Irreducible Fraction / 旣約分數
정의[편집 | 원본 편집]
분수 a/b의 형태에서 a와 b가 서로소[1]인 분수를 의미한다. 다르게 말하면 분모와 분자가 서로소인 분수인 셈. 서로소는 실질적으로 정수에서만 정의되기 때문에 아래 내용은 분자, 분모가 모두 정수인 경우이다.
존재성과 유일성[편집 | 원본 편집]
- 존재성
- 유리수의 정의를 보면 알겠지만, 임의의 유리수는 분수이다. 정수의 집합은 주 아이디얼 정역이므로 최대공약수의 존재성이 보장되고, 분자·분모를 최대공약수로 나눠주면, 남은 두 수는 반드시 서로소이다.[2] 즉, 임의의 유리수는 기약분수로 나타낼 수 있다.
- 유일성
- 임의의 유리수 [math]\displaystyle{ r }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ r=\frac{a}{b}=\frac{p}{q} }[/math]라 하자. 여기서 [math]\displaystyle{ \gcd\left(a,b\right)=\gcd\left(p,q\right)=1 }[/math]이다. 위 식을 정리하면 [math]\displaystyle{ aq=bp }[/math]이고, 여기서 [math]\displaystyle{ a\mid bp }[/math]를 얻는다. 그런데 [math]\displaystyle{ \gcd\left(a,b\right)=1 }[/math]이므로, [math]\displaystyle{ a\mid p }[/math]이다.[3] 또한, [math]\displaystyle{ p\mid aq }[/math]이고 [math]\displaystyle{ \gcd\left(p,q\right)=1 }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ p\mid a }[/math]이다. 따라서, [math]\displaystyle{ p=a }[/math]이고, 곧 [math]\displaystyle{ b=q }[/math]이다. 따라서, 유리수의 기약분수 표기는 유일하다.
성질[편집 | 원본 편집]
- 일반적인 분수는 모두 약분을 통해 기약분수로 만들 수 있다.
- 분모와 분자가 서로소이기 때문에 더 이상의 약분은 불가능하다.
- 모든 유리수는 이 기약분수의 형태로 나타낼 수 있다.
각주
수의 종류 | |
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수학 상수 | |
자연수 및 정수 | |
유리수 및 실수 | |
복소수 및 확장 | |