아페리 상수

정의

아페리 상수(Apéry's constant)는 다음과 같이 정의되는 상수이다.

[math]\displaystyle{ \zeta(3) = \displaystyle \sum_{x=1}^{\infty}\frac{1}{{x}^{3}} = 1 + {1 \over 2^3} + {1 \over 3^3} + \cdots }[/math]

여기서 [math]\displaystyle{ \zeta(s) }[/math]는 리만 제타 함수이다.

값

아페리 상수는 무리수로, 그 값을 소숫점 아래 99자리까지 적으면 다음과 같다.

1.202056903159594285399738161511449990764986292340498881792271555341838205786313090186455873609335258

여담

프랑스의 수학자 Roger Apéry가 이 수가 무리수임을 증명하여 아페리 상수라는 이름이 붙었다.

[math]\displaystyle{ p\left ( N \right ) }[/math]을 무작위로 [math]\displaystyle{ N }[/math]보다 작은 세 정수를 골랐을 때 이 세 정수가 서로소일 확률이라고 정의하자. 이 확률은 아페리 상수의 역수로 나타난다. 즉, [math]\displaystyle{ \displaystyle\lim_{N\rightarrow \infty}p\left ( N \right )=\frac{1}{\displaystyle \sum_{x=1}^{\infty}\frac{1}{{x}^{3}}} }[/math]
이 성립한다. 이 값을 100자리까지 적으면
0.8319073725807074686831262788215307344170563977337280792796703328644578791723479888213656689899653041이다.