개요
수열(數列, sequence (of numbers))은 자연수 집합, 더 넓게는 가산 전순서 집합을 정의역으로 하는 함수를 말한다. 여기서의 자연수 집합은 보통 0을 포함하는데, 이는 수열 [math]\displaystyle{ \{a_n\} }[/math]에서 멱급수 [math]\displaystyle{ \sum a_i x^i }[/math]를 만들 때 변수의 지수(exponentiation)와 수열의 지수(index)를 i로 같게 하기 위해서이다.
정수론에서는 이와 완전히 같은 개념인 수론적 함수를 도입하는데, 이는 수열을 나열이 아닌 하나의 함수로 보겠다는 것이다.
수열의 일반적인 정의
수열은 정의역이 자연수 집합일 뿐, 공역에는 상관하지 않는다. 즉 함수를 나열한 함수열도 수열이고, 행렬을 나열한 행렬렬도 수열이다. 즉 수열 {ai}의 정의는 다음과 같다:
- [math]\displaystyle{ a_\cdot : \; \mathbb N \rightarrow Y. }[/math]
하지만 일반적으로 수열이라 함은 공역이 복소수 범위, 좁게는 실수 범위에 대하여 다룬다. 이는 (덧셈과 곱셈에 대한) 교환, 결합법칙이 만족하는, 다루기 쉬운 가환군이기 때문이다.
수열은 순서쌍의 형태로도 나타낼 수 있으며, (정의역이 무한집합이기 때문에) [math]\displaystyle{ Y^\omega }[/math]의 원소로 표현한다. 즉
- [math]\displaystyle{ \{a_n\} \in Y^\omega }[/math]
이다.
각각의 함숫값 ai을 제 i-항(i-th term)이라고 하며, 이를 모든 정의역의 원소 n에 대하여 나타낸 것을 일반항(general term)이라고 한다. 보통 수열을 표기할 때는 중괄호 (또는 소괄호) 안에 일반항, 또는 원소를 나열하여 표기한다.
수열의 극한
이와 관련한 내용은 수열의 극한에서 볼 수 있습니다.공역이 실수인 실수열에서는 엡실론-N 논법을 사용하여 함수의 극한을 정의한다. 즉 [math]\displaystyle{ \{a_n\} }[/math]이 실수열일 때 모든 [math]\displaystyle{ \epsilon \gt 0 }[/math]에 대해서 [math]\displaystyle{ N \in \mathbb N }[/math]이 존재하여, [math]\displaystyle{ (n \in \mathbb N) \ge N }[/math]일 때 [math]\displaystyle{ |a_n -a|\lt \epsilon }[/math]이 성립하는 [math]\displaystyle{ a \in \mathbb{R} }[/math]가 존재하면 [math]\displaystyle{ a }[/math]는 수열 [math]\displaystyle{ \{a_n \} }[/math]의 극한이다.
이를 확장하면 복소수열, 더 나아가 거리공간에까지 확장할 수 있다. [math]\displaystyle{ |a_n -a| }[/math]를 [math]\displaystyle{ a_n }[/math]과 [math]\displaystyle{ a }[/math] 사이의 거리라고 생각하면, 다음과 같이 일반화할 수 있다:
- [math]\displaystyle{ \{a_n\} }[/math]이 거리함수(metric) [math]\displaystyle{ d }[/math]를 가지는 거리공간 [math]\displaystyle{ X }[/math]에서의 수열이라 하자. 모든 [math]\displaystyle{ \epsilon \gt 0 }[/math]에 대해서 [math]\displaystyle{ N \in \mathbb N }[/math]이 존재하여, [math]\displaystyle{ (n \in \mathbb N) \ge N }[/math]일 때 [math]\displaystyle{ d(a_n,a) \lt \epsilon }[/math]이 성립하는 [math]\displaystyle{ a\in X }[/math]가 존재하면 [math]\displaystyle{ a }[/math]는 수열 [math]\displaystyle{ \{a_n\} }[/math]의 극한이다.
또한 거리함수를 근방(neighborhood)으로 바꾸면 위상공간에까지 확장 가능하다:
- [math]\displaystyle{ \{a_n\} }[/math]이 위상공간 [math]\displaystyle{ X }[/math]에서의 수열이라 하자. 어떤 [math]\displaystyle{ a \in X }[/math]와 그 임의의 근방 [math]\displaystyle{ N_a }[/math]가 있고, [math]\displaystyle{ N \in \mathbb N }[/math]이 존재하여 [math]\displaystyle{ (n \in \mathbb N) \ge N }[/math]일 때 [math]\displaystyle{ a_n\in N_a }[/math]이면 [math]\displaystyle{ a }[/math]를 수열 [math]\displaystyle{ \{a_n\} }[/math]의 극한이라고 한다.
유계
수열 [math]\displaystyle{ \left\{a_n\right\} : \; \mathbb N \rightarrow \mathbb R }[/math]가 위로 유계(bounded above)라는 것은 모든[math]\displaystyle{ n \in \mathbb N }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ a_n \le A }[/math]인 [math]\displaystyle{ A \in \mathbb R }[/math]이 존재하는 것이다. 이 때 [math]\displaystyle{ A }[/math]를 상계(upper bound)라고 한다. 가장 작은 상계를 최소 상계(least upper bound)라고 한다.
수열 [math]\displaystyle{ \left\{a_n\right\} : \; \mathbb N \rightarrow \mathbb R }[/math]가 아래로 유계(bounded below)라는 것은 모든[math]\displaystyle{ n \in \mathbb N }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ a_n \ge A }[/math]인 [math]\displaystyle{ A \in \mathbb R }[/math]이 존재하는 것이다. 이 때 [math]\displaystyle{ A }[/math]를 하계(lower bound)라고 한다. 가장 큰 하계를 최대 하계(greatest lower bound)라고 한다.
수열 [math]\displaystyle{ \left\{a_n\right\} : \; \mathbb N \rightarrow \mathbb R }[/math]가 위로 유계면서 아래로 유계일 때, 다시말해, 상계와 하계가 모두 존재하면, 수열은 유계(bounded)라고 하고, 유계가 아닌 수열을 비유계(unbounded)라고 한다.
예시
한국의 고등학교 수학 교육과정에서는 대표적인 수열 몇가지를 배우게 된다.
등차수열
인접한 항의 차가 항상 일정한 수열. 간단한 예로는 [math]\displaystyle{ \left(1,2,3,\cdots,\right) }[/math]같은 것이 있으며, 이 때 인접한 두 항의 차를 공차라고 부른다. 등차수열의 일반항을 [math]\displaystyle{ a_n }[/math], 공차를 [math]\displaystyle{ d }[/math], 초항을 [math]\displaystyle{ a }[/math]라고 하면 일반항은 [math]\displaystyle{ a_n=a+\left(n-1\right)d }[/math]로 표현할 수 있다.
(유한한) 등차수열의 합은 가우스가 1부터 100까지의 합을 간단하게 구한 방법과 동일한 방법을 사용한다. 즉, 첫 번째 줄엔 항들을 순서대로, 두 번째 줄엔 항들을 역순으로 배열한다.
- [math]\displaystyle{ S=a+\left(a+d\right)+\cdots+l }[/math]
[math]\displaystyle{ S=l+\left(l-d\right)+\cdots+a }[/math]
그 후 두 식을 변끼리 더하는데, [math]\displaystyle{ a_i+a_{n-i+1} }[/math]의 값은 항상 일정하다는 사실을 알 수 있다. 즉, [math]\displaystyle{ a_i+a_{n-i+1}=a+l }[/math]이고, 따라서 [math]\displaystyle{ 2S=n\left(a+l\right) }[/math]이다. 곧, [math]\displaystyle{ S=\frac{n\left(a+l\right)}{2} }[/math]. 만약 마지막 항의 값을 모르고, 대신에 공차를 안다면 [math]\displaystyle{ l=a+\left(n-1\right)d }[/math]으로 바꿔서 쓸 수도 있다.
등차수열에는 등차중항이라는 개념이 있는데, 연속된 세 항의 가운데 항은 나머지 두 항의 합의 산술평균이라는 것. 즉, [math]\displaystyle{ a,b,c }[/math]가 등차수열을 이룬다면 [math]\displaystyle{ b=\frac{a+c}{2} }[/math]라는 소리.
등비수열
인접한 항의 비가 항상 일정한 수열. 간단한 예로는 [math]\displaystyle{ \left(1,2,4,8,\cdots\right) }[/math]같은 것이 있다. 인접한 두 항의 비를 공비라고 부르며, 공비를 [math]\displaystyle{ r }[/math]이라 했을 때 일반항은 [math]\displaystyle{ a_n=ar^{n-1} }[/math]이다.
(유한한) 등비수열의 합은 등차수열의 합과는 조금 다른 방법으로 구한다. 먼저 첫 번째 줄엔 그대로, 두 번째 줄엔 첫 번째 시에 등비를 곱한 값을 나열한다. 즉,
- [math]\displaystyle{ S=a+ar+ar^2+\cdots+ar^{n-1} }[/math]
[math]\displaystyle{ rS=0+ar+ar^2+\cdots+ar^{n-1}+ar^n }[/math]
이 후 두 식을 변끼리 빼면, [math]\displaystyle{ S-rS=a-ar^n }[/math]이고, 간단히 정리하면 [math]\displaystyle{ S=\frac{a\left(r^n-1\right)}{r-1} }[/math]이다. 그런데 이 식은 [math]\displaystyle{ r=1 }[/math]일 때는 성립하지 않으며, [math]\displaystyle{ r=1 }[/math]일 때는 모든 항이 다 같으므로 [math]\displaystyle{ S=na }[/math]이다. 무한한 등차수열은 항상 발산하는 것과는 달리 무한한 등비수열은 등비의 값에 따라 수렴하기도 한다. 수렴하기 위한 조건은 [math]\displaystyle{ \left|r\right|\lt 1 }[/math]이며, 이 외에는 항상 발산한다. 무한 등비수열의 합은 [math]\displaystyle{ \frac{a}{1-r} }[/math]이다.
등차수열과 마찬가지로 등비중항이라는 개념이 있다. 연속된 세 항이 등비수열을 이루면, 가운데 항은 나머지 두 항의 곱의 제곱근이다. 즉, [math]\displaystyle{ a,b,c }[/math]가 등비수열이라면 [math]\displaystyle{ b=\sqrt{ac} }[/math]가 성립한다는 소리.
조화수열
수열의 각 항의 역수가 등차수열을 이루는 수열. 자세히 배우지는 않고 이런 수열이 있다는 것만 배운다. 조화중항이라는 개념 역시 존재하는데, 연속된 세 항이 조화수열을 이루면 가운데 항은 나머지 두 항의 산술평균의 역수이다. 즉, 조화수열 [math]\displaystyle{ a,b,c }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ b=\frac{2ac}{a+c} }[/math]가 성립한다.
계차수열
어떤 수열이 있을 때, 인접한 두 항의 차를 계차라고 부르며, 그 계차들을 나열한 수열을 계차수열이라 부른다. 원순열을 [math]\displaystyle{ \left\{a_n\right\} }[/math], 계차수열을 [math]\displaystyle{ \left\{b_n\right\} }[/math]라 하면,
- [math]\displaystyle{ \begin{align*} a_1 &= a \\ a_2 &=a+b_1 \\ a_3 &= a_2+b_2=a+b_1+b_2 \\ \vdots \end{align*} }[/math]
가 성립하므로 일반항 [math]\displaystyle{ a_n }[/math]은 [math]\displaystyle{ a_n=a+\sum_{k=1}^{n-1}b_k }[/math]이다.
피보나치 수열
자세한 것은 피보나치 수열 항목 참조.