소수 (기수법)

1과 자신만을 약수로 갖는 수(素數)에 관한 내용은 소수 (수론) 문서를 읽어 주세요.

Decimal, 小數.

정의

(1보다 작은 단위에서 유의미한 값을 가지는) 실수를 소수점을 이용해 나타낸 것. 나아가 그와 같이 나타낸 수를 일컫기도 한다.

초등학교에서 (2009년 개정 교육과정에서는 3학년 1학기) 분수와 함께 배우며, 초등학생들을 숱하게 괴롭히는 개념이지만 학년이 올라갈수록 쓰이지 않는 개념 중 하나이다.

좀 더 정확히 말하자면 초등학교에서 배우는 것은 유한소수이며, 이에 상대되는 개념인 무한소수는 중학교 때 처음 만나지만 대학교까지 가서 무한급수를 제대로 배워야 그 정체를 알게 된다.

아래 내용은 특별한 말이 없는 한, 전부 10진법에서의 소수를 다루는 것으로 생각하자.

역사

알려진 바에 의하면 최초의 소수 표기는 기원전 1세기 쯤 고대 중국에서 만들어 졌다고 한다. 이후 중동을 거쳐 유럽에 전파된 것으로 추정된다. 물론 시대가 시대인 만큼 현대인들은 알아볼 수 없는 표기를 사용하였다. 현대적 표기와 그나마 가장 가까운 형식의 소수점 표기는 16세기에 나타났다. 1530년에는 바(bar)를 사용해서 소수점 표기를 나타내었다. 1585년의 사이몬 스테빈(Simon Stevin)은 다른 표기를 사용하였는데, 이건 현대적 표기와는 많이 떨어져 있다. 그러다 시대가 흐르면서 반점(,) 또는 온점(.)으로 소수점을 나타내게 되었다. 한국이나 미국에서는 .를 사용하지만, 독일과 같은 몇몇 유럽 국가에서는 ,를 사용하니 알아두자.

종류

실수(實數)
정수(整數)	소수(小數)
	유한소수 (有限小數)	무한소수(無限小數)
		순환 무한소수(유리수, 有理數)		비순환 무한소수(무리수, 無理數)
		혼순환 무한소수 (混循環 無限小數)	순순환 무한소수 (純循環 無限小數)	대수적 비순환 무한소수 (代數的 非循環 無限小數)	초월적 비순환 무한소수 (超越的 非循環 無限小數)

유한소수와 무한소수

유한소수(有限小數, finite decimal, terminating decimal)는 소수점 아래 0이 아닌 숫자가 유한하게 나타나는 소수이다.

• 예: 0.1, 0.2, 0.34, 1.234

유한소수는 분모가 10의 거듭제곱인 분수로 생각할 수 있다. 예를 들어 1.234는 [math]\displaystyle{ \tfrac{1234}{1000} }[/math]로 생각할 수 있다. 따라서 유한소수는 반드시 유리수이며, 기약분수로 나타내었을 때 분모의 소인수는 2 및 5밖에 존재하지 않는다.

반대말은 무한소수(無限小數, infinite decimal)이며, 소수점 아래 0이 아닌 숫자가 무한히 계속되는 소수를 말한다.

무한소수는 유한소수와 달리 분모가 (유한한) 10의 거듭제곱인 분수로 생각하는 것은 불가능하며, 무한급수로 생각해야 한다. 즉 표기로 생각할 때는 무한급수로 생각하게 되며, 수로 생각할 때는—당연히—급수의 합으로 생각하게 된다.

무한소수는 순환하는 무한소수(순환소수)와 순환하지 않는 무한소수(비순환무한소수)로 나뉜다.

순환소수(순환하는 무한소수)

순환소수(循環小數, recurring decimal, repeating decimal, periodic decimal)는 소수점 아래의 어느 자리 이후로는 한 개 또는 여러 개의 숫자가 반복하여 나타나는 무한소수이다.

• 예: 0.333……, 0.1232323……, 0.027027027……

이 반복하는 숫자들을 순환마디(period, repetend)라고 하는데, 순환소수를 간략하게 표현하기 위하여 순환마디 위에 점을 찍거나 줄을 그어서 나타내기도 한다.

• 예
  • 0.333……[math]\displaystyle{ = 0.\dot{3} = 0.\overline{3} }[/math]
  • 0.1232323……[math]\displaystyle{ = 0.1\dot{2}\dot{3} = 0.1\overline{23} }[/math]
  • 0.027027027……[math]\displaystyle{ = 0.\dot{0}2\dot{7} = 0.\overline{027} }[/math]

순환소수의 소수 첫째 자리부터 순환마디가 시작되는 경우 순순환소수(純循環小數)라고 하고, 소수 둘째 자리 이하에서 순환마디가 시작되는 순환소수를 혼순환소수(混循環小數)라고 한다. 참고로, 순환마디가 아닌 부분은 전주기(preperiod)라고 부른다.

• 순순환소수의 예: [math]\displaystyle{ 0.\overline{3} }[/math], [math]\displaystyle{ 0.\overline{027} }[/math]
• 혼순환소수의 예: [math]\displaystyle{ 0.1\overline{23} }[/math]

무한소수 중에서 순환소수에 집중하는 이유는 모든 순환소수는 유리수이기 때문이다. 따라서 중학교 교과서에서는 순환소수를 분수로 나타내는 방법을 가르친다. 자세한 내용은 다음 장 참조. 순환소수는 기약분수로 나타내어도 분모에 2 또는 5 외의 소인수가 있게 된다.

반대로 모든 유리수는 소수로 나타내면 유한소수 또는 순환소수가 된다는 것도 증명이 가능하다. 이는 자명하지는 않은데, 교과서에서는 이를 증명 없이 서술한 뒤에 나중에 무리수의 개념을 비순환무한소수로 잡음으로써 이 문제를 아예 회피해 버린다. 혹시 증명을 보고 싶은 사람은 분수 (수학) 항목을 참조하자.

비순환무한소수(순환하지 않는 무한소수)

비순환무한소수(非循環無限小數, nonterminating decimal, nonrepeating decimal)는 유한하지도 않고 순환하지도 않는 소수이다.

참고로 이게 규칙성이 없다는 뜻은 아니다. 0.12345678910111213…… 같은 경우는 규칙성이 눈에 띄지만 순환하지 않는다.

비순환무한소수는 전부 무리수이며, 대표적인 예로 원주율 [math]\displaystyle{ \pi }[/math], 자연상수 [math]\displaystyle{ e }[/math], 그리고 완전제곱수가 아닌 수의 제곱근(예를 들어 [math]\displaystyle{ \sqrt{2} }[/math])이 있다. 이는 유리수를 소수로 나타내면 유한소수 또는 순환소수가 되며 또한 모든 유한소수 및 순환소수는 유리수이기 때문이다. 교과서에서는 무리수의 개념을 비순환무한소수로 잡음으로써 이를 증명하지 않을 뿐더러 이 문제를 아예 회피해 버린다.

순환소수를 분수로 나타내는 방법

순환소수를 분수로 나타내기 위해서는 먼저 그 값을 알아야 한다. 즉 무한급수의 합을 구해야 하는데, 사실 이 과정에서 분수로 구해지므로 별도로 ‘분수로 나타내는 방법’을 알 필요는 전혀 없다. 즉 예를 들어 순환소수 [math]\displaystyle{ 1.\overline{23} }[/math]은 사실 [math]\displaystyle{ 1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{23}{100^n} }[/math]이고, 무한등비급수의 합을 이용하면 [math]\displaystyle{ 1+\tfrac{23/100}{1-1/100}=1+\tfrac{23}{99}=\tfrac{122}{99} }[/math]를 얻는다.

중학교에서는 무한급수를 아직 모르므로 다음과 같은 약간의 편법을 동원한다.

[math]\displaystyle{ \begin{array}{rr} x = & \!\!\!\!1.2323\cdots \\ 100x = & \!\!\!\!123.2323\cdots \end{array} }[/math].
두 식을 빼면, [math]\displaystyle{ 99x=122,\,x=\tfrac{122}{99} }[/math]

아예 이런 계산 자체가 들어가지 않는 편법도 존재한다.

1. 분모에는 소수점 아래에서 순환하는 숫자 개수만큼 9를, 순환하지 않는 숫자 개수만큼 0을 적어넣는다. 달리 말하면 순환마디의 길이만큼 9를, 그 앞의 소수 자릿수만큼 0을 적는다.
2. 분자에는 소수점을 무시하고, “전체수 − 순환하지 않는 부분”을 분자에 넣는다.

[math]\displaystyle{ 1.2\overline{34} }[/math]를 예시하면, 소수점 아래에 순환하는 숫자(34)가 2개, 순환하지 않는 숫자(2)가 1개이므로 분모에 990를 넣고, 분자에는 1234−12=1222를 넣어 [math]\displaystyle{ \tfrac{1222}{990} }[/math]가 답이 된다.

다른 진법

일반적으로 소수라 하면 10진법에서의 소수만을 생각하지만, 다른 진법에서도 소수 표기를 생각할 수 있다.

10진법에서의 소수 [math]\displaystyle{ a_0 . a_1 a_2 a_3 \cdots }[/math] ([math]\displaystyle{ a_0\in\mathbb{Z} }[/math](10진법), [math]\displaystyle{ a_i\in\left\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\right\} \left(i\in\mathbb{N}\right) }[/math])은 사실 다음과 같은 무한급수이다.

[math]\displaystyle{ a_0+\sum_{i=1}^{\infty}\frac{a_i}{10^i} }[/math]

따라서 1보다 큰 정수 n에 대하여 n진법에서의 소수를 다음과 같이 정의할 수 있다.

[math]\displaystyle{ a_0 . a_1 a_2 a_3 \cdots = a_0+\sum_{i=1}^{\infty}\frac{a_i}{n^i} }[/math] ([math]\displaystyle{ a_0\in\mathbb{Z} }[/math](n진법), [math]\displaystyle{ a_i\in\left\{0,1,\cdots,n-1\right\} \left(i\in\mathbb{N}\right) }[/math])

예시로, 2진법의 소수 1.011₍₂₎은 10진법으로는 [math]\displaystyle{ 1.011_{\left(2\right)}=1+\tfrac{0}{2}+\tfrac{1}{2^2}+\tfrac{1}{2^3}=1+0.25+0.125=1.375 }[/math]와 같은 값을 갖게 된다.

또, 3진법의 소수 0.1₍₃₎은 10진법으로는 [math]\displaystyle{ 0.1_{\left(3\right)}=0+\tfrac{1}{3}=0.333\cdots }[/math]와 같이 무한소수가 된다. 반대로 10진법의 소수 0.1은 3진법으로는 [math]\displaystyle{ 0.\overline{0022} }[/math]가 된다. 즉 같은 유리수라도 진법에 따라 유한소수가 되기도 하고 순환소수가 되기도 한다. 정확히 말하면, 어떤 소수를 10진법 기약분수로 나타냈을 때, 분모의 모든 소인수가 기수(base, 그러니까 n진법의 경우는 n)를 나눈다면 유한소수이고, 그렇지 않다면 순환소수이다. 증명은 분수 (수학)을 참조하자.

소수 표기의 존재성과 유일성

분수 1/2를 10진법 소수로 바꾸면 0.5가 되며, 특수한 경우를 제외하면 유일한 표현이라는 사실은 누구나 다 직관적으로 알고 있다. 이러한 소수 표기의 존재성은 유한소수일 때는 소수 표기 자체의 정의에 의해서 보장되지만, 유일성은 당연한 사실이 아니다. 게다가 무한소수로 넘어간다면, 그 "무한한 소수 표기"의 존재성 자체를 직관적으로 알기가 힘들어 지게 된다. 그렇기 때문에 소수 표기, 특히 무한소수의 표기에 대한 좀 더 엄밀하고 직관적인 정의가 필요하게 되며, 이를 해결하기 위해 분수의 성질을 이용할 수 있다.

분수 항목에 나와있듯이, 0에서 1사이의 실수는 분모가 [math]\displaystyle{ b }[/math]의 거듭제곱인 분수의 합으로 유일하게 나타낼 수 있음이 밝혀져 있다. 이 때, 주어진 실수의 [math]\displaystyle{ b }[/math]진법 소수 표현을 분자의 연속적인 나열로 정의한다면 유한소수와 무한소수, 두 경우에 관계없이 소수 표현이 명확하게 정의된다. 더욱이, 해당 항목의 증명을 보면 알겠지만, 이 정의는 분자를 구하는 방법까지 제시하기에 단순한 추상적 개념뿐만 아니라 임의의 기수법의 소수 표현의 구체적인 알고리즘도 같이 제시함을 알 수 있다. 이제 문제가 되는 것은 유일성인데, 분수의 합이 유일하게 나타낼 수 있다는 사실에서 소수 표현의 유일성도 같이 증명이 된다.

0.999...=1

수학계의 영원한 떡밥(?) 결론부터 말하면, 수학적으로 0.999...=1은 참이다. 이걸 잘 이해 못하는 이유는 무한이라는 개념을 직관적으로 이해하기 어렵기 때문. 이에 대한 병림픽을 보고 싶으면 디시위키:0.999....를 참조하자. 수학적으로 엄밀한 증명을 원한다면 단조 수렴 정리의 활용 파트를 참고.