교환법칙(commutative law)은 두 대상을 연산할 때 연산하는 순서가 관계없음을 말한다. 즉, a+b=b+a인 연산 +은 교환법칙을 만족하며, 교환법칙을 만족하는 연산이나 대수적 구조를 가환(commutative)이라 한다. 가환인 연산은 보통 덧셈(+)으로 표기한다[1]. 가환이 아니면 가환이 아니다(noncommutative)라고 한다. 또한 두 대상을 교환하였을 때 부호가 바뀐다면 비가환(anticommutative)이라 한다.
정의[편집 | 원본 편집]
가환이란 다음의 상황 중 하나를 말하는데, 공통적으로 어느 두 대상을 교환해도 그대로인 것을 말한다:
- 어떤 이항연산 [math]\displaystyle{ + }[/math]가 집합 [math]\displaystyle{ S }[/math]의 임의의 원소 [math]\displaystyle{ a, b }[/math]에 대하여 [math]\displaystyle{ a+b = b+a }[/math]이면 [math]\displaystyle{ + }[/math]는 [math]\displaystyle{ S }[/math]에서 가환이다.
- [math]\displaystyle{ x+y=y+x }[/math]이면 [math]\displaystyle{ x }[/math]는 [math]\displaystyle{ y }[/math]와 [math]\displaystyle{ + }[/math]에서 가환이다.
- 특정한 연산이 가환인 대수적 구조를 가환이라고 한다. 예를 들면, 연산이 가환인 군을 가환군(또는 아벨군), 두 연산이 모두 가환인 환을 가환환이라 한다.
- 이변수함수 [math]\displaystyle{ f:A^2\to B }[/math]이 [math]\displaystyle{ \forall x,y\in A[f(x,y)=f(y,x)] }[/math]이면 [math]\displaystyle{ f }[/math]는 가환이다.
비가환이란 위와 비슷하게, 두 대상을 바꾸었을 때 부호만 바뀌는 상황을 이야기한다. 비가환인 연산을 조금 더 형식적으로 정의하자면, 집합 [math]\displaystyle{ A }[/math]와 [math]\displaystyle{ G }[/math], 연산 [math]\displaystyle{ \circ: A^n \to G }[/math]를 생각하자. [math]\displaystyle{ A^n }[/math]의 임의의 원소 [math]\displaystyle{ \mathbf x = (x_1, \cdots, x_n) }[/math]에 대하여
- [math]\displaystyle{ x_1 \circ \cdots \circ x_n = \operatorname{sgn}(\sigma) [x_{\sigma(1)}\circ\cdots\circ x_{\sigma(n)}] }[/math]
([math]\displaystyle{ \sigma }[/math]는 [math]\displaystyle{ \{1, \cdots, n\} }[/math]에서 정의된 임의의 치환)이면 연산 [math]\displaystyle{ \circ }[/math]를 비가환이라 한다. 즉 짝수-번 교환되었으면(짝치환) 양의 부호를, 홀수-번 교환되었으면(홀치환) 음의 부호를 갖는 연산을 말한다.
예시[편집 | 원본 편집]
가환인 연산[편집 | 원본 편집]
- 복소수 집합에서 정의된 덧셈과 곱셈은 가환이다.
- 벡터공간의 덧셈 연산은 가환이다.
- [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math]위에서의 내적공간의 내적 연산은 가환이다.
- 거리공간의 거리함수는 두 점에 대하여 가환이다.
- 몇몇 논리 연산자들은 가환이다. 예를 들어,
- OR 연산자: [math]\displaystyle{ \phi \vee \psi \Leftrightarrow \psi \vee \phi, }[/math]
- AND 연산자: [math]\displaystyle{ \phi \wedge \psi \Leftrightarrow \psi \wedge \phi, }[/math]
- XOR 연산자(배타적 논리합): [math]\displaystyle{ \phi \oplus \psi \Leftrightarrow \psi \oplus \phi, }[/math]
- 함의 (충분조건, implies, [math]\displaystyle{ \rightarrow }[/math]): [math]\displaystyle{ (p \rightarrow (q\rightarrow r))\Leftrightarrow (q\rightarrow(p\rightarrow r)), }[/math]
- 동치 (필요충분조건, equivalence): [math]\displaystyle{ \phi\leftrightarrow \psi \Leftrightarrow \psi\leftrightarrow \phi. }[/math]
비가환인 연산[편집 | 원본 편집]
- 함수의 합성, 행렬의 곱셈은 비가환이다.
- 복소수 집합에서 정의된 뺄셈은 비가환이다.
- 3차원 (유클리드) 공간에서 정의된 외적은 비가환이다.
- 리 대수와 리 환에서 정의된 리 브래킷은 비가환이다.