순서쌍

순서쌍(順序雙, ordered pair)은 두 대상을 순서를 고려하여 묶은 것을 말한다. 집합론에서 흔히 [math]\displaystyle{ (a, b) = \{\{a\}, \{a, b\}\} }[/math]으로 정의한다. 순서쌍은 2-tuple과도 같으며, 보통 [math]\displaystyle{ n }[/math]-tuple은 순서쌍을 이용하여 귀납적으로 정의된다.

순서를 고려하지 않는 쌍은 무순서쌍(無順序雙, unordered pair)이라고 하며, 이는 단순히 두 대상을 모아둔 집합에 불과하다. 그런 의미에서 무순서쌍을 쌍집합(pair set)이라고도 한다. 보통 [math]\displaystyle{ \{a, b\} }[/math]를 [math]\displaystyle{ a \ne b }[/math]일 때만 무순서쌍이라고 하고, [math]\displaystyle{ a=b \rightarrow \{a,b\} = \{a\} }[/math]는 단지 한원소집합일 뿐이다. 하지만 multiset을 도입하여 [math]\displaystyle{ \{a,a\} }[/math]를 무순서쌍으로 보기도 한다.

일반적인 정의

순서쌍을 정의하는 방법은 많지만, 그 정의들은 다음 성질을 만족해야 한다:

[math]\displaystyle{ (a, b) = (c, d) \Longleftrightarrow a=c \wedge b=d. }[/math]

즉, 순서쌍이 같으려면 그 좌표(coordinate)끼리 같아야 한다. 이 정의에 부합하는 정의 역시 (무한히) 만들어낼 수 있지만, 보통 다음의 카지미에시 쿠라토프스키에 의한 정의를 이용한다.

[math]\displaystyle{ (a, b) = \{\{a\}, \{a, b\}\} }[/math].

이 정의에서는 순서쌍 [math]\displaystyle{ p }[/math]의 첫 번째 좌표를 [math]\displaystyle{ \forall S \in p[a\in S] }[/math]인 [math]\displaystyle{ a }[/math]로 정의할 수 있다. 두 번째 좌표는 순서쌍에 속하는 두 집합에 공통으로 들어가는 대상이 아니므로 [math]\displaystyle{ \exists S \in p[b \in S] \wedge \forall S_1, S_2 \in p[S_1 \ne S_2 \rightarrow \neg(b\in S_1 \cap S_2)] }[/math]인 [math]\displaystyle{ b }[/math]로 정의할 수 있다.

이 정의를 이용하면 [math]\displaystyle{ (a, b) = (c, d) \Longleftrightarrow a=c \wedge b=d. }[/math]를 보일 수 있으며, 그 증명은 아래와 같다.

증명 충분조건: [math]\displaystyle{ a = c \wedge b = d\rightarrow (a,b)=\{\{a\}, \{a, b\}\} = \{\{c\}, \{c, d\}\}=(c,d) }[/math] 필요조건: 두 가지 경우를 생각하자: [math]\displaystyle{ a = b, \; a ≠ b. }[/math] [math]\displaystyle{ a =b\leftrightarrow (a, b) = \{\{a\}, \{a, b\}\}=\{\{a\}\}=\{\{c\},\{c,d\}\}\rightarrow \{c\}=\{c,d\}=\{a\}\rightarrow c=a=d=b. }[/math] [math]\displaystyle{ a\ne b \leftrightarrow a\ne b \wedge (a=c \vee a \ne c). \quad a\ne b \wedge a \ne c\rightarrow\{a\}\ne \{c\}\wedge \{a\}\ne \{c,d\}\rightarrow (a,b)\ne (c,d) \; }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ a=c\rightarrow b =d }[/math]이다.

다른 정의

쿠라토프스키 정의의 변형

위의 정의에서 단순히 [math]\displaystyle{ (a, b) = \{a, \{a, b\}\} }[/math]로 쓸 수도 있다. 이 정의 역시 [math]\displaystyle{ (a, b) = (c, d) \iff a=c \land b=d }[/math]를 만족한다.

증명 ([math]\displaystyle{ \Leftarrow }[/math]) [math]\displaystyle{ a=c \land b=d }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ (a, b)=\{a, \{a, b\}\}=\{c, \{c, d\}\}=(c, d) }[/math]이다. ([math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math]) 정칙성 공리에 의해 [math]\displaystyle{ a=\{a, b\} }[/math], [math]\displaystyle{ c=\{c, d\} }[/math]가 성립할 수 없으므로 양 집합은 항상 서로 다른 두 원소를 갖는다. 그러므로 [math]\displaystyle{ a=c \land \{a, b\}=\{c, d\} }[/math]이거나 [math]\displaystyle{ a=\{c, d\} \land \{a, b\}=d }[/math]이다. 전자의 경우 [math]\displaystyle{ a=b }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \{a\}=\{a, d\} }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ a=d }[/math]이다. 즉 [math]\displaystyle{ a=b=c=d }[/math]이다. [math]\displaystyle{ a\not=b }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \{a, b\}=\{a, d\} }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ b=d }[/math]이다. 따라서 [math]\displaystyle{ a=c \land b=d }[/math]이다. 후자의 경우 [math]\displaystyle{ \{\{c, d\}, b\}=d }[/math]인데, 정칙성 공리에 위배되어 모순이다. 그러므로 모든 경우에 대해 [math]\displaystyle{ a=c \land b=d }[/math]이다.

Tuple

이와 관련한 내용은 Tuple에서 볼 수 있습니다.

[math]\displaystyle{ \boldsymbol n }[/math]-tuple은 [math]\displaystyle{ n }[/math]개의 대상을 순서를 고려하여 나열한 것을 말한다. 이는 유한수열과도 같으며, 순서쌍을 이용하여 귀납적으로 정의된다:

[math]\displaystyle{ (a_1, a_2, \cdots, a_n) := ((a_1, a_2, \cdots , a_{n-1}),a_n). }[/math]

이와 일대일 대응인 정의로는 함수를 이용한 정의가 있다: [math]\displaystyle{ (a_1, \cdots, a_n)=f:i \mapsto a_i = \{(i, a_i):i\in\{1, \cdots, n\}\} }[/math]. 부연 설명을 붙이자면, 위의 방식으로는 [math]\displaystyle{ (4, 5, 6) := ((4, 5), 6) = \{\{(4, 5)\}, \{(4, 5), 6\}\} }[/math]이고, 아래의 방식으로는 [math]\displaystyle{ (4, 5, 6) := \{(1, 4), (2, 5), (3, 6)\} }[/math]로 정의되는 것이다. 즉 위의 방식은 순서쌍을 이용한 귀납적인 정의, 아래의 방식은 함수(수열)로의 정의이다.

카테시언 곱

이와 관련한 내용은 카테시언 곱에서 볼 수 있습니다.

정렬된 집합족 [math]\displaystyle{ \mathcal A =\{A_i\}_{i\in I} }[/math]와 그 파라미터 [math]\displaystyle{ I=\{i_j:j=1,\cdots , n\} }[/math]에 대하여 [math]\displaystyle{ \prod\mathcal A=\prod _{i\in I}A_i = A_{i_1} \times \cdots \times A_{i_n}:=\{(a_i)_{i\in I}:a_i \in A_i\}=\{(a_{i_1},\cdots, a_{i_n}):a_{i_j}\in A_{i_j}\} }[/math]을 [math]\displaystyle{ \mathcal A }[/math]의 카테시언 곱(Cartesian product)이라 한다.

또한 위와 일대일 대응인 정의로 [math]\displaystyle{ \prod \mathcal A:= \{f:I\to \bigcup \mathcal A \backepsilon \forall i \in I [f(i)\in A_i]\} }[/math]로 정의하기도 한다.