메르센 소수

정의[편집 | 원본 편집]

메르센 수(Mersenne number)는 [math]\displaystyle{ \displaystyle 2^n-1\; (n\ge 2) }[/math] 꼴로 표현되는 정수를 의미한다. 메르센 소수(Mersenne prime)는 메르센 수 중 소수인 수이다. 즉, 양의 정수 [math]\displaystyle{ \displaystyle n }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \displaystyle M_n=2^n-1\;(n\ge 2) }[/math]가 소수이면 [math]\displaystyle{ \displaystyle M_n }[/math]를 메르센 소수라고 한다. 메르센 소수라는 이름은 프랑스의 수학자인 마랭 메르센(Marin Mersenne)에게서 따온 것이다.

처음 10개 메르센 소수의 값은 아래와 같다.

3, 7, 31, 127, 8191, 131071, 524287, 2147483647, 2305843009213693951, 618970019642690137449562111, …

성질[편집 | 원본 편집]

메르센 수는 [math]\displaystyle{ \displaystyle M_n= 2^{n-1}+2^{n-2}+\cdots+2+1 }[/math] 꼴로 나타낼 수 있으므로 111…11₍₂₎과 같이 써지며, 1이 [math]\displaystyle{ n }[/math]개 들어간다. 즉 이진법 표현 시 모든 자리수가 1로 표시되므로 메르센 소수는 이진법 단위 반복 소수이다.

기본 성질[편집 | 원본 편집]

메르센 수 [math]\displaystyle{ \displaystyle M_n=2^n-1 }[/math]이 소수면 [math]\displaystyle{ \displaystyle n }[/math]도 소수이다.
- 증명 ①: [math]\displaystyle{ \displaystyle n }[/math]이 소수가 아니라면, [math]\displaystyle{ \displaystyle 1\lt a\lt n }[/math]인 [math]\displaystyle{ \displaystyle n }[/math]의 약수 [math]\displaystyle{ \displaystyle a }[/math]가 존재한다. 그럼, [math]\displaystyle{ \displaystyle n\equiv 0\pmod a }[/math]이고, [math]\displaystyle{ \displaystyle 2^n-1\equiv2^0-1\pmod{2^a-1} }[/math]임을 유클리드 호제법을 사용해 보일 수 있다. 따라서, [math]\displaystyle{ \displaystyle 2^a-1\mid2^n-1 }[/math]이고, [math]\displaystyle{ \displaystyle M_n }[/math]은 소수가 아니다.
- 증명 ②: [math]\displaystyle{ \displaystyle n }[/math]이 합성수이면, [math]\displaystyle{ \displaystyle n=ab,\ 1\lt a,b\lt n }[/math]인 약수 [math]\displaystyle{ a, b }[/math]가 존재한다. [math]\displaystyle{ \displaystyle 2^a=x }[/math]로 치환하면 [math]\displaystyle{ \displaystyle x\ge 4, M_n = 2^{ab}-1 = x^b-1 = (x-1)(x^{b-1} + x^{b-2} +\cdots+ x+1) }[/math]과 같이 쓸 수 있다. 따라서 [math]\displaystyle{ x-1 \mid M_n }[/math]이다. 이때 [math]\displaystyle{ \displaystyle 3 \le x-1 \lt M_n }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ M_n }[/math]은 합성수가 된다.
- 두 증명은 표현 방식만 다를 뿐 접근 방법은 같다. 메르센 수는 주로 소수 찾기 및 탐구에 중점을 두며, 지수가 합성수인 수는 보통 관심의 대상이 아니다.
- 위 명제의 역은 성립하지 않는다. 즉 지수가 소수라고 해서 해당 메르센 수는 소수라고 할 수 없다. 가령 11은 소수이지만 [math]\displaystyle{ M_{11}=2047= 23\cdot 89 }[/math]로 반례가 존재한다. 사실 [math]\displaystyle{ p }[/math]가 소수이지만 [math]\displaystyle{ M_p }[/math]는 합성수인 예가 메르센 소수인 경우보다 훨씬 많으며, 수가 커질수록 메르센 소수 찾기란 하늘의 별 따기다.
[math]\displaystyle{ n }[/math]이 3 이상의 홀수일 때, [math]\displaystyle{ M_n }[/math]을 120으로 나눈 나머지는 7 또는 31이다.
- 증명: [math]\displaystyle{ \displaystyle 2^7\equiv 2^3 \pmod{120} }[/math]이므로 임의의 자연수 [math]\displaystyle{ k }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \displaystyle 2^{4k+3}\equiv 8 \pmod{120},\ 2^{4k+5}\equiv 32 \pmod{120} }[/math]가 성립한다. [math]\displaystyle{ n \equiv 3 \pmod 4 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \displaystyle 2^n \equiv 8 \pmod{120} \Leftrightarrow M_n \equiv 7 \pmod{120} }[/math]가 성립하고, [math]\displaystyle{ n \equiv 1 \pmod 4,\ n \ge 5 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \displaystyle 2^n \equiv 32 \pmod{120} \Leftrightarrow M_n \equiv 31 \pmod{120} }[/math]임을 알 수 있다.
- 따라서 지수가 3 이상인 메르센 소수를 십진법으로 쓰면 일의 자리수는 1또는 7이다.
서로 다른 소수 [math]\displaystyle{ p,q }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ M_p,M_q }[/math]는 서로소이다.
- 증명: [math]\displaystyle{ \displaystyle \gcd \left(M_p,M_q \right) = 2^{\gcd(p,q)}-1 }[/math]인데, 서로 다른 소수는 서로소이므로 [math]\displaystyle{ \gcd(p,q)=1 }[/math] 즉 [math]\displaystyle{ \gcd \left(M_p,M_q \right)=1 }[/math]이 성립한다. 따라서 [math]\displaystyle{ M_p,M_q }[/math]는 서로소이다.

약수 관련 성질[편집 | 원본 편집]

[math]\displaystyle{ \displaystyle p }[/math]가 2가 아닌 소수라면, 메르센 수 [math]\displaystyle{ \displaystyle M_p }[/math]의 약수는 전부 [math]\displaystyle{ \displaystyle 2kp+1,\,k\in\mathbb{Z}^+ }[/math]의 형태이다.
- 증명: [math]\displaystyle{ \displaystyle q }[/math]를 [math]\displaystyle{ \displaystyle M_p=2^p-1 }[/math]의 소인수라 가정하자. 페르마의 소정리에 의해, [math]\displaystyle{ \displaystyle 2^{q-1}\equiv1\pmod q }[/math]이므로, [math]\displaystyle{ \displaystyle q\mid2^{q-1}-1 }[/math]이다. [math]\displaystyle{ \displaystyle q\mid2^p-1 }[/math]이기도 하므로, [math]\displaystyle{ \displaystyle q\mid\gcd\left(2^{q-1}-1,2^p-1\right) }[/math]이다. 한편, [math]\displaystyle{ \displaystyle \gcd\left(2^{q-1}-1,2^p-1\right)=2^{\gcd\left(q-1,p\right)}-1 }[/math]이다.^[1] 따라서, [math]\displaystyle{ \displaystyle q\mid2^{\gcd\left(q-1,p\right)}-1 }[/math]이다. 그런데 [math]\displaystyle{ \displaystyle p }[/math]가 소수이므로, [math]\displaystyle{ \displaystyle \gcd\left(q-1,p\right) }[/math]은 1 또는 [math]\displaystyle{ \displaystyle p }[/math]이다. 만약 [math]\displaystyle{ \displaystyle \gcd\left(q-1,p\right)=1 }[/math]이라면, [math]\displaystyle{ \displaystyle q\mid2^{\gcd\left(q-1,p\right)}-1=2^1-1=1 }[/math]이므로, [math]\displaystyle{ \displaystyle q }[/math]가 소수라는 가정에 모순된다. 따라서 [math]\displaystyle{ \displaystyle \gcd\left(q-1,p\right)=p }[/math]이고, [math]\displaystyle{ \displaystyle p\mid q-1 }[/math]이다. 곧, 적당한 양의 정수 [math]\displaystyle{ \displaystyle m }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \displaystyle q-1=mp }[/math]이다. [math]\displaystyle{ \displaystyle q }[/math]가 홀수이므로,^[2] [math]\displaystyle{ \displaystyle q-1 }[/math]은 짝수이고, [math]\displaystyle{ \displaystyle p }[/math]는 홀수이므로, [math]\displaystyle{ \displaystyle m }[/math]은 짝수여야 한다. 즉, 적당한 양의 정수 [math]\displaystyle{ \displaystyle k }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \displaystyle q=mp+1=2kp+1 }[/math]이다. 마지막으로, [math]\displaystyle{ \displaystyle M_p }[/math]의 약수는 [math]\displaystyle{ \displaystyle M_p }[/math]의 적당한 소인수들의 곱이고, 임의의 소인수는 [math]\displaystyle{ \displaystyle 2kp+1 }[/math]의 형태이므로, 저 형태를 가진 소인수를 곱한 임의의 약수도 같은 형태이다.
- 예를 들어, 370052357은 소수이고 88940026013534293337은 [math]\displaystyle{ \displaystyle 2^{370052357}-1 }[/math]의 약수인데, [math]\displaystyle{ \displaystyle 88940026013534293337=2\cdot 120172219324\cdot 370052357+1 }[/math]임을 확인할 수 있다.
[math]\displaystyle{ n }[/math]이 홀수일 때, [math]\displaystyle{ M_n }[/math]의 약수를 8로 나눈 나머지는 1 또는 7이다. (이때 [math]\displaystyle{ n }[/math]이 소수일 필요는 없다)
- 증명: [math]\displaystyle{ M_n }[/math]의 소인수 [math]\displaystyle{ q }[/math]를 가정하자. 그러면 [math]\displaystyle{ \displaystyle 2^n \equiv 1 \pmod q }[/math]가 성립한다. 여기서 양변에 2를 곱하면 [math]\displaystyle{ \displaystyle 2^{n+1} \equiv 2 \pmod q }[/math]이다. 이 식에서 좌변은 2의 지수가 짝수이므로 제곱수이며, [math]\displaystyle{ \displaystyle 2^{\frac{n+1}{2}}=x }[/math]라 하면 [math]\displaystyle{ \displaystyle x^2 \equiv 2 \pmod q }[/math]가 된다. 다시 말해 2는 법 [math]\displaystyle{ q }[/math]에 대한 이차잉여이며, 이를 만족하는 [math]\displaystyle{ q }[/math]의 조건은 [math]\displaystyle{ q \equiv \pm 1 \pmod 8 }[/math]이다. 또한 어떤 [math]\displaystyle{ M_n }[/math]의 약수 [math]\displaystyle{ r }[/math]를 [math]\displaystyle{ r=q_1 q_2 \cdots q_k }[/math]와 같이 소인수[math]\displaystyle{ q_j (1\le j \le k) }[/math]의 곱으로 쓸 때, [math]\displaystyle{ q_j \equiv \pm 1 \pmod 8 }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ r \equiv \pm 1 \pmod 8 }[/math]도 성립한다.
- 예: [math]\displaystyle{ M_{29} = 233 \cdot 1103 \cdot 2289 }[/math] 에서 각 소인수를 8로 나눈 나머지는 각각 1, 7, 1이다.
소수 [math]\displaystyle{ p }[/math]가 소피 제르맹 소수이고 4로 나눈 나머지가 3이면 [math]\displaystyle{ 2p+1 }[/math]은 [math]\displaystyle{ M_p }[/math]의 약수이다.
- 증명: [math]\displaystyle{ p }[/math]가 소피 제르맹 소수이면 [math]\displaystyle{ 2p+1 }[/math]도 소수이다. 또한 [math]\displaystyle{ p \equiv 3 \pmod 4 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ 2p+1 \equiv 7 \pmod 8 }[/math]이므로, 2는 법 [math]\displaystyle{ 2p+1 }[/math]에 대한 이차잉여이다. 즉 오일러의 규준에 따르면 [math]\displaystyle{ \displaystyle 2^{\frac{(2p+1)-1}{2}} \equiv 1 \pmod{2p+1} }[/math]이 성립한다. 간단히 정리하면 [math]\displaystyle{ \displaystyle 2^p \equiv 1 \pmod{2p+1} }[/math]이고, [math]\displaystyle{ \displaystyle 2p+1 \mid 2^p-1 }[/math]을 만족한다.
- 예: [math]\displaystyle{ \displaystyle 7 \mid M_{3}(=7),\ 23 \mid M_{11},\ 47 \mid M_{23},\ 4007 \mid M_{2003},\ 4079 \mid M_{2039} }[/math]
- 참고: [math]\displaystyle{ p }[/math]가 소피 제르맹 소수이지만 4로 나눈 나머지가 1이면 [math]\displaystyle{ 2p+1 }[/math]은 [math]\displaystyle{ M_p }[/math]의 약수가 아니다. 또, 2와 3을 제외한 모든 소피 제르맹 소수는 [math]\displaystyle{ p=6k-1 }[/math] 형태이므로, 여기에 4로 나눈 나머지가 3이라는 조건이 붙으면 [math]\displaystyle{ p=12k-1 }[/math] 꼴로 표현된다.

완전수와의 관계[편집 | 원본 편집]

[math]\displaystyle{ \displaystyle n }[/math]이 짝수인 완전수^[3]라면 [math]\displaystyle{ \displaystyle n=2^{m-1}\left(2^m-1\right) }[/math]이다 (단, [math]\displaystyle{ \displaystyle m\geq2 }[/math]인 정수, [math]\displaystyle{ \displaystyle 2^m-1 }[/math]은 (메르센) 소수). 이 명제의 역도 성립한다.
- 증명(필요조건): [math]\displaystyle{ \displaystyle n=2^{m-1}\left(2^m-1\right) }[/math]이고, [math]\displaystyle{ \displaystyle m\geq2 }[/math]인 정수, [math]\displaystyle{ \displaystyle 2^m-1 }[/math]은 소수라 가정하자. [math]\displaystyle{ \displaystyle 2^m-1 }[/math]은 홀수인 소수이므로, [math]\displaystyle{ \displaystyle \gcd\left(2^{m-1},2^m-1\right)=1 }[/math]이다. 즉, [math]\displaystyle{ \displaystyle \sigma\left(n\right)=\sigma\left(2^{m-1}\right)\sigma\left(2^m-1\right) }[/math]^[4]^[5][math]\displaystyle{ \displaystyle =\frac{2^m-1}{2-1}\left(2^m-1+1\right)=\left(2^m-1\right)2^m=2n }[/math]. 따라서, [math]\displaystyle{ \displaystyle n }[/math]은 완전수이다.
- 증명(충분조건): 역으로, [math]\displaystyle{ \displaystyle n }[/math]이 짝수인 완전수라 가정하자. 일단, 적당한 홀수 [math]\displaystyle{ \displaystyle t }[/math]와 1이상인 정수 [math]\displaystyle{ \displaystyle s }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \displaystyle n=2^st }[/math]로 나타낼 수 있다.^[6] 그럼, [math]\displaystyle{ \displaystyle 2n=2^{s+1}t=\sigma\left(n\right)=\sigma\left(2^st\right) }[/math]. [math]\displaystyle{ \displaystyle \gcd\left(2^s,t\right)=1 }[/math]이므로, [math]\displaystyle{ \displaystyle \sigma\left(2^st\right)=\sigma\left(2^s\right)\sigma\left(t\right)=\left(2^{s+1}-1\right)\sigma\left(t\right) }[/math]이다. 따라서, [math]\displaystyle{ \displaystyle 2^{s+1}t=\left(2^{s+1}-1\right)\sigma\left(t\right) }[/math]이고, [math]\displaystyle{ \displaystyle 2^{s+1}\mid\left(2^{s+1}-1\right)\sigma\left(t\right) }[/math]임을 알 수 있다. 한편, [math]\displaystyle{ \displaystyle \gcd\left(2^{s+1},2^{s+1}-1\right)=1 }[/math]이므로, [math]\displaystyle{ \displaystyle 2^{s+1}\mid\sigma\left(t\right) }[/math]이다. 따라서, 적당한 정수 [math]\displaystyle{ \displaystyle q }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \displaystyle \sigma\left(t\right)=q2^{s+1} }[/math]이고, [math]\displaystyle{ \displaystyle 2^{s+1}t=\left(2^{s+1}-1\right)\sigma\left(t\right)=\left(2^{s+1}-1\right)q2^{s+1} }[/math]이다. 곧, [math]\displaystyle{ \displaystyle t=q\left(2^{s+1}-1\right) }[/math]. 여기서, [math]\displaystyle{ \displaystyle t+q=2^{s+1}q=\sigma\left(t\right) }[/math]임을 알 수 있다. 한편, [math]\displaystyle{ \displaystyle q\mid t,\,q\neq t }[/math]이므로, [math]\displaystyle{ \displaystyle q=1 }[/math]이어야만 한다. 만약 아니라면, [math]\displaystyle{ \displaystyle t\mid t,q\mid t,1\mid t }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ \displaystyle \sigma\left(t\right)\geq1+q+t }[/math]이라 모순이다. 따라서, [math]\displaystyle{ \displaystyle \sigma\left(t\right)=t+1 }[/math]이고, 이는 곧 [math]\displaystyle{ \displaystyle t=2^{s+1}-1 }[/math]가 소수임을 의미한다. 따라서, [math]\displaystyle{ \displaystyle n=2^st=2^s\left(2^{s+1}-1\right) }[/math]. 마지막으로, [math]\displaystyle{ \displaystyle s\geq1 }[/math]이므로, [math]\displaystyle{ \displaystyle m=s+1\geq2 }[/math].
- 이 성질은 곧 짝수인 완전수와 메르센 소수가 일대일 대응한다는 사실을 알려주며, 유클리드-오일러 정리라고도 부른다. 유클리드는 자신의 저서^[7]에[math]\displaystyle{ \displaystyle 2^m-1 }[/math]이 소수면 [math]\displaystyle{ \displaystyle 2^{m-1}\left(2^m-1\right) }[/math]이 완전수임을 증명하였다. 일대일 대응한다는 성질은 19세기에 이르러 오일러가 증명하였다.^[8]

발견 과정[편집 | 원본 편집]

2의 지수가 작은 메르센 수는 직접 나누기로 소수 여부를 알 수 있다. 처음 네 개 항인 3, 7, 31, 127은 기원전부터 소수라는 사실을 알 수 있었다. 다섯 번째인 8191(p=13)은 89 이하의 소수까지 나눗셈을 시도하면 된다. 다음 항인 131071(p=17)은 359 이하, 그 다음 항인 524287(p=19)은 719 이하의 소수까지 나눠보면 소수임을 밝혀낼 수 있다. 실제로 이탈리아의 수학자인 피에트로 카탈디(Pietro Cataldi)는 이 방법으로 1588년에 소수임을 알아냈다. ^[9]

[math]\displaystyle{ M_{23} }[/math]은 1640년 페르마가 소인수 47을 찾으면서 합성수임이 판명 났다. [math]\displaystyle{ M_{29} }[/math]는 크기는 앞선 항들보다 훨씬 커지지만 1738년 레온하르트 오일러가 233과 1103을 약수로 가진다는 걸 알아냈다. 두 수는 직접 나누기로 그나마 어렵지 않게 소인수분해가 된다. 하지만 [math]\displaystyle{ M_{31} }[/math], 즉 2147483647^[10]은 제곱근 이하의 소수가 46337까지인데, 컴퓨터가 없던 시절에는 직접 나누기로 밝히기란 매우 버거운 수준이었다.

한편 마랭 메르센은 17세기에 [math]\displaystyle{ \displaystyle M_p=2^p-1 }[/math] 형태의 수 중 2의 지수가 257 이하에서 아래 값일 때 [math]\displaystyle{ M_p }[/math]는 소수일 것이라는 추측을 내놓았다.

[math]\displaystyle{ p \in \{2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257 \} }[/math]

당시에는 첫 일곱 항인 [math]\displaystyle{ M_{19} }[/math]까지는 소수라는 걸 알고 있었고 그 다음 수들은 어마무시한 크기 때문에 확인을 다 할 수 없었다. 이후 오일러가 1772년에 직접 나누기의 발전된 방법으로 [math]\displaystyle{ M_{31} }[/math]이 소수임을 밝혀냈다. (아래 문단 참조) 이로써 위 후보 중 31까지는 참이 된다.

그런데 메르센이 제시한 후보 중 빠진 것과 잘못 넣은 것이 있다. [math]\displaystyle{ M_{61}, M_{89}, M_{107} }[/math]은 실제로 소수가 맞지만 메르센이 빠뜨린 수이고, [math]\displaystyle{ M_{67}, M_{257} }[/math]은 소수가 아니지만 목록에 넣은 것이다.

열 자리 이상의 메르센 소수[편집 | 원본 편집]

오일러는 위의 "약수 관련 성질" 문단의 정리를 이용하여 약수 후보를 먼저 추리고 [math]\displaystyle{ M_{31} }[/math]가 소수임을 증명했다. 구체적인 과정은 아래와 같다.

[math]\displaystyle{ q \mid M_{31} }[/math]인 소인수를 찾으려고 한다. 위에서 증명한 정리를 가져오면 [math]\displaystyle{ q \equiv 1 \pmod{62},\ q \equiv \pm 1 \pmod 8 }[/math]을 만족해야 한다. 이 조건식은 [math]\displaystyle{ q \equiv 1 \ \text{or}\ 63 \pmod {248} }[/math]과 같이 쓸 수 있다.
바로 위 조건을 만족하는 수를 나열한다. [math]\displaystyle{ q \in \{63,249,311,497,559,\cdots\} }[/math] 그 다음 소수가 아닌 수를 제외한다. 어떤 수의 약수가 합성수이면 그 합성수의 소인수도 원래 수의 약수이므로, 작은 수부터 차례대로 올라갈 때는 소수인 경우만 알아보면 된다. 그러면 [math]\displaystyle{ q \in \{311,1303,1489,2543,\cdots\} }[/math] 과 같이 추려져서 [math]\displaystyle{ M_{31} }[/math]의 제곱근 이하의 가장 큰 소수까지 빠르게 도달하고, 이들 중 어떤 수로도 나누어 떨어지지 않음을 확인할 수 있다.

물론 메르센 수는 자릿수가 지수에 비례하여 커져서, 저렇게 약수 후보를 솎아낸다 해도 소요시간은 마찬가지로 급격히 증가한다. 이 경우 보다 빠른 소수 판별법이 필요하다.

[math]\displaystyle{ M_{31} }[/math] 다음으로 발견된 수는 [math]\displaystyle{ M_{127} }[/math]이다. 에두아르 뤼카는 [math]\displaystyle{ M_2=3,\ M_3=7,\ M_7=127 }[/math]이 메르센 소수이니까 혹시 [math]\displaystyle{ M_{127} }[/math]도 소수가 아닐까 하는 추측을 하였고^[11], 1876년 실제로 소수가 맞다는 걸 증명해내었다. 그 다음으로 발견된 세 개는 이보다 작은 값이다. 1883년 페르부신(Ivan Pervushin)은 [math]\displaystyle{ M_{61} }[/math]을, 1911년·1914년 파워스(R.E. Powers)는 각 연도에 [math]\displaystyle{ M_{89},M_{107} }[/math]이 소수임을 밝혀냈다.

19세기까지 발견된 메르센 소수는 위 목록까지 총 12개이다.

컴퓨터 도입 이후[편집 | 원본 편집]

역사상 발견된 가장 큰 소수의 지위는 보통 메르센 소수가 차지했다. 자리수가 10만 혹은 100만을 넘어가는 소수는 컴퓨터가 발달하면서 다수 발견할 수 있게 되었는데, 메르센 소수는 [math]\displaystyle{ \displaystyle M_p=2^p-1 }[/math] 형태의 특수성을 이용하여 소수 여부를 빠르게 확인할 수 있다. 메르센 수가 소수인지 여부는 뤼카-레머 소수판정법(Lucas-Lehmer primality test)으로 밝혀낼 수 있다. 구체적인 정리와 증명은 해당 문서 참고.

이 판별법은 20세기 중반 컴퓨터가 들어서면서 위력을 발하기 시작하였다. 1952년 라파엘 로빈슨(Raphael Mitchel Robinson)은 컴퓨터의 도움을 받아 [math]\displaystyle{ M_{521}, M_{601}, M_{1279}, M_{2203}, M_{2281} }[/math]을 한 해동안 발견하였다. 이후 컴퓨터의 성능이 발달하면서 여러 수학자들이 훨씬 더 큰 소수들을 찾았고, 1996년 9월까지 발견된 메르센 소수는 34개로 늘어났다.

1996년부터 메르센 소수 찾기 프로젝트를 진행하는 GIMPS에서도 이 판별법을 이용한다. 35번째 메르센 소수인 [math]\displaystyle{ M_{1398269} }[/math]부터는 모두 이 프로젝트에서 찾아내었다. 테스트 대상은 2의 지수가 소수인 모든 메르센 수로, 현재 활발하게 진행 중인 범위는 2의 10억 제곱 미만이다.