괴짜수

괴짜수(Weird number) 또는 기묘수는 과잉수 중 진약수의 부분 합으로 원래 수가 나올 수 없는 자연수를 말한다. 과잉수가 전체 자연수 중 24~25% 빈도를 보이는 것에 비해 괴짜수는 1%에도 채 못미친다. 괴짜수가 아닌 과잉수는 반완전수이다.

가장 작은 괴짜수들은 아래와 같다.

• 70, 836, 4030, 5830, 7192, 7912, 9272, 10430, 10570, 10792, … (OEIS의 수열 A006037)

가령 70의 경우 진약수인 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35를 모두 더하면 74로 과잉수이지만 진약수의 부분합으로는 70이 만들어지지 않으므로 괴짜수이다.

수식 표현

• [math]\displaystyle{ \sigma(n)\gt 2n }[/math]: 과잉수의 정의. [math]\displaystyle{ \sigma(n) }[/math]은 약수함수이다.
• [math]\displaystyle{ \not\exist A \text{ for } \sum_{m \in A}m=n }[/math]: [math]\displaystyle{ A }[/math]는 [math]\displaystyle{ n }[/math]의 진약수들의 부분집합이다. 즉 [math]\displaystyle{ m \in A }[/math]이면 [math]\displaystyle{ m \mid n, m\lt n }[/math]이다.

성질

• 어떤 괴짜수가 주어져 있고 그 수의 약수의 합보다 큰 소수가 있을 때, 해당 괴짜수와 소수의 곱 역시 괴짜수이다.
  • 괴짜수는 과잉수의 일종이다. 과잉수의 자연수배는 과잉수이므로, 진술에서 말하는 수 역시 과잉수이다. 증명은 해당 수가 괴짜수가 아니면 모순이 됨을 밝혀낸다.
  • 증명: [math]\displaystyle{ p }[/math]는 소수, [math]\displaystyle{ n }[/math]은 괴짜수이고, [math]\displaystyle{ p\gt \sigma(n)\gt 2n }[/math]라 가정한다. 만약 [math]\displaystyle{ pn }[/math]의 진약수의 부분집합 [math]\displaystyle{ A }[/math]가 존재해서 [math]\displaystyle{ \sum_{m \in A}m=pn }[/math]이 나온다고 할 때, 해당 부분집합 내 약수는 [math]\displaystyle{ p }[/math]의 배수와 그렇지 않은 것으로 나눌 수 있다. 즉 [math]\displaystyle{ S=\sum_{m \in A, p \mid m}m, T=\sum_{m \in A, p \nmid m}m, S+T=pn }[/math]과 같이 변형한다. 여기서 [math]\displaystyle{ p }[/math]의 배수가 아닌 [math]\displaystyle{ pn }[/math]의 약수는 곧 [math]\displaystyle{ n }[/math]의 약수이므로 [math]\displaystyle{ T \leq \sum_{m \mid n}m=\sigma(n)=2n }[/math]이다. 그런데 가정에 의해 [math]\displaystyle{ 0 \leq T \leq 2n\lt p }[/math]이고, [math]\displaystyle{ T=pn-S }[/math]인데 [math]\displaystyle{ S }[/math]는 [math]\displaystyle{ p }[/math]의 배수인 항끼리 더한 것이므로 [math]\displaystyle{ p \mid S }[/math]이다. 결국 [math]\displaystyle{ p \mid T }[/math]이어야 하며 [math]\displaystyle{ T=0, S=pn }[/math]이고, [math]\displaystyle{ A }[/math] 내의 모든 원소들은 [math]\displaystyle{ p }[/math]의 배수이다. 이때 [math]\displaystyle{ B=\{k| k=m/p, m \in A\} }[/math]라 하면 [math]\displaystyle{ S=p\sum_{k \in B}k=pn }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ \sum_{k \in B}k=n }[/math]이다. 그런데 [math]\displaystyle{ B }[/math]는 [math]\displaystyle{ n }[/math]의 진약수의 부분집합이므로, [math]\displaystyle{ n }[/math]이 괴짜수라는 가정과 모순이다. 따라서 [math]\displaystyle{ pn }[/math]은 괴짜수이다.
• 괴짜수의 진약수는 괴짜수 또는 부족수이다.

원시 괴짜수

원시 괴짜수(Primitive weird number)는 다른 괴짜수의 배수로 표현되지 않는 괴짜수이다. 즉 이들 수의 진약수들은 모두 부족수이다. 위의 성질로부터 어떤 괴짜수에서 그 수의 약수의 합보다 큰 소수를 곱하면 다른 괴짜수를 생성할 수 있는데, 원시 괴짜수는 이러한 생성 역할을 하는 뿌리라 할 수 있다.

가장 작은 원시 괴짜수들은 아래와 같다.

• 70, 836, 4030, 5830, 7192, 7912, 9272, 10792, 17272, 45356, … (OEIS의 수열 A002975)

같이 보기

• 부족수
• 과잉수
• 반완전수