

증명

유클리드 호제법을 연속적으로 사용한다. 즉,

[math]\displaystyle{ \begin{align}x&=q_1b+a_0,\quad&0\leq a_0\lt b\\q_1&=q_2b+a_1,\quad&0\leq a_1\lt b\\&\vdots\\q_k&=b\cdot0+a_k,\quad&0\leq a_k\lt b\end{align} }[/math]

이다. 나눗셈 정리에 의해 [math]\displaystyle{ a_i }[/math]는 유일하게 존재하며, 유클리드 호제법에 의해 이 과정은 반드시 유한하다. 이제 [math]\displaystyle{ q_i }[/math]를 차례로 식에 대입하여 정리하면, [math]\displaystyle{ n=a_kb^k+a_{k-1}b^{k-1}+\cdots+a_1b+a_0 }[/math]이다.

임의의 실수는 정수부와 소수부로 나눠서 표기할 수 있다. 위 명제는 임의의 실수의 정수부를 [math]\displaystyle{ b }[/math]진법으로 전개했을 때의 존재성과 유일성을 보장해주고, 소수부의 [math]\displaystyle{ b }[/math]진법 전개의 존재성과 유일성은 분수 항목에 증명이 되어있다. 이 두 명제를 합하면, 임의의 실수는 [math]\displaystyle{ b }[/math]진법으로 표기했을 때 유일하게 존재함을 알 수 있다.

같이 보기

• 숫자
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