최소공배수

개요

초등학교에서 약수와 배수를 배운 뒤에 최대공약수와 함께 배우게 되는 내용. 공배수란, 이름에서 알 수 있듯이 두 수, 혹은 그 이상의 수들의 공통인 배수라는 뜻이다. 최소공배수는 당연히 공배수 중에서 가장 작은 것. 두 수 [math]\displaystyle{ a,b }[/math]의 최소공배수를 기호로 [math]\displaystyle{ \text{lcm}\left(a,b\right) }[/math]로 표기하며, 더욱 줄이면 [math]\displaystyle{ \left[a,\,b\right] }[/math]로 표기하기도 한다.

간혹 최대공배수로 잘못 부르는 경우가 있는데, 최대공배수는 당연히 존재하지 않는다.

찾는 법

예시로 두 수 10, 12의 공배수를 찾고 싶다고 하자. 먼저 두 수의 배수를 쭉 나열한다.

10: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, ... 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, ...

여기서 위아랫줄 동시에 나타나는 수가 바로 공배수이다. 최소공배수는 앞서 설명했듯이 공배수 중 가장 작은 것. 이 예시의 경우에는 60이 최소공배수가 된다.

하지만 숫자를 나열하는 방법으로 최소공배수를 찾는 게 힘들다면? 이 때는 소인수분해를 이용해서 최소공배수를 찾는다. 10과 12를 각각 소인수분해하면,

[math]\displaystyle{ 10=2\cdot5 }[/math] [math]\displaystyle{ 12=2^2\cdot3 }[/math]

이제 중복되는 소인수는 차수가 큰 횟수만큼, 그리고 나머지 소인수를 모두 곱해주면 그 값이 최소공배수이다. 위 예시에서는 2를 두 번, 3을 한 번, 그리고 5를 한 번 곱한 값, 즉 60이 최소공배수가 된다. 특히, 숫자가 서로소이면, 그냥 아무런 생각도 하지않고 두 수를 곱해주기만 하면 그 값이 최소공배수가 됨을 알 수 있다.

성질

두 정수 [math]\displaystyle{ a,b }[/math]에 대하여,

1. [math]\displaystyle{ \text{lcm}\left(a,b\right)\mid ab }[/math]

1. [math]\displaystyle{ \text{lcm}\left(a,b\right)\gcd\left(a,b\right)=ab }[/math]

최대공약수는 성질이 많은데 얘는... 그나마 있는 하나도 최대공약수가 끼어 있다.

증명

1. [math]\displaystyle{ \gcd\left(a,b\right)=G }[/math]라 하자. 그럼 적당한 정수 [math]\displaystyle{ m }[/math], [math]\displaystyle{ n }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ a=Gm,b=Gn }[/math], ([math]\displaystyle{ m,n }[/math]은 서로소)가 성립한다. 이 때, [math]\displaystyle{ \text{lcm}\left(a,b\right)=Gmn }[/math]이다. 따라서, [math]\displaystyle{ \text{lcm}\left(a,b\right)=Gmn\mid G^2mn=ab }[/math]
2. [math]\displaystyle{ \gcd\left(a,b\right)=G }[/math]라 하자. 그럼 적당한 정수 [math]\displaystyle{ m,n }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ a=Gm }[/math], [math]\displaystyle{ b=Gn }[/math], ([math]\displaystyle{ m,n }[/math]은 서로소)가 성립한다. 이 때, [math]\displaystyle{ \text{lcm}\left(a,b\right)=Gmn }[/math]이다. 따라서, [math]\displaystyle{ \text{lcm}\left(a,b\right)\gcd\left(a,b\right)=G^{2}mn=ab }[/math]

관련 항목

• 배수
• 최대공약수
• 소인수분해