기약분수

Irreducible Fraction / 旣約分數

정의

분수 a/b의 형태에서 a와 b가 서로소인 분수를 의미한다. 다르게 말하면 분모와 분자가 서로소인 분수인 셈. 서로소는 실질적으로 정수에서만 정의되기 때문에 아래 내용은 분자, 분모가 모두 정수인 경우이다.

존재성과 유일성

존재성

유리수의 정의를 보면 알겠지만, 임의의 유리수는 분수이다. 정수의 집합은 주 아이디얼 정역이므로 최대공약수의 존재성이 보장되고, 분자·분모를 최대공약수로 나눠주면, 남은 두 수는 반드시 서로소이다. 즉, 임의의 유리수는 기약분수로 나타낼 수 있다.

유일성

임의의 유리수 [math]\displaystyle{ r }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ r=\frac{a}{b}=\frac{p}{q} }[/math]라 하자. 여기서 [math]\displaystyle{ \gcd\left(a,b\right)=\gcd\left(p,q\right)=1 }[/math]이다. 위 식을 정리하면 [math]\displaystyle{ aq=bp }[/math]이고, 여기서 [math]\displaystyle{ a\mid bp }[/math]를 얻는다. 그런데 [math]\displaystyle{ \gcd\left(a,b\right)=1 }[/math]이므로, [math]\displaystyle{ a\mid p }[/math]이다. 또한, [math]\displaystyle{ p\mid aq }[/math]이고 [math]\displaystyle{ \gcd\left(p,q\right)=1 }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ p\mid a }[/math]이다. 따라서, [math]\displaystyle{ p=a }[/math]이고, 곧 [math]\displaystyle{ b=q }[/math]이다. 따라서, 유리수의 기약분수 표기는 유일하다.

성질

• 일반적인 분수는 모두 약분을 통해 기약분수로 만들 수 있다.
• 분모와 분자가 서로소이기 때문에 더 이상의 약분은 불가능하다.
• 모든 유리수는 이 기약분수의 형태로 나타낼 수 있다.