수학

수학의 본질은 그 자유로움에 있다.

(Das Wesen der Mathematik liegt in ihrer Freiheit)

— 게오르그 칸토어

수학(數學, Mathematics)은 , 도형, 집합 등을 다루는 학문이다.

사람이 살아가는데 없어서는 안 될 학문이기도 하다. 보통 고등학교 교과과정에서 배우는 것으로만 보면 엄청 쓸데없어보이지만 공학물리학의 모든 원동력이며, 공학과 물리학이 없으면 현대 문명은 존재하지 않는다. 기본적으로 몇 개의 수학적, 논리적 개념만으로 자연을 설명할 수 있다는 엄청난 저력을 지니고 있으며 문명이 만들어진 이후부터 역사의 위대한 발전에는 어떻게든 기여했던 학문.

1 분야[편집]

  • 대수학
    추상적인 어떤 구조(추상연산구조)를 연구한다. 말 그대로 '연산'이라는 개념을 추상화시켜 더 쉽게 연구하기 위한 학문. 고로 보통 추상연산구조의 연구는 다른 분야에서 나오는 대상들의 정보를 내서 분석하는 데에 쓰인다.
  • 선형대수학
  • 대수기하학
    다항식의 해집합을 연구하는 분야로 시작되었다가 매우 추상적인 것으로 탈바꿈한 분야. 정수론이나 미분기하학 등에 응용되며, 컴퓨터그래픽이나 로봇 연구에도 쓰이는 것으로 알려져 있다.
  • 미분기하학
    굽은 공간들, 즉 다양체를 공부한다.
  • 유클리드 기하학
    유클리드 공간에서의 도형들, 특히 삼각형 등에 집중한다.
  • 정수론
    숫자(정수)와 소수에 대해 탐구한다. 하지만 이게 생각보다 만만치 않은 일이라서 부차적으로 생겼던 매우 복잡한 도구들에 대한 연구들도 정수론이라고 부른다.
  • 조합론
    세는 학문. 현대 추상도구가 난무하는 수학의 세계에서 비교적 "더럽혀지지 않은" 분야로 알려져 있다.
  • 해석학
    미세한 변화에 대해 공부하는 학문이었는데 어째선지 현재 와서는 딱딱하고 엄밀한 기반을 통해 논리를 전개하는 분야.
  • 복소해석학
    복소수에서 정의된 함수들에 대해 공부하는 학문. 실수보다 깔끔하고 기하학적인 이론전개가 일품이다.
  • 다변수복소해석학
    여러 가지 복소수를 변수로 받는 함수들에 대해 공부하는 학문. 매우 어렵다. SCV (Several Complex Variables)라고도 알려져 있다.
  • 함수해석학
    함수 공간을 연구하는 분야. 르베그 공간, 힐베르트 공간, 바나흐 공간이 그 대상들이며 그 공간 내의 여러 작용소에 대하여 학습한다. 측도론등 기본적인 실복소 해석학의 지식을 필요로하는 학문.
  • 푸리에 해석학
    학부 수준에선 리만 적분을 이용한 푸리에 해석이 기본적이지만, 실복소 해석학을 배우게 되면 일반적인 측도 공간에서도 푸리에 해석을 확장할 수 있다는 사실을 알게된다. 그리고 현대의 푸리에 해석은 측도 공간에서 끝나지 않고 위상군(topological group) 이나 비가환군(Non-commutative group)위에서 이론을 전개하는데, 이를 통상 조화 해석학(Harmonic analysis)이라고 부른다.
  • 일반위상
    기하학적 직관을 팬티만 남기고 다 뜯어버린 개념인 위상공간 그 자체에 대한 탐구.
  • 대수위상
    공간의 "구멍"을 호몰로지호모토피등으로 정의하여 이것들의 대수학적인 구조를 연구하는 학문. 정수론, 미분기하, 심지어 조합론 (Kneser Conjecture에 Borsuk-Ulam Theorem을 이용하기도 한다) 등등 응용범위는 광활하다.
  • 기하위상 (혹은 미분위상)
    종종 저차원 다양체의 분류를 연구하는 분야이다.

2 역사[편집]

다른 학문들처럼, 수학은 종종 대가들이 흐름을 주도하여 발전해왔다. 이런 흐름은 특정 분야의 소외나 특정 방법론에 대한 과한 관심을 일으켜왔으나, 결과적으로는 재미있는 문제들의 해결과 다양한 분야들로의 응용을 품으며 움직이게 해주었다.

2.1 서양 수학사 밖의 옛 수학자들[편집]

페르시아의 알쿠아리즈미나 중국, 마야 등의 다양한 수학자들이 몇 가지 수학 문화를 주도해왔으나 안타깝게도 서양수학사에서 이뤄낸 정교하고 복잡다단한 이론의 집합체에는 뒤떨어지게 된다. 물론 20세기부터 중국, 인도, 일본 등에서 다양한 수학자들이 수학에 다시 공헌하기 시작하고 있다.

2.2 유클리드[편집]

기하학의 공리적 접근 시작. 유클리드를 수학사에서 중요하게 다룰 수밖에 없는 이유는 정의, 정리, 공리로 들어가는 논리체계를 명확하게 하였기 때문이다. 예를 들어 삼각형 하면 단순히 개념적으로는 세모 모양의 도형이고, 다양한 설명이 따라나올 수 있지만, "세 직선으로 둘러싸인 도형"이라는 정의를 도입하면 아주 명확한 결론이 도출되고, 이걸 다시 사용해서 다른 내용이 유도되어 따라나오는 구조가 되는 것.

2.3 르네 데카르트[편집]

좌표계를 도입했다. ‘Cartesian’이라는 단어가 데카르트(Descartes)에서 왔다.

2.4 카를 프리드리히 가우스[편집]

Quadratic form [math]\displaystyle{ x_1^2 + \cdots + x_n^2 }[/math] 의 연구에서 class number를 정의하고 quadratic reciprocity law를 발견함으로써 대수적 정수론의 발로를 마련함.

대수학의 기본 정리의 증명을 박사 졸업 논문으로 발표하였음 (현대적 관점으로는 오류를 포함하고 있음)

전자기학의 Gauss 법칙 등을 통하여 벡터 칼큘러스와 전자기학적 수학의 시작.

Gauss-Bonnet 정리 등을 통하여 미분기하학의 초석을 다짐.

2.5 레온하르트 오일러[편집]

[math]\displaystyle{ \sum_{primes} \frac{1}{p} = \infty }[/math]를 증명.

[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6} }[/math] (바젤 문제)를 증명하였다고 생각했지만 사실 이 증명에는 Gap이 존재한다. 현대적인 증명은 푸리에 해석의 Parseval의 정리를 이용하여 증명한다.

[math]\displaystyle{ e^{ix} = \cos x + i\sin x }[/math]을 발견.

오일러 특성 [math]\displaystyle{ \chi }[/math] 발견 (특수경우에, V-E+F=2)으로 대수위상의 발로를 마련.

유체역학의 오일러 방정식을 만듦.

2.6 게오르크 칸토어[편집]

집합론의 시작. 무한의 크기비교를 가능하게 한 이론을 만들었다.

2.7 베른하르트 리만[편집]

"리만 제타 함수 [math]\displaystyle{ \sum \frac1{n^s} }[/math]"가 복소평면 전체에 정의된 meromorphic 함수로 확장될 수 있음을 보이고, 이 함수가 소수의 분포와 관련이 있음을 보였다. 이를 통해 해석적 정수론의 발로를 마련했다.

리만가설 세움. 모두를 농락하게 된다.

가우스가 매우 구체적 대상으로 제시한 곡면의 개념을 추상적으로 고차원으로 확장함으로써 "리만기하학"을 만들고, 이는 다시 아인슈타인에 의해 사용되어 일반상대성 이론의 수학적 초석이 된다.

2.8 앙리 푸앵카레[편집]

푸앵카레 디스크. 음으로 굽은 공간의 모델 제시.

"공간의 구멍 개수"를 추상화한 개념인 호몰로지 (homology)를 정립한 사람 중 하나. 구멍 개수를 구하는 용도로 호모토피 (homotopy)와 기본군을 도입하기도 하였다. 이 개념들은 다양한 분야에 다양하게 적용되게 된다.

푸앙카레 추측을 만든다. 그 후 100년간 수학계를 농락한다.

2.9 다비트 힐베르트[편집]

ramification 이론, hilbert 모듈라 형식, 힐베르트 공간 등 다양한 분야에서 수학에 공헌을 한다.

2.10 하디, 라마누잔[편집]

고드프리 해럴드 하디, 스리니바사 라마누잔

캠브리지 수학자 하디가 발굴한 라마누잔은 많은 괴기한 정수론적 사실들을 발견한다. 하디 그 자신도 종종 리틀우드라는 수학자와의 협업으로 다양한 정수론적 사실들을 발견한다. 그중 하나는, 리만 제타 함수에서 실수부가 1/2인 근이 무한히 많다는 것의 증명이었다.

2.11 쿠르트 괴델[편집]

불완전성 정리.

2.12 앨런 튜링[편집]

튜링머신으로 컴퓨터의 이론적 모델을 최초로 제안한다.

2.13 부르바키[편집]

Bourbaki라는 가명으로 논문들과 책들을 출판한 프랑스의 수학자 집단. 수학 서적들을 딱딱하게 만든 장본인들. 앙드레 베유나 장 피에르 세르와 같은 위대한 수학자들이 몸담은 집단이다.

2.14 스메일, 써스턴, 밀너[편집]

다양체를 분류하는 계획들을 제시하고 이뤄갔다. 써스턴은 푸앙카레 추측을 일반화한 Thurston Geometrization Conjecture를 만들었다. 스메일은 고차원 푸앙카레 추측을 증명하고, 밀너는 Exotic Sphere 등의 제시로 고차원에서는 적당히 변형하면 구와 같지만 부드럽게 변형하면 구와 같아질 수 없는 괴기한 공간을 만들게 된다. 이들의 업적은 3,4차원이 고차원보다 종종 다루기 어렵다는 것을 알게 해준다.

2.15 알렉산더 그로텐디크[편집]

4000페이지가 넘는 Éléments de géométrie algébrique로 현대 대수기하 이론을 만들었다. 이를 통하여 중요한 정수론/대수기하학 문제인 베유 가설의 2번 문제를 풀게 되고, 3번 문제는 그의 이론을 활용하여 제자가 풀게 된다. 페르마의 마지막 정리 역시 그로텐디크의 업적 덕에 증명된다.

2.16 앤드류 와일즈[편집]

페르마의 마지막 정리 증명.

2.17 까르탕, 천, 야우[편집]

현대 미분기하학의 주도자들이었다.

싱 싱 천은 천 클래스의 정의로 벡터 번들 이론에 공헌을 한다.

싱 퉁 야우는 특히 Kahler-Einstein metric 발견으로 끈이론에 큰 공헌을 한다.

2.18 이토 키요시[편집]

확률과정(Stochastic process)과 확률미분방정식(stochastic differential equation) 이론의 창시자이다.

2.19 21세기[편집]

그리고리 페렐만이 푸앙카레의 추측을 증명하고 10억과 필즈상을 거절한다.

그린과 타오가 서로 소인 [math]\displaystyle{ a,b }[/math]에 대하여 수열 [math]\displaystyle{ a, a+b, a+2b, \cdots }[/math]는 무한히 많은 소수를 포함한다는 그린-타오 정리를 증명한다.

짱 이탕이 연속한 소수간 간격이 무한히 멀어지진 않는다는 것을 증명한다.

신이치 모치즈키가 abc 가설을 증명했다고 주장하며 괴기한 Inter-Universal Teichmuller Theory를 만들게 된다. 아직 이 이론을 이해한 사람은 모치즈키 본인뿐인 듯.

3 관련 문서[편집]

4 각주