부족수

부족수(Deficient number)는 자기 자신을 제외한 약수의 합이 원래 수보다 작은 수를 말한다.

수식 표현

[math]\displaystyle{ n=\prod p_k^{e_k} }[/math]과 같이 소인수분해 될 때, 정의는 아래와 같이 쓸 수 있다. [math]\displaystyle{ \sigma(n) }[/math]은 약수함수이다.

• [math]\displaystyle{ \sigma(n)\lt 2n }[/math]: 자기 자신을 포함한 약수의 합이 원래 수의 두 배보다 작다.
• [math]\displaystyle{ \frac{\sigma(n)}{n}=\sigma_{-1}(n)=\sum_{m \mid n}\frac{1}{m}=\prod \left(\sum_{i=0}^{e_k}p_k^{-i}\right)=\prod \frac{1-p_k^{-(e_k+1)}}{1-p_k^{-1}}\lt 2 }[/math]

부족수의 예

• 소인수가 전혀 없는 1은 부족수이다.
• 소수 및 소수의 거듭제곱은 부족수이다.
  • 증명: 자연수의 소인수가 하나뿐이면 [math]\displaystyle{ \sigma_{-1}(n)=\sum_{i=0}^{e}p^{-i}=\frac{1-p^{-(e+1)}}{1-p}\lt \frac{1}{1-p} }[/math]이다. 이때 [math]\displaystyle{ p \geq 2 }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ \sigma_{-1}(n)\lt \frac{1}{1-(1/2)}=2 }[/math]로 부족수가 된다.
• 두 소수의 곱은 6을 제외하고 모두 부족수이다.
  • 증명: 두 소수가 같으면 바로 위 명제에 해당한다. [math]\displaystyle{ n=pq, q\gt p, q \geq 5 }[/math]라 할 때, [math]\displaystyle{ \sigma_{-1}(n)=\frac{p+1}{p} \cdot \frac{q+1}{q} }[/math]이다. 이때 [math]\displaystyle{ \frac{p+1}{p} \leq \frac{3}{2}, \frac{q+1}{q} \leq \frac{6}{5} }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ \sigma_{-1}(n) \leq \frac{9}{5}\lt 2 }[/math]이다.
• 어떤 수가 부족수이거나 완전수이면 그 수의 약수도 부족수이다.
  • 증명: [math]\displaystyle{ n=\prod p_k^{e_k}, n'=\prod p_k^{d_k}, n' \mid n }[/math]이라 할 때, 각 소인수에 대해 [math]\displaystyle{ d_k \leq e_k, \frac{1-p^{-(d_k+1)}}{1-p^{-1}} \leq \frac{1-p^{-(e_k+1)}}{1-p^{-1}} }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ \sigma_{-1}(n') \leq \sigma_{-1}(n) \leq 2 }[/math]이다. 특히 [math]\displaystyle{ n' }[/math]이 진약수이면 [math]\displaystyle{ \sigma_{-1}(n')\lt 2 }[/math]임을 알 수 있다.
• 소인수가 둘 뿐인 홀수는 모두 부족수이다.
  • [math]\displaystyle{ n=p^d q^e, 3 \leq p\lt q }[/math]라 할 때, 둘째 항목과 같은 방법으로 [math]\displaystyle{ \sigma_{-1}(n)\lt \frac{15}{8} }[/math]를 이끌어낼 수 있다.
• 6과 서로소이고 소인수가 6개 이하인 수는 모두 부족수이다.

근완전수

근완전수(Almost perfect number)는 부족수의 특수한 경우로, 진약수의 합이 원래 수에서 1만큼 부족한 수를 말한다. 즉 [math]\displaystyle{ \sigma(n)=2n-1, \sigma(n)-n=n-1 }[/math]인 경우이다.

1을 포함한 2의 거듭제곱은 모두 근완전수이다. [math]\displaystyle{ n=2^k \ (k \geq 0) }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \sigma(n)-n=2^k-1 }[/math]

실제로 모든 근완전수가 2의 거듭제곱 형태인지, 1을 제외한 홀수 근완전수가 존재하는지는 명확히 밝혀지지 않았다.

같이 보기

• 완전수
• 과잉수