페르마 수

정의

페르마 수(Fermat number)는

[math]\displaystyle{ F_n = 2^{2^n}+1\quad (n\ge 0) }[/math]

꼴인 정수를 뜻한다.

성질

• [math]\displaystyle{ F_0F_1F_2\cdots F_{n-1}=F_n - 2 }[/math]
• 서로 다른 정수 [math]\displaystyle{ m,n }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ (F_m,F_n)=1 }[/math]이다.

페르마 소수

페르마 소수(Fermat prime)는 페르마 수 중 소수인 수를 말한다. 피에르 드 페르마는

“

모든 페르마 수는 소수이다.

“

라는 추측을 제시했다. 실제로 처음 다섯 페르마 수

[math]\displaystyle{ F_0=2^0+1=3 }[/math]

[math]\displaystyle{ F_1=2^2+1=5 }[/math]

[math]\displaystyle{ F_2=2^4+1=17 }[/math]

[math]\displaystyle{ F_3=2^8+1=257 }[/math]

[math]\displaystyle{ F_4=2^{16}+1=65537 }[/math]

는 모두 소수이다. 그러나

[math]\displaystyle{ F_5=2^{32}+1=4294967297=641\cdot 6700417 }[/math]

임을 레온하르트 오일러가 1732년에 발견해 참이 아닌 것으로 밝혀졌다. 이후 [math]\displaystyle{ F_4 }[/math]보다 큰 페르마 소수는 2018년 현재 발견되지 않았다.

[math]\displaystyle{ F_6=2^{64}+1=274177\cdot 67280421310721 }[/math]

[math]\displaystyle{ F_7=2^{128}+1=59649589127497217\cdot 57046889200685129054721 }[/math]

같이 보기

• 메르센 소수

외부 링크

• Distributed Search for Fermat Number Divisors