영어 : Multiplication(Multiple), times / 일본어 : 乗法(乗算)・掛け算・掛け(-る)=乗じ(-る)
개요[편집 | 원본 편집]
사칙연산 중 하나로, 초등학교에서 덧셈과 뺄셈을 배운 뒤에 배우게 된다. 초등학교에서 설명하는 곱셈의 발달 동기는, 2+2+…+2+2 (2가 22개)같은 식을 간단히 하기 위해서. 실제로, 덧셈만으로 저걸 표현하려면 길게 쭉 늘어놔야하지만, 곱셈으로 표현하면 2×22로 짧게 표현할 수 있다.
표기법으로는 ×와 •를 사용한다. LaTeX로는 \times
와 \cdot
로 쓴다. 만약 미지수가 포함되어 있다면 기호를 아예 생략하기도 한다. [math]\displaystyle{ 2\times x }[/math]나 [math]\displaystyle{ 2\cdot x }[/math]로 쓰지않고 [math]\displaystyle{ 2x }[/math]와 같이. 물론, 미지수가 아닌 두 숫자끼리는 반드시 기호를 표시해 줘야 한다. 만약 그렇지 않으면 22가 2×2인지 숫자 22인지 구별할 방법이 없게 된다. 유일한 예외는 두 숫자가 괄호로 구분되어 있을 때. [math]\displaystyle{ 2\times(2) }[/math]를 그냥 [math]\displaystyle{ 2(2) }[/math]로 표기해도 중의적인 의미를 가지지 않는다. 하지만 48÷2(9+3) 같은 경우를 방지하기 위해서 웬만하면 2(2) 같은 표현은 쓰지말자.
정의[편집 | 원본 편집]
기본적으로 0은 덧셈에 대한 항등원, 1은 곱셈에 대한 항등원을 뜻한다. 그리고 [math]\displaystyle{ -a }[/math]는 [math]\displaystyle{ a }[/math]의 덧셈에 대한 역원이다. 자연수의 곱셈을 제외하고는 가환환에서 이루어지는 것으로 생각하자.[1]
자연수의 곱셈[편집 | 원본 편집]
자연수 [math]\displaystyle{ n }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ na }[/math]를 귀납적으로 정의할 수 있다.
- [math]\displaystyle{ 1\times a:=a }[/math][2]
- [math]\displaystyle{ \left(n+1\right)a:=na+a }[/math].
정수의 곱셈[편집 | 원본 편집]
- [math]\displaystyle{ a\times0=0 }[/math]
- [math]\displaystyle{ 0\cdot a=\left(0+0\right)\cdot a=\left(0\cdot a\right)+\left(0\cdot a\right) }[/math]이다. 위 식의 양변에 [math]\displaystyle{ \left(0\cdot a\right) }[/math]의 덧셈에 관한 역원을 더해주면, [math]\displaystyle{ 0\cdot a=0 }[/math].
- 여기서 왜 0으로 나누기가 안 되는지 알 수 있다. 임의의 수 [math]\displaystyle{ b }[/math]에 대해서, [math]\displaystyle{ b(1/b)=1 }[/math]이인데, [math]\displaystyle{ b=0 }[/math]이면 좌변은 0이되고, 우변은 1이되어 0=1이 된다. 만약 0=1이 성립하는 zero ring이라면 저게 큰 문제가 되지 않지만, 우리가 일반적으로 사용하는 수 체계, 즉, 체에서는 [math]\displaystyle{ 0\neq1 }[/math]을 가정하고 시작하기 때문에 모순이 되기 때문.
- [math]\displaystyle{ (-1)(-a)=a }[/math]
- [math]\displaystyle{ 0=0\times\left(-a\right)=\left(-1+1\right)\left(-a\right)=\left(-1\right)\left(-a\right)+\left(-a\right) }[/math]. 양변에 [math]\displaystyle{ a }[/math]를 더해주면, [math]\displaystyle{ a=\left(-1\right)\left(-a\right) }[/math].
- [math]\displaystyle{ (-1)a=-a }[/math]
- [math]\displaystyle{ \left(-1\right)\left(-a\right)=a }[/math]의 양변에 -1을 곱하면, [math]\displaystyle{ \left(-1\right)\left(-1\right)\left(-a\right)=\left(-1\right)a }[/math]. 그런데 [math]\displaystyle{ \left(-1\right)\left(-1\right)=1 }[/math]이므로, [math]\displaystyle{ \left(-1\right)a=-a }[/math].
이제, [math]\displaystyle{ \left(-n\right)a=-\left(na\right) }[/math]로 정의하면, 모든 정수에 대해 곱셈이 정의된다.
위는 추상대수학적인 방법으로 정수의 곱셈을 정의한 것이고, 해석학적인 방법으로 정수의 곱셈을 정의할 수도 있다. 기본적인 아이디어는 정수를 두 자연수의 차로 나타내는 것. 두 정수 [math]\displaystyle{ x,\,y }[/math]에 대해, 적당한 자연수 [math]\displaystyle{ m,\,n,\,a,\,b }[/math]가 존재하여 [math]\displaystyle{ x=m-n,\,y=a-b }[/math]로 나타낼 수 있다. 이 때, [math]\displaystyle{ xy := ma+nb-mb-na }[/math]로 정의하면, 정수에 대해 곱셈이 정의된다.
유리수의 곱셈[편집 | 원본 편집]
유리수의 곱셈은 정수의 곱셈을 조금 더 확장하여 얻는다. 먼저, 임의의 유리수를 두 정수의 쌍으로 나타낸다.[3] 그러니까, [math]\displaystyle{ \frac{a}{b}=\left(a,b\right) }[/math] 이런 식으로. 이 때, [math]\displaystyle{ \frac{a}{b}\times\frac{m}{n}=\left(a,b\right)\times\left(m,n\right):=\left(am,bn\right)=\frac{am}{bn} }[/math]로 정의한다. 뭔가 거창해 보이지만 분모는 분모끼리, 분자는 분자끼리 정수의 곱셈을 하라는 소리이다.
실수의 곱셈[편집 | 원본 편집]
실수의 곱셈의 정의는 데데킨트 절단이 들어가서 비전공자에겐 상당히 난해하게 보인다. 먼저 실수의 정의에 대해 간략하게 알고 가자.
먼저, 유리수의 진부분 집합 [math]\displaystyle{ U }[/math]가 있다고 하자. 만약 [math]\displaystyle{ U }[/math]가,
- [math]\displaystyle{ x\in U }[/math]이고 [math]\displaystyle{ y\gt x }[/math]이면 [math]\displaystyle{ y\in U }[/math]
- [math]\displaystyle{ U }[/math]는 가장 작은 원소를 갖지 않는다
위 두 성질을 만족하면 [math]\displaystyle{ U }[/math]를 [math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math]의 ray라 정의한다. 이 때, [math]\displaystyle{ U }[/math]의 여집합 [math]\displaystyle{ U'=\mathbb{Q}\setminus U }[/math]는 가장 큰 원소를 가질 수도, 가지지 않을 수도 있다. 만약 [math]\displaystyle{ U' }[/math]가 가장 큰 원소를 갖는다면 [math]\displaystyle{ U }[/math]를 type 1, 아니면 type 2라 부르기로 하자. [math]\displaystyle{ U }[/math]가 type 1이면, 적당한 유리수 [math]\displaystyle{ r }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ U=\left\{x\in\mathbb{Q}\mid x\gt r\right\} }[/math]임을 쉽게 알 수 있다. 이 때, [math]\displaystyle{ U }[/math]를 rational ray라 정의한다.
순서가 정의된 임의의 체 [math]\displaystyle{ F }[/math]에 대해, 모든 ray가 type 1이면 이 체 [math]\displaystyle{ F }[/math]를 complete하다고 부른다. 그런데 유리수의 집합 [math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math]는 complete하지 않다.[4] 즉, [math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math]는 type 2 ray를 갖게 되며, 이 ray를 irrational ray라 정의한다.
이제, 실수를 [math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math]의 ray라 정의한다. 뭔 개소리야
실수를 정의했으니 이제 실수의 곱셈을 정의할 수 있다. [math]\displaystyle{ U,\,V }[/math]를 두 실수(ray)라 할 때, 실수의 곱셈은 아래 네 가지 경우로 나눠 정의한다.
- [math]\displaystyle{ 0\not\in U,\,0\not\in V }[/math]
- [math]\displaystyle{ U\cdot V:=\left\{uv\mid u\in U\wedge v\in V\right\} }[/math]
- [math]\displaystyle{ 0\in U,\,0\not\in V }[/math]
- [math]\displaystyle{ U\cdot V:=\left\{r\in\mathbb{Q}\mid\exists u\in U\,\exists0\leq y\in V',\,r\gt uy\right\} }[/math]
- [math]\displaystyle{ 0\not\in U,\,0\in V }[/math]
- [math]\displaystyle{ U\cdot V:=\left\{r\in\mathbb{Q}\mid\exists0\leq x\in U'\,\exists v\in V,\,r\gt xv\right\} }[/math]
- [math]\displaystyle{ 0\in U,\,0\in V }[/math]
- [math]\displaystyle{ U\cdot V:=\left\{r\in\mathbb{Q}\mid\exists x\in U'\,\exists v\in V',\,r\gt xy\right\} }[/math]
복소수의 곱셈[편집 | 원본 편집]
복소수의 곱셈은 실수의 곱셈을 확장하여 얻는다. [math]\displaystyle{ i=\sqrt{-1} }[/math]라 할 때, 임의의 복소수는 적당한 두 실수 [math]\displaystyle{ a,\,b }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ a+bi }[/math] 꼴로 나타낼 수 있다. 두 복소수를 [math]\displaystyle{ z_1=a+bi,\,z_2=c+di }[/math]라 할 때, [math]\displaystyle{ z_1\cdot z_2:=\left(ac-bd\right)+\left(ad+bc\right)i }[/math]로 정의한다.
곱셈의 기본 성질[편집 | 원본 편집]
가환환의 세 원소 [math]\displaystyle{ a,\,b,\,c }[/math]에 대해, 다음이 항상 성립한다.
- 분배법칙: [math]\displaystyle{ a\cdot\left(b+c\right)=\left(a\cdot b\right)+\left(a\cdot c\right) }[/math]
- 결합법칙: [math]\displaystyle{ \left(a\cdot b\right)\cdot c=a\cdot\left(b\cdot c\right) }[/math]
- 교환법칙: [math]\displaystyle{ a\cdot b=b\cdot a }[/math].
만약 가환환이 domain이라면 아래 성질도 성립한다.
- 소거법칙: [math]\displaystyle{ a\cdot b=a\cdot c }[/math]이고 [math]\displaystyle{ a\neq0 }[/math]이면, [math]\displaystyle{ b=c }[/math].
다른 곱셈[편집 | 원본 편집]
- 두 벡터 [math]\displaystyle{ \vec{u},\,\vec{v} }[/math]에 대해, [math]\displaystyle{ \vec{u}\cdot\vec{v} }[/math]는 벡터의 내적이 된다. [math]\displaystyle{ \vec{u}\times\vec{v} }[/math]는 벡터의 외적. 벡터 계산을 할 때는 ×와 •가 서로 다른 것을 의미하니 주의하자.
- 두 행렬 [math]\displaystyle{ A,\,B }[/math]에 대해, [math]\displaystyle{ A }[/math]를 [math]\displaystyle{ n\times m }[/math], [math]\displaystyle{ B }[/math]를 [math]\displaystyle{ m\times p }[/math] 행렬이라고 하자. 그럼 [math]\displaystyle{ \left(AB\right)_{ij} }[/math]는 [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^mA_{ik}B_{kj} }[/math]로 정의한다. 즉, [math]\displaystyle{ A }[/math]의 [math]\displaystyle{ i }[/math]번째 행벡터와 [math]\displaystyle{ B }[/math]의 [math]\displaystyle{ j }[/math]번째 열벡터의 내적을 구한 것.