곱완전수

곱완전수(Multiply perfect number)는 완전수의 확장된 개념으로, 자연수의 모든 약수의 합이 원래 수의 정수 배가 되는 수를 말한다. 원래 수의 몇 배인지에 따라 종류가 나뉘며, 배율이 k이면 k배 완전수(k-perfect number)라 한다.

가장 작은 곱완전수들은 아래와 같다.

• 1, 6, 28, 120, 496, 672, 8128, 30240, 32760, 523776, … (OEIS의 수열 A007691)

성질

1배 완전수, 즉 [math]\displaystyle{ k=1 }[/math]인 자연수는 1 하나뿐이다. 또, 배율이 2 이상인 모든 곱완전수는 합성수이고, 소인수가 둘 이상이다.

곱완전수의 정의를 수식으로 표현하면 [math]\displaystyle{ \sigma(n)=kn, \frac{\sigma(n)}{n}=\sum_{m \mid n}\frac{1}{m}=k }[/math]이다.

2배 완전수

이와 관련한 내용은 완전수에서 볼 수 있습니다.

원래 완전수와 같은 개념이다. 자기 자신을 제외한 약수의 합이 원래 수와 같으므로, 자기 자신을 포함하면 전체 합은 두 베가 된다.

현재까지 짝수 완전수가 무한한지 여부와 홀수 완전수의 존재 여부는 알려지지 않았다. 다만 짝수 완전수와 메르센 소수는 일대일 대응한다는 사실은 증명되었다. 메르센 소수는 현재까지 51개가 알려져 있으므로, 완전수도 지금까지 51개 알고 있다.

[math]\displaystyle{ M_p=2^p-1 }[/math]이 메르센 소수일 때, 이에 대응하는 짝수 완전수는 [math]\displaystyle{ \frac{M_p(M_p+1)}{2}=2^{p-1}(2^p-1) }[/math]이다.

3배 완전수

어떤 자연수가 3배 완전수이려면 이 수는 소인수가 최소 3개 있어야 한다.

• 증명: 자연수의 소인수가 둘 뿐이면 소인수분해 시 [math]\displaystyle{ n=p^d q^e }[/math]의 꼴로 나타낼 수 있다. 이때 두 소인수는 [math]\displaystyle{ p \geq 2, q \geq 3 }[/math]이다. 그러면 약수의 합과 원래 수의 비는 [math]\displaystyle{ \sigma(n)=\sum_{m \mid n}\frac{1}{m}=(\sum_{i=0}^d p^{-i})(\sum_{j=0}^e q^{-j}) =\frac{1-p^{-(d+1)}}{1-p^{-1}} \cdot \frac{1-q^{-(e+1)}}{1-q^{-1}} \lt \frac{1}{1-p^{-1}} \cdot \frac{1}{1-q^{-1}} }[/math]이다. 이때 가정에 의해 [math]\displaystyle{ 1-p^{-1} \geq \frac{1}{2}, 1-q^{-1} \geq \frac{2}{3} }[/math]이다. 따라서 [math]\displaystyle{ \frac{\sigma(n)}{n}\lt 2 \cdot \frac{3}{2}=3 }[/math]이 되어, 자연수의 소인수가 둘이면 이 수는 3배 완전수가 될 수 없다.

지금까지 확인된 3배 완전수는 단 6개 뿐이다. 또, 전체 자연수 중 이들 외에는 더 존재하지 않을 것으로 추정하고 있다. (OEIS의 수열 A005820)

순번	3배 완전수	소인수분해
1	120	[math]\displaystyle{ 2^3 \cdot 3 \cdot 5 }[/math]
2	672	[math]\displaystyle{ 2^5 \cdot 3 \cdot 7 }[/math]
3	523776	[math]\displaystyle{ 2^9 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 31 }[/math]
4	459818240	[math]\displaystyle{ 2^8 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 19 \cdot 37 \cdot 73 }[/math]
5	1476304896	[math]\displaystyle{ 2^{13} \cdot 3 \cdot 11 \cdot 43 \cdot 127 }[/math]
6	51001180160	[math]\displaystyle{ 2^{14} \cdot 5 \cdot 7 \cdot 19 \cdot 31 \cdot 151 }[/math]

만약 홀수 완전수가 존재한다면, 이 수의 두 배는 3배 완전수이다. 즉 [math]\displaystyle{ 2 \nmid n, \sigma(n)=2n }[/math]이라면, [math]\displaystyle{ \sigma(2n)=\sigma(2)\sigma(n)=3 \cdot 2n }[/math]이다.

4배 완전수

어떤 자연수가 4배 완전수이려면 소인수는 4개 이상이어야 한다.

• 증명: 바로 위의 문단과 같은 방법으로 이끌어낼 수 있다. 자연수의 소인수가 3개이면 [math]\displaystyle{ n=p^d q^e r^f, p \geq 2, q \geq 3, r \geq 5 }[/math]와 같이 소인수분해를 할 수 있고, 마찬가지로 약수의 합과 원래 수의 비는 [math]\displaystyle{ \frac{\sigma(n)}{n}=\frac{1-p^{-(d+1)}}{1-p^{-1}} \cdot \frac{1-q^{-(e+1)}}{1-q^{-1}} \cdot \frac{1-r^{-(f+1)}}{1-r^{-1}} \lt \frac{1}{1-p^{-1}} \cdot \frac{1}{1-q^{-1}} \cdot \frac{1}{1-r^{-1}} }[/math]이다. 또, [math]\displaystyle{ 1-p^{-1} \geq \frac{1}{2}, 1-q^{-1} \geq \frac{2}{3}, 1-r^{-1} \geq \frac{4}{5} }[/math]이므로, [math]\displaystyle{ \frac{\sigma(n)}{n} \lt 2 \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{4} =\frac{15}{4} \lt 4 }[/math]이다. 즉 소인수가 3개이면 이 자연수는 4배 완전수가 될 수 없다.

4배 완전수는 지금까지 36개가 발견되었고, 역시 이들 외에는 존재하지 않을 것으로 추정하고 있다. (OEIS의 수열 A027687) 아래 표는 그 중 작은 20개를 적은 것이다.

순번	4배 완전수	소인수분해
1	30240	[math]\displaystyle{ 2^5 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7 }[/math]
2	32760	[math]\displaystyle{ 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 13 }[/math]
3	2178540	[math]\displaystyle{ 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7^2 \cdot 13 \cdot 19 }[/math]
4	23569920	[math]\displaystyle{ 2^9 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 31 }[/math]
5	45532800	[math]\displaystyle{ 2^7 \cdot 3^3 \cdot 5^2 \cdot 17 \cdot 31 }[/math]
6	142990848	[math]\displaystyle{ 2^9 \cdot 3^2 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 31 }[/math]
7	1379454720	[math]\displaystyle{ 2^8 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 19 \cdot 37 \cdot 73 }[/math]
8	43861478400	[math]\displaystyle{ 2^{10} \cdot 3^3 \cdot 5^2 \cdot 23 \cdot 31 \cdot 89 }[/math]
9	66433720320	[math]\displaystyle{ 2^{13} \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 43 \cdot 127 }[/math]
10	153003540480	[math]\displaystyle{ 2^{14} \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 19 \cdot 31 \cdot 151 }[/math]
11	403031236608	[math]\displaystyle{ 2^{13} \cdot 3^2 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 43 \cdot 127 }[/math]
12	704575228896	[math]\displaystyle{ 2^5 \cdot 3^4 \cdot 7^2 \cdot 11^2 \cdot 19^2 \cdot 127 }[/math]
13	181742883469056	[math]\displaystyle{ 2^8 \cdot 3^2 \cdot 7^2 \cdot 13 \cdot 19^2 \cdot 37 \cdot 73 \cdot 127 }[/math]
14	6088728021160320	[math]\displaystyle{ 2^7 \cdot 3^{10} \cdot 5 \cdot 17 \cdot 23 \cdot 107 \cdot 3851 }[/math]
15	14942123276641920	[math]\displaystyle{ 2^7 \cdot 3^6 \cdot 5 \cdot 17 \cdot 23 \cdot 137 \cdot 547 \cdot 1093 }[/math]
16	20158185857531904	[math]\displaystyle{ 2^{14} \cdot 3^2 \cdot 7^2 \cdot 13 \cdot 19^2 \cdot 31 \cdot 127 \cdot 151 }[/math]
17	275502900594021408	[math]\displaystyle{ 2^5 \cdot 3^4 \cdot 7^2 \cdot 11^2 \cdot 19^4 \cdot 151 \cdot 911 }[/math]
18	622286506811515392	[math]\displaystyle{ 2^9 \cdot 3^4 \cdot 7 \cdot 11^3 \cdot 31^2 \cdot 61 \cdot 83 \cdot 331 }[/math]
19	71065075104190073088	[math]\displaystyle{ 2^8 \cdot 3^2 \cdot 7^2 \cdot 13 \cdot 19^4 \cdot 37 \cdot 73 \cdot 151 \cdot 911 }[/math]
20	203820700083634254643200	[math]\displaystyle{ 2^{25} \cdot 3^3 \cdot 5^2 \cdot 19 \cdot 31 \cdot 683 \cdot 2731 \cdot 8191 }[/math]

그 밖의 곱완전수

2021년 12월 31일까지 총 5772개가 발견되었다.

[math]\displaystyle{ k }[/math]	발견된 개수	가장 작은 수	개수 추정	OEIS
1	1	1	하나 뿐(확실)
2	51	6	메르센 소수만큼	A000396
3	6	120	추가 발견 없음	A005820
4	36	30240	추가 발견 없음	A027687
5	65	14182439040	추가 발견 없음	A046060
6	245	154345556085770649600	추가 발견 없음	A046061
7	516	[math]\displaystyle{ 1.413108979474 \times 10^{56} }[/math]	거의 다 발견됨
8	1135	[math]\displaystyle{ 8.268099687077 \times 10^{132} }[/math]	거의 다 발견됨
9	2130	[math]\displaystyle{ 5.613080818373 \times 10^{286} }[/math]	더 많을 것으로 추정
10	1586	[math]\displaystyle{ 4.485654298983 \times 10^{638} }[/math]	더 많을 것으로 추정
11	1	[math]\displaystyle{ 2.518504134839 \times 10^{1906} }[/math]	더 많을 것으로 추정