平均, Mean, Average
두 개 이상의 수의 중간 수치로, 구하는 방법에 따라 산술 평균, 기하 평균, 조화 평균 등으로 나뉜다. 영어로는 mean, 또는 average라 하는데, mean은 산술 평균만을 의미하며, average는 일반적인 의미의 평균을 의미한다. 기호로는 보통 [math]\displaystyle{ m }[/math]을 사용하며, 통계학에서는 [math]\displaystyle{ \mu }[/math]를 사용한다. 물리학에서는 수 위에 작대기를 하나 그은 [math]\displaystyle{ \bar{x} }[/math]를 사용하기도 한다.
종류[편집 | 원본 편집]
- 산술 평균 (Arithmetic Mean, AM): [math]\displaystyle{ \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n} }[/math]
평균하면 제일 먼저 떠올리는 것.
- 기하 평균 (Geometric Mean, GM): [math]\displaystyle{ \sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n}x_i}=\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n} }[/math]
기하 평균은 어떤 값들이 비율이나 배수로 증가할 때, 그 비율의 평균을 내는데 사용한다. 경제 성장률이 대표적인 예.
- 조화 평균 (Harmonic Mean, HM): [math]\displaystyle{ \left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{x_i}^{-1}\right)^{-1} }[/math]
역수의 산술 평균의 역수. 평균 속도를 구하는데 사용되며, 이름의 조화에서 알 수 있듯이, 음악 이론에서 사용된다.
- 중앙값 (Median)
수들을 크기순으로 나열했을 때, 정 중앙에 있는 값. 만약 정 중앙이 없다면 (수가 짝수 개 일 때) 중앙 양 옆의 두 수의 산술 평균을 중앙값으로 사용한다. 자세한 것은 대푯값 참조.
- 최빈값 (Mode)
가장 많이 나타나는 수. 만약 그러한 수가 두 개 이상이면 최빈값은 없다고 한다. 더 자세한 것은 대푯값 참조.
- 분산 (Variance, Var): [math]\displaystyle{ \sigma^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\left(x_i-\mu\right)^2 }[/math], 표준편차 (Standard Deviation, SD): [math]\displaystyle{ \sqrt{\text{Var}} }[/math]
이 둘은 평균이라기 보다는 평균과 얼마나 떨어져 있는지를 알려주는 지표다. 분산에 제곱이 들어가는 이유는, 관찰값에서 평균을 빼면, 값에 따라 양수가 될 수도, 음수가 될 수도 있다. 부호가 전부 같지 않으면 문제가 생기므로, 이를 맞춰주기 위해 제곱을 해주는 것. 표준편차는 제곱을 해준 값들을 원래대로 돌려놓기 위해 제곱근을 씌운다. 일반인들은 표준편차(=[math]\displaystyle{ \sigma }[/math])가 크면 수들이 고르지 못하다는 사실만 알고 있으면 된다.
- 기댓값 (Expected Value, E): [math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}x_ip_i }[/math]
확률변수의 평균. 기댓값은 어떤 확률변수를 계속 뽑았을 때 우리가 기대할 수 있는 값이라 할 수 있다.
관련 공식[편집 | 원본 편집]
[math]\displaystyle{ \text{AM}\geq\text{GM} }[/math]이라는 아주 간결하고 유명한 공식.
- 산술-기하-조화평균 부등식
[math]\displaystyle{ \text{AM}\geq\text{GM}\geq\text{HM} }[/math] 여기까지는 대부분 알고 있는 경우가 많다.
위 산술-기하-조화평균 부등식의 일반화. 자세한 것은 항목 참조.
- [math]\displaystyle{ \text{Var}=\sigma^2 }[/math]
분산과 표준편차의 정의에서 나온 공식.
- [math]\displaystyle{ E\left(aX+b\right)=aE\left(X\right)+b,\,\text{Var}\left(aX+b\right)=a^2\text{Var}\left(X\right),\,\sigma\left(aX+b\right)=\left|a\right|\sigma\left(X\right),\,\text{Var}\left(X\right)=E\left(X^2\right)-\left(E\left(X\right)\right)^2 }[/math]
기댓값, 분산, 표준편차에 관한 공식. 고등학교에서도 배울 것이다.