오일러-마스케로니 상수

오일러-마스케로니 상수(Euler–Mascheroni constant)는 자연로그와 조화급수 사이의 차이로 정의되는 수학 상수이다. 기호로는 [math]\displaystyle{ \gamma }[/math]를 쓴다. 이름은 레온하르트 오일러와 로렌초 마스케로니에서 유래하였다.

이 상수는 '오일러 상수'라고도 하지만 [math]\displaystyle{ e }[/math]와 혼동할 여지가 있다.

정의

[math]\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{x} }[/math]이 주어져 있을 때, 이 함수의 적분과 [math]\displaystyle{ x \in \mathbb{N} }[/math]일 때의 함숫값들의 합을 생각할 수 있다. 둘의 차이는 적분 범위, 합의 범위가 커짐에 따라 특정 값에 수렴하며, 이 값이 오일러-마스케로니 상수이다. 수식으로는

[math]\displaystyle{ \gamma=\lim_{n \to \infty}\left(\sum_{x=1}^n \frac{1}{x} - \int_1^n \frac{1}{x}dx \right)= \int_1^\infty \left(\frac{1}{\lfloor x \rfloor}-\frac{1}{x} \right) \approx 0.57721566490153286060 }[/math]

이다.

이 상수가 무리수인지 여부는 아직 밝혀지지 않았다.

다른 적분식 표현

감마함수와 접점이 있다. 감마함수를 나타내는 식 [math]\displaystyle{ \Gamma(z)=\lim_{n \to \infty} \frac{n^z n!}{\prod_{k=0}^n (z+k)} }[/math]을 이용해 디감마함수를 구하면

[math]\displaystyle{ \Psi(z)=(\ln \Gamma(z))'=\frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)} }[/math]

[math]\displaystyle{ \ln \Gamma(z) = \lim_{n \to \infty} \left(z\ln n+\ln n! -\sum_{k=0}^n \ln(z+k) \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \Psi(z)=\lim_{n \to \infty} \left(\ln n -\sum_{k=0}^n \frac{1}{z+k} \right) }[/math]

여기서 [math]\displaystyle{ z=1 }[/math]을 대입하면

[math]\displaystyle{ \begin{align}\Psi(1)=\Gamma'(1)= & \lim_{n \to \infty} \left(\ln n -\sum_{k=0}^n \frac{1}{1+k} \right) \\ =& \lim_{n \to \infty} \left(\ln n -\sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k} \right) \\ =& -\gamma -\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} =-\gamma \end{align} }[/math]

임을 알 수 있다.

한편 감마함수의 정의 [math]\displaystyle{ \Gamma(x)=\int_0^\infty t^{x-1} e^{-t} dt }[/math]를 미분하고 [math]\displaystyle{ x=1 }[/math]을 대입하면

[math]\displaystyle{ \Gamma'(1)=\int_0^\infty e^{-t}\ln t\ dt, \gamma=-\int_0^\infty e^{-t}\ln t\ dt }[/math]

를 이끌어낼 수 있다.

• [math]\displaystyle{ e^{-t}=x }[/math]로 치환하면 [math]\displaystyle{ \gamma=-\int_0^1 \ln \ln \frac{1}{x}\ dx }[/math]
• [math]\displaystyle{ t=e^x }[/math]으로 치환하면 [math]\displaystyle{ \gamma=-\int_{-\infty}^\infty x e^{x-e^x}\ dx }[/math]