리만 제타함수

정의

[math]\displaystyle{ s }[/math]가 [math]\displaystyle{ \operatorname{Re} s \gt 1 }[/math]인 복소수일 때, 함수 [math]\displaystyle{ \zeta:\mathbb{C}\to\mathbb{C} }[/math]를

[math]\displaystyle{ \zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s} }[/math]

로 정의하면 [math]\displaystyle{ \zeta(s) }[/math]는 수렴한다. 이때 [math]\displaystyle{ \zeta }[/math]를 리만 제타함수(Riemann zeta function)라고 한다.

수치

• [math]\displaystyle{ \zeta(2)=\frac{\pi^2}{6} }[/math]
• [math]\displaystyle{ \zeta(4)=\frac{\pi^4}{90} }[/math]
• [math]\displaystyle{ \zeta(6)=\frac{\pi^6}{945} }[/math]

성질

• [math]\displaystyle{ \zeta(s)=\prod_{p:\text{ prime}}\frac{1}{1-p^{-s}} }[/math]
• [math]\displaystyle{ \operatorname{Re} s \gt 2 }[/math]일 때 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\phi(n)}{n^s}=\frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)} }[/math]이다. 이때 [math]\displaystyle{ \phi }[/math]는 오일러 피 함수이다.

현재까지 알려진 성과

• [math]\displaystyle{ \zeta(3) }[/math]은 아페리 상수라고 하며, 무리수이다.
• [math]\displaystyle{ \zeta(5), \zeta(7), \zeta(9), \zeta(11) }[/math] 중 적어도 하나는 무리수이다.
• [math]\displaystyle{ k }[/math]가 양의 정수일 때, [math]\displaystyle{ \zeta(2k+1) }[/math] 꼴의 수 중 무리수는 무수히 많다.

같이 보기

• 디리클레 급수