반완전수

반완전수(Semiperfect number) 또는 유사완전수(Pseudoperfect number)는 완전수의 변형된 개념으로, 진약수의 부분합으로 원래 수가 만들어지는 자연수를 말한다. 진약수를 모두 합하면 원래 수보다 커지므로, 반완전수는 과잉수에 속한다.

진약수의 부분합으로 원래 수가 나오지 않는 과잉수를 괴짜수라 부른다.

가장 작은 반완전수들은 아래와 같다.

• 6, 12, 18, 20, 24, 28, 30, 36, 40, 42, 48, … (OEIS의 수열 A005835)

반완전수의 예

• 가장 작은 홀수 반완전수는 945이고, 지금까지 확인된 홀수 과잉수는 모두 반완전수이다.
• 완전수 또는 반완전수의 배수는 반완전수이다.
  • 증명: [math]\displaystyle{ n=d_1+d_2+\cdots d_k }[/math]인 자연수에 대해 서로 다른 [math]\displaystyle{ d_i }[/math]가 모두 [math]\displaystyle{ n }[/math]의 진약수라 가정한다. 정의에 의해 [math]\displaystyle{ n }[/math]은 완전수 또는 반완전수이다. 이 수의 자연수 배인 [math]\displaystyle{ an\ (a \geq 2) }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ d'_i=ad_i }[/math]라 하면 [math]\displaystyle{ an=ad_1+ad_2+\cdots ad_k }[/math](※)이며, [math]\displaystyle{ d'_i \mid an, d'_i\lt an }[/math]을 만족하므로 [math]\displaystyle{ an }[/math]은 진약수의 합으로 나타낼 수 있다. 그런데 1은 [math]\displaystyle{ an }[/math]의 약수지만 [math]\displaystyle{ a }[/math]의 배수는 아니므로, (※) 식의 우변에 1은 포함하지 않는다. 즉 우변의 진약수 합은 전체 합이 아닌 부분합이다. 따라서 [math]\displaystyle{ an }[/math]은 반완전수이다.
• [math]\displaystyle{ k\lt 2^{m+1}-1 }[/math]이 1보다 큰 홀수일 때, [math]\displaystyle{ n=2^mk }[/math] 꼴의 자연수는 반완전수이다.
  • 증명: [math]\displaystyle{ k=\sum_{i=0}^{m}\delta_i 2^i, \delta_i \in \{0, 1\} }[/math]과 같이 이진법 전개를 한다. 이때 [math]\displaystyle{ \delta_i=1 }[/math]인 항에 대해 [math]\displaystyle{ 2^i }[/math]는 [math]\displaystyle{ n }[/math]의 약수이며, 가정에 의해 [math]\displaystyle{ k }[/math]의 배수는 아니다. 아울러 [math]\displaystyle{ (2^m-1)k }[/math]는 [math]\displaystyle{ k+2k+\cdots 2^{m-1}k }[/math]와 같이 나타낼 수 있고, 이들 항은 [math]\displaystyle{ n }[/math]의 진약수이면서 [math]\displaystyle{ k }[/math]의 배수이다. 따라서 [math]\displaystyle{ n=k+(2^m-1)k }[/math]은 서로 다른 [math]\displaystyle{ n }[/math]의 진약수들의 합으로 나타낼 수 있으며, [math]\displaystyle{ k\lt 2^{m+1}-1 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \delta_i=0 }[/math]인 [math]\displaystyle{ 2^i }[/math] 항이 존재하므로 진약수의 '부분합'이다. 그러므로 주어진 수는 반완전수이다.
  • [math]\displaystyle{ k=2^{m+1}-1 }[/math]이고 이 값이 소수(즉 메르센 소수)이면, [math]\displaystyle{ 2^mk }[/math]는 완전수이다.
• 특정 범위의 자연수 부분집합을 잡을 때, 25%가량이 과잉수이고, 이들 중에서 반완전수가 대부분이다.

원시 반완전수

원시 반완전수(Primitive semiperfect number)는 완전수나 반완전수의 배수로 표현되지 않는 반완전수이다. 모든 반완전수는 완전수 또는 원시 반완전수에 자연수 배를 해서 생성할 수 있다.

아래는 1000 이하의 완전수(괄호 표시) 및 원시 반완전수들을 나타낸 것이다. 즉 1000 이하의 반완전수는 아래 수들의 배수로 얻어낼 수 있다.

• (6), 20, (28), 88, 104, 272, 304, 350, 368, 464, 490, (496), 550, 572, 650, 748, 770, 910, 945
• 더 많은 원시 반완전수들은 (OEIS의 수열 A006036) 참고.

실용수

실용수(Practical number)는 어떤 수보다 작은 모든 자연수들을 그 수의 진약수들의 부분합으로 표현할 수 있는 수를 말한다. 반완전수가 '원래 수'를 목표로 한다면, 이쪽은 '원래 수 미만'이 기준이다.

12를 예로 들면 1, 2, 3, 4, 6은 12의 진약수이고, 5=4+1, 7=6+1, 8=6+2, 9=6+3, 10=6+4, 11=6+3+2로 1부터 11까지 12의 진약수의 합으로 나타낼 수 있으므로 12는 실용수이다.

2의 거듭제곱 및 완전수를 제외한 모든 실용수는 반완전수이다. 1은 1보다 작은 자연수가 존재하지는 않지만 마찬가지로 실용수에 포함된다.

달리 표현하면 분모가 일정하고 1보다 작은 모든 유리수[math]\displaystyle{ \frac{m}{n} }[/math]을 [math]\displaystyle{ n }[/math]의 진약수의 역수의 합으로 나타낼 수 있다면 [math]\displaystyle{ n }[/math]은 실용수이다.

가장 작은 실용수들은 아래와 같다. 완전수는 괄호 표시, 2의 거듭제곱(부족수)은 대괄호 표시.

• [1, 2, 4], (6), [8], 12, [16], 18, 20, 24, (28), 30, [32], 36, 40, 42, 48, 54, … (OEIS의 수열 A005153)

같이 보기

• 완전수
• 과잉수
• 괴짜수