집합


집합(Set)은 대상들을 모아 놓은 것을 말한다. 물론 이는 순진한 집합론에서의 이야기이고, 공리적 집합론에서는 러셀의 역설을 피하기 위하여 여러 공리들을 세워 놓았다.

1 순진한 집합론[편집]

1.1 정의[편집]

순진한 집합론(naive set theory)에서는 칸토어가 처음 정의한 대로, 잘 정의된 수학적 대상을 모아놓은 것[1]집합(set)이라고 하며, 이때 집합의 구성 요소를 원소(element)라고 한다. 만약 a가 집합 A의 원소라면,

[math]\displaystyle{ a\in A }[/math]

로 표기한다. 만약 a가 집합 A의 원소가 아니라면,

[math]\displaystyle{ a\not\in A }[/math]

로 표기한다. 만약 집합 AB의 원소가 동일하다면 AB는 같다고 하고(공리적 집합론에서도 대부분 이를 공리로 받아들인다. 이를 확장 공리라 한다.),

[math]\displaystyle{ A=B }[/math]

로 표기한다. 만약 A의 임의의 원소가 B의 원소라면, AB의 부분집합(subset)이라고 하고,

[math]\displaystyle{ A\subseteq(\textrm{or }\subset) B }[/math]

로 표기한다.

집합 AB가 주어졌을 때, AB에 공통으로 속해 있는 원소를 모두 모은 집합을 AB교집합(intersection)이라고 하며, AB로 표기한다. 즉,

[math]\displaystyle{ A\cap B=\{x:x\in A\wedge x\in B \} }[/math]

한편, A 또는 B에 포함되어 있는 원소를 모두 모은 집합을 AB의 합집합(union)이라 하며, AB로 표기한다. 즉,

[math]\displaystyle{ A\cup B=\{x: x\in A \vee x\in B \} }[/math]

A에 포함되어 있는 원소들 중에 B의 원소가 아닌 것들을 모두 모은 집합을 A에 대한 B차집합이라 하고, [math]\displaystyle{ A\setminus B }[/math]로 나타낸다. 즉,

[math]\displaystyle{ A\setminus B=\{x:x\in A\wedge \neg x\in B\}. }[/math]

1.2 기본연산[편집]

[math]\displaystyle{ A\cap B=B\cap A }[/math]
[math]\displaystyle{ A\cup B=B\cup A }[/math]
[math]\displaystyle{ (A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C) }[/math]
[math]\displaystyle{ (A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C) }[/math]
[math]\displaystyle{ A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C) }[/math]
[math]\displaystyle{ A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C) }[/math]
[math]\displaystyle{ C\setminus (A\cap B)=(C\setminus A)\cup (C\setminus B) }[/math]
[math]\displaystyle{ C\setminus (A\cup B)=(C\setminus A)\cap (C\setminus B) }[/math]

1.3 역설[편집]

이발사: 나는 스스로 이발하지 않는 사람의 머리만 깎아줄 거야. 그런데 내 머리는...?

왜 이론 앞에 모자랄 정도로 순진해 빠졌다(naive)라는 단어가 붙었는지 궁금할 것이다. 칸토어는 왜 비참하게 죽었을까? 매우 직관적이고 자연스러우며 '완벽'해보이는 집합의 개념과 논리체계를 자세히 살펴보면 사실 허점 투성이라는 것, 그리고 심지어 그 헛점을 매우려는 노력 자체가 이루어지기 어렵다는 것이 20세기 초에 걸쳐서 밝혀졌다. 이는 주로 자기자신을 대상으로 가리키는 논리를 생각해볼 때 나타나는 문제점들이다. 그 중 대표적인 예로 러셀의 역설이 있다.

집합 [math]\displaystyle{ R }[/math]를 자기 자신을 포함하지 않는 집합의 모임으로 정의하자. 즉,

[math]\displaystyle{ R=\{x: x\not\in x\} }[/math]

이다. 그러면 [math]\displaystyle{ R }[/math][math]\displaystyle{ R }[/math]의 원소일까? [math]\displaystyle{ R\in R }[/math]라고 가정하자. 그러면 [math]\displaystyle{ R }[/math]의 정의에 의해 [math]\displaystyle{ R\not\in R }[/math]이므로 모순이다. 만약 [math]\displaystyle{ R\not\in R }[/math]이면 [math]\displaystyle{ R\in R }[/math]이므로 모순이다.

왜 이런 모순이 생겨났을까-하고 보아 하니, 원래 [math]\displaystyle{ R }[/math]이란 건 집합으로서 존재하면 안 됐던 것이다. 즉 자신을 포함하지 않는 집합의 모임집합이 아니다. 칸토르가 집합이라는데요? 또한 모든 집합의 모임과 같은 것도 집합이 아님을 쉽게 보일 수 있다. 즉, 너무 커서 집합이 아닌 것을 집합으로 취급하니 모순이 생긴 것이므로, 그를 방지하기 위하여 무엇이 집합인가를 정의하는 공리적 집합론이 탄생하게 된다.

1.4 공리적 집합론[편집]

자주 쓰이는 집합론의 공리계로는 체르멜로-프렝켈 집합론(선택 공리(AC)의 포함 여부에 따라 ZF, ZFC로 나뉜다.)과 폰 노이만-버나이즈-괴델 집합론이 있다. 이 둘의 결정적인 차이는, 무엇을 무정의로 하느냐이다. ZF의 경우에는 집합을, NBG의 경우에는 모임(class)을 무정의로 한다.

물론 이 공리계들에는 러셀의 역설을 막을 공리들이 있다. 예를 들면 ZF에서는 정칙성 공리분류 공리꼴이 러셀의 역설을 막는다.

2 표현[편집]

집합을 표현하는 방법에는 여러 가지가 있지만, 이 문서에서는 세 가지만 소개하기로 한다. 먼저 집합을 논리식을 이용하여 표현하는 방법인 조건제시법이 있다:

[math]\displaystyle{ A=\{x:p\}. }[/math]

또, (모든 원소를 표현할 수 있을 때,) 원소로써 그 집합을 나타내는 원소나열법이 있다:

[math]\displaystyle{ A=\{a_1, a_2, \cdots, a_n, \cdots \}. }[/math]

식이 아닌 다른 방법으로도 집합을 나타낼 수 있다. 가장 대표적인 방법이 벤 다이어그램.

3 집합의 확장[편집]

4 각주

  1. 이 글에서 모임은 collection과 class 두 가지가 있다. 전자는 단순히 모아놓았다는 것을 표현하는 단어이며, 후자는 (예전엔 유(類)라고도 불렀던, 집합이 되기엔 크기가 너무 큰) 수학적 개념을 말한다.