라마누잔-솔드너 상수

라마누잔-솔드너 상수(Ramanujan–Soldner constant)는 로그 적분 함수와 연관된 수학 상수로, 이름은 스리니바사 라마누잔과 요한 솔드너에서 유래하였다.

정의

로그 적분 함수의 영점 중 0이 아닌 실수로 정의하며, 주로 [math]\displaystyle{ \mu }[/math]라 적는다. [math]\displaystyle{ x\gt 1 }[/math]일 때 적분값은 코시 주요값이다.

[math]\displaystyle{ \operatorname{li}(x)=\int_0^x \frac{1}{\ln t} dt }[/math]

[math]\displaystyle{ \operatorname{li}(\mu)=\int_0^\mu \frac{1}{\ln t} dt=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \mu \approx 1.45136923488338105028 }[/math]

로그 적분 함수의 피적분함수인 자연로그의 역수는 [math]\displaystyle{ x=1 }[/math]에서 정의되지 않으며, [math]\displaystyle{ x\gt 1 }[/math]에서 위 적분식 그대로 수치 계산을 하기 곤란하다. 그 대신 적분식의 아래끝을 [math]\displaystyle{ \mu }[/math]로 놓으면 적분값은 그대로이고 피적분함수의 발산을 신경 쓰지 않아도 된다.

즉 특정 로그 적분 함수의 값을 셈할 때에는

[math]\displaystyle{ \operatorname{li}(x)= \begin{cases}\int_0^x \frac{1}{\ln t} dt & (0 \lt x \lt 1) \\ \int_\mu^x \frac{1}{\ln t} dt & (x\gt 1) \end{cases} }[/math]

와 같이 셈하면 된다.

지수 적분 함수는 [math]\displaystyle{ \operatorname{Ei}(x)=\operatorname{li}(e^x) }[/math]로 정의되므로, 이 함수의 0이 아닌 영점은 [math]\displaystyle{ \ln \mu }[/math]이다.