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:<math>\exists p(x)=a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \cdots + a_1 x + a_0\in \mathbb Q[x] \textrm{ s.t. } p(z) = 0.</math> | :<math>\exists p(x)=a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \cdots + a_1 x + a_0\in \mathbb Q[x] \textrm{ s.t. } p(z) = 0.</math> | ||
먼저 모든 유리수는 대수적 수임을 쉽게 알 수 있다. 또한 어떤 유리수의 [[제곱근|거듭제곱근]] 꼴의 수 역시 대수적 수이다 - 이 수가 허수여도 상관없다. 또한 모든 [[작도 가능한 수]]는 대수적 수이다. | 먼저 모든 유리수는 대수적 수임을 쉽게 알 수 있다. 또한 어떤 유리수의 [[제곱근|거듭제곱근]] 꼴의 수 역시 대수적 수이다 - 이 수가 허수여도 상관없다. 또한 모든 [[작도 가능한 수]]는 대수적 수이다. | ||
대수적 수의 [[ | 대수적 수의 [[집합]]은 [[가산집합]]이다. 대수적 수는 유리 계수 다항식의 근이기 때문에 유리 계수 다항식의 집합이 유리수 집합과 [[기수]](cardinal)가 같음에서<ref>기수가 무한일 때 성립한다. 먼저 어떤 무한집합 <math>S</math>의 유한 [[수열]]의 집합 <math>\mathcal S_\mathrm F</math>을 생각하면 [[단사함수]] <math>f:S[x]\rightarrow\mathcal S_\mathrm F</math>가 존재함을 알 수 있다. 또한, <math>\mathcal S_\mathrm F</math>은 <math>S</math>의 가산 합이므로 <math>S</math>와 기수가 같고, 즉 [[전단사]]가 존재한다. 따라서 우리는 <math>S[x]\to S</math>인 단사함수가 있음을 안다. <math>S\to S[x]</math>인 단사가 존재하는 것은 매우 자명하므로 [[칸토르-베른슈타인-슈뢰더 정리]]에 의하여 <math>S</math>와 <math>S[x]</math> 사이에는 전단사가 존재하고, 즉 기수가 같다.</ref> 대수적 수의 집합은 가산임을 알 수 있다.<ref>가산 개의 유한집합을 합해도 가산이기 때문.</ref> | ||
대수적 수가 아닌 [[복소수]]를 [[초월수]]라 한다. 대수적 수의 집합은 [[가산 집합]]인 반면 복소수의 집합은 [[비가산 집합]]이므로, 대수적 수보다 초월수가 더 많다. 또한 [[초초월수]](hypertranscendental number)라는 것도 있는데, 이는 정수 계수의 대수적인 미분 방정식(초기 조건 역시 대수적이다.)의 해인 함수의 대수적 수에서의 함숫값이 아닌 복소수를 이른다. | 대수적 수가 아닌 [[복소수]]를 [[초월수]]라 한다. 대수적 수의 집합은 [[가산 집합]]인 반면 복소수의 집합은 [[비가산 집합]]이므로, 대수적 수보다 초월수가 더 많다. 또한 [[초초월수]](hypertranscendental number)라는 것도 있는데, 이는 정수 계수의 대수적인 미분 방정식(초기 조건 역시 대수적이다.)의 해인 함수의 대수적 수에서의 함숫값이 아닌 복소수를 이른다. | ||
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* 대수적 수는 [[환 (수학)|환]]이면서 [[곱셈]]에 대한 [[교환법칙]]이 성립하고 [[0]]이 아닌 대수적 수에 대하여 곱셈에 대한 [[역원]]이 존재하므로 [[체 (수학)|체]]를 이룬다. 또한 대수적 수는 [[유리수]] 집합을 포함한 가장 작은 [[대수적으로 닫힌 체]]이다 - 대수적 수는 유리수의 [[대수적 닫힘]]이다. | * 대수적 수는 [[환 (수학)|환]]이면서 [[곱셈]]에 대한 [[교환법칙]]이 성립하고 [[0]]이 아닌 대수적 수에 대하여 곱셈에 대한 [[역원]]이 존재하므로 [[체 (수학)|체]]를 이룬다. 또한 대수적 수는 [[유리수]] 집합을 포함한 가장 작은 [[대수적으로 닫힌 체]]이다 - 대수적 수는 유리수의 [[대수적 닫힘]]이다. | ||
* 주어진 대수적 수에 대하여 그 수를 근으로 하는 [[최고차항의 계수가 1인 다항식|최고차항의 계수가 1인]] 최소 차수의 다항식은 유일한데, 이를 [[최소다항식]]이라 한다. 대수적 수의 차수는 그의 최소다항식의 차수를 말한다. 예를 들어 유리수 집합은 차수 1의 대수적 수의 집합이다. | * 주어진 대수적 수에 대하여 그 수를 근으로 하는 [[최고차항의 계수가 1인 다항식|최고차항의 계수가 1인]] 최소 차수의 다항식은 유일한데, 이를 [[최소다항식]]이라 한다. 대수적 수의 차수는 그의 최소다항식의 차수를 말한다. 예를 들어 유리수 집합은 차수 1의 대수적 수의 집합이다. | ||
* 실-대수적 수(대수적인 실수) 집합은 전순서집합이고 가산이며 조밀(dense)한 순서를 가지므로 이는 유리수 집합과 [[순서동형]]이다. | * 실-대수적 수(대수적인 실수) 집합은 전순서집합이고 가산이며 조밀(dense)한 순서를 가지므로 이는 유리수 집합과 [[순서동형]]이다. | ||
* 실수 <math>u,v</math>에 대하여 <math>u+iv</math>가 대수적임과 <math>u, v</math>가 대수적임은 필요충분조건이다.<ref>Niven 1956, Corollary 7.3.</ref> | * 실수 <math>u,v</math>에 대하여 <math>u+iv</math>가 대수적임과 <math>u, v</math>가 대수적임은 필요충분조건이다.<ref>Niven 1956, Corollary 7.3.</ref> | ||
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2021년 6월 19일 (토) 23:32 기준 최신판
개요[편집 | 원본 편집]
대수적 수(代數的 數, algebraic number)는 정수 계수 또는 유리 계수[1] 다항식의 해가 되는 복소수를 말한다. 즉 다음을 만족하는 복소수 [math]\displaystyle{ z }[/math]를 대수적 수라고 한다:
- [math]\displaystyle{ \exists p(x)=a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \cdots + a_1 x + a_0\in \mathbb Q[x] \textrm{ s.t. } p(z) = 0. }[/math]
먼저 모든 유리수는 대수적 수임을 쉽게 알 수 있다. 또한 어떤 유리수의 거듭제곱근 꼴의 수 역시 대수적 수이다 - 이 수가 허수여도 상관없다. 또한 모든 작도 가능한 수는 대수적 수이다.
대수적 수의 집합은 가산집합이다. 대수적 수는 유리 계수 다항식의 근이기 때문에 유리 계수 다항식의 집합이 유리수 집합과 기수(cardinal)가 같음에서[2] 대수적 수의 집합은 가산임을 알 수 있다.[3]
대수적 수가 아닌 복소수를 초월수라 한다. 대수적 수의 집합은 가산 집합인 반면 복소수의 집합은 비가산 집합이므로, 대수적 수보다 초월수가 더 많다. 또한 초초월수(hypertranscendental number)라는 것도 있는데, 이는 정수 계수의 대수적인 미분 방정식(초기 조건 역시 대수적이다.)의 해인 함수의 대수적 수에서의 함숫값이 아닌 복소수를 이른다.
성질[편집 | 원본 편집]
- 대수적 수의 집합은 가산이다. 따라서 대수적 수의 집합은 (복소수 전체의 집합에 대해) 르베그 측도 0을 가진다. 즉 거의 대부분의 복소수는 초월수이다.
- 대수적 수는 환이면서 곱셈에 대한 교환법칙이 성립하고 0이 아닌 대수적 수에 대하여 곱셈에 대한 역원이 존재하므로 체를 이룬다. 또한 대수적 수는 유리수 집합을 포함한 가장 작은 대수적으로 닫힌 체이다 - 대수적 수는 유리수의 대수적 닫힘이다.
- 주어진 대수적 수에 대하여 그 수를 근으로 하는 최고차항의 계수가 1인 최소 차수의 다항식은 유일한데, 이를 최소다항식이라 한다. 대수적 수의 차수는 그의 최소다항식의 차수를 말한다. 예를 들어 유리수 집합은 차수 1의 대수적 수의 집합이다.
- 실-대수적 수(대수적인 실수) 집합은 전순서집합이고 가산이며 조밀(dense)한 순서를 가지므로 이는 유리수 집합과 순서동형이다.
- 실수 [math]\displaystyle{ u,v }[/math]에 대하여 [math]\displaystyle{ u+iv }[/math]가 대수적임과 [math]\displaystyle{ u, v }[/math]가 대수적임은 필요충분조건이다.[4]
각주
- ↑ 무엇을 택해도 같다. 계수의 분모의 최소공배수를 곱하면 되기 때문.
- ↑ 기수가 무한일 때 성립한다. 먼저 어떤 무한집합 [math]\displaystyle{ S }[/math]의 유한 수열의 집합 [math]\displaystyle{ \mathcal S_\mathrm F }[/math]을 생각하면 단사함수 [math]\displaystyle{ f:S[x]\rightarrow\mathcal S_\mathrm F }[/math]가 존재함을 알 수 있다. 또한, [math]\displaystyle{ \mathcal S_\mathrm F }[/math]은 [math]\displaystyle{ S }[/math]의 가산 합이므로 [math]\displaystyle{ S }[/math]와 기수가 같고, 즉 전단사가 존재한다. 따라서 우리는 [math]\displaystyle{ S[x]\to S }[/math]인 단사함수가 있음을 안다. [math]\displaystyle{ S\to S[x] }[/math]인 단사가 존재하는 것은 매우 자명하므로 칸토르-베른슈타인-슈뢰더 정리에 의하여 [math]\displaystyle{ S }[/math]와 [math]\displaystyle{ S[x] }[/math] 사이에는 전단사가 존재하고, 즉 기수가 같다.
- ↑ 가산 개의 유한집합을 합해도 가산이기 때문.
- ↑ Niven 1956, Corollary 7.3.
| 수의 종류 | |
|---|---|
| 수학 상수 | |
| 자연수 및 정수 | |
| 유리수 및 실수 | |
| 복소수 및 확장 | |