곱셈

Multiplication

개요

사칙연산 중 하나로, 초등학교에서 덧셈과 뺄셈을 배운 뒤에 배우게 된다. 초등학교에서 설명하는 곱셈의 발달 동기는, 2+2+…+2+2 (2가 22개)같은 식을 간단히 하기 위해서. 실제로, 덧셈만으로 저걸 표현하려면 길게 쭉 늘어놔야하지만, 곱셈으로 표현하면 2×22로 짧게 표현할 수 있다.

표기법으로는 ×와 •를 사용한다. LaTeX로는 \times와 \cdot로 쓴다. 만약 미지수가 포함되어 있다면 기호를 아예 생략하기도 한다. \(2\times x\)나 \(2\cdot x\)로 쓰지않고 \(2x\)와 같이. 물론, 미지수가 아닌 두 숫자끼리는 반드시 기호를 표시해 줘야 한다. 만약 그렇지 않으면 22가 2×2인지 숫자 22인지 구별할 방법이 없게 된다. 유일한 예외는 두 숫자가 괄호로 구분되어 있을 때. \(2\times(2)\)를 그냥 \(2(2)\)로 표기해도 중의적인 의미를 가지지 않는다. 하지만 48÷2(9+3) 같은 경우를 방지하기 위해서 웬만하면 2(2) 같은 표현은 쓰지말자.

정의

기본적으로 0은 덧셈에 대한 항등원, 1은 곱셈에 대한 항등원을 뜻한다. 그리고 \(-a\)는 \(a\)의 덧셈에 대한 역원이다. 자연수의 곱셈을 제외하고는 가환환에서 이루어지는 것으로 생각하자.

자연수의 곱셈

자연수 \(n\)에 대해 \(na\)를 귀납적으로 정의할 수 있다.

• \(1\times a:=a\)
• [math]\displaystyle{ \left(n+1\right)a:=na+a }[/math].

정수의 곱셈

1. \(a\times0=0\)

   [math]\displaystyle{ 0\cdot a=\left(0+0\right)\cdot a=\left(0\cdot a\right)+\left(0\cdot a\right) }[/math]이다. 위 식의 양변에 [math]\displaystyle{ \left(0\cdot a\right) }[/math]의 덧셈에 관한 역원을 더해주면, [math]\displaystyle{ 0\cdot a=0 }[/math].

   여기서 왜 0으로 나누는 것이 안 되는지 알 수 있다. 임의의 수 \(b\)에 대해서, \(b(1/b)=1\)이인데, \(b=0\)이면 좌변은 0이되고, 우변은 1이되어 0=1이 된다. 만약 0=1이 성립하는 zero ring이라면 저게 큰 문제가 되지 않지만, 우리가 일반적으로 사용하는 수 체계, 즉, 체에서는 [math]\displaystyle{ 0\neq1 }[/math]을 가정하고 시작하기 때문에 모순이 되기 때문.

2. \((-1)(-a)=a\)

   [math]\displaystyle{ 0=0\times\left(-a\right)=\left(-1+1\right)\left(-a\right)=\left(-1\right)\left(-a\right)+\left(-a\right) }[/math]. 양변에 \(a\)를 더해주면, [math]\displaystyle{ a=\left(-1\right)\left(-a\right) }[/math].

3. \((-1)a=-a\)

   [math]\displaystyle{ \left(-1\right)\left(-a\right)=a }[/math]의 양변에 -1을 곱하면, [math]\displaystyle{ \left(-1\right)\left(-1\right)\left(-a\right)=\left(-1\right)a }[/math]. 그런데 [math]\displaystyle{ \left(-1\right)\left(-1\right)=1 }[/math]이므로, [math]\displaystyle{ \left(-1\right)a=-a }[/math].

이제, [math]\displaystyle{ \left(-n\right)a=-\left(na\right) }[/math]로 정의하면, 모든 정수에 대해 곱셈이 정의된다.

위는 추상대수학적인 방법으로 정수의 곱셈을 정의한 것이고, 해석학적인 방법으로 정수의 곱셈을 정의할 수도 있다. 기본적인 아이디어는 정수를 두 자연수의 차로 나타내는 것. 두 정수 \(x,\,y\)에 대해, 적당한 자연수 \(m,\,n,\,a,\,b\)가 존재하여 [math]\displaystyle{ x=m-n,\,y=a-b }[/math]로 나타낼 수 있다. 이 때, [math]\displaystyle{ xy := ma+nb-mb-na }[/math]로 정의하면, 정수에 대해 곱셈이 정의된다.

유리수의 곱셈

유리수의 곱셈은 정수의 곱셈을 조금 더 확장하여 얻는다. 먼저, 임의의 유리수를 두 정수의 쌍으로 나타낸다. 그러니까, [math]\displaystyle{ \frac{a}{b}=\left(a,b\right) }[/math] 이런 식으로. 이 때, [math]\displaystyle{ \frac{a}{b}\times\frac{m}{n}=\left(a,b\right)\times\left(m,n\right):=\left(am,bn\right)=\frac{am}{bn} }[/math]로 정의한다. 뭔가 거창해 보이지만 분모는 분모끼리, 분자는 분자끼리 정수의 곱셈을 하라는 소리이다.

실수의 곱셈

실수의 곱셈의 정의는 데데킨트 절단이 들어가서 비전공자에겐 상당히 난해하게 보인다. 먼저 실수의 정의에 대해 간략하게 알고 가자.

먼저, 유리수의 진부분 집합 \(U\)가 있다고 하자. 만약 \(U\)가,

1. [math]\displaystyle{ x\in U }[/math]이고 [math]\displaystyle{ y\gt x }[/math]이면 [math]\displaystyle{ y\in U }[/math]
2. [math]\displaystyle{ U }[/math]는 가장 작은 원소를 갖지 않는다

위 두 성질을 만족하면 \(U\)를 [math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math]의 ray라 정의한다. 이 때, \(U\)의 여집합 [math]\displaystyle{ U'=\mathbb{Q}\setminus U }[/math]는 가장 큰 원소를 가질 수도, 가지지 않을 수도 있다. 만약 \(U'\)가 가장 큰 원소를 갖는다면 \(U\)를 type 1, 아니면 type 2라 부르기로 하자. \(U\)가 type 1이면, 적당한 유리수 \(r\)에 대해 [math]\displaystyle{ U=\left\{x\in\mathbb{Q}\mid x\gt r\right\} }[/math]임을 쉽게 알 수 있다. 이 때, \(U\)를 rational ray라 정의한다.

순서가 정의된 임의의 체 \(F\)에 대해, 모든 ray가 type 1이면 이 체 \(F\)를 complete하다고 부른다. 그런데 유리수의 집합 [math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math]는 complete하지 않다. 즉, [math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math]는 type 2 ray를 갖게 되며, 이 ray를 irrational ray라 정의한다.

이제, 실수를 [math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math]의 ray라 정의한다. 뭔 개소리야

실수를 정의했으니 이제 실수의 곱셈을 정의할 수 있다. \(U,\,V\)를 두 실수(ray)라 할 때, 실수의 곱셈은 아래 네 가지 경우로 나눠 정의한다.

1. [math]\displaystyle{ 0\not\in U,\,0\not\in V }[/math]

   [math]\displaystyle{ U\cdot V:=\left\{uv\mid u\in U\wedge v\in V\right\} }[/math]

2. [math]\displaystyle{ 0\in U,\,0\not\in V }[/math]

   [math]\displaystyle{ U\cdot V:=\left\{r\in\mathbb{Q}\mid\exists u\in U\,\exists0\leq y\in V',\,r\gt uy\right\} }[/math]

3. [math]\displaystyle{ 0\not\in U,\,0\in V }[/math]

   [math]\displaystyle{ U\cdot V:=\left\{r\in\mathbb{Q}\mid\exists0\leq x\in U'\,\exists v\in V,\,r\gt xv\right\} }[/math]

4. [math]\displaystyle{ 0\in U,\,0\in V }[/math]

   [math]\displaystyle{ U\cdot V:=\left\{r\in\mathbb{Q}\mid\exists x\in U'\,\exists v\in V',\,r\gt xy\right\} }[/math]

복소수의 곱셈

복소수의 곱셈은 실수의 곱셈을 확장하여 얻는다. [math]\displaystyle{ i=\sqrt{-1} }[/math]라 할 때, 임의의 복소수는 적당한 두 실수 \(a,\,b\)에 대해 [math]\displaystyle{ a+bi }[/math] 꼴로 나타낼 수 있다. 두 복소수를 [math]\displaystyle{ z_1=a+bi,\,z_2=c+di }[/math]라 할 때, [math]\displaystyle{ z_1\cdot z_2:=\left(ac-bd\right)+\left(ad+bc\right)i }[/math]로 정의한다.

곱셈의 기본 성질

가환환의 세 원소 \(a,\,b,\,c\)에 대해, 다음이 항상 성립한다.

• 분배법칙: [math]\displaystyle{ a\cdot\left(b+c\right)=\left(a\cdot b\right)+\left(a\cdot c\right) }[/math]
• 결합법칙: [math]\displaystyle{ \left(a\cdot b\right)\cdot c=a\cdot\left(b\cdot c\right) }[/math]
• 교환법칙: [math]\displaystyle{ a\cdot b=b\cdot a }[/math].

만약 가환환이 domain이라면 아래 성질도 성립한다.

• 소거법칙: [math]\displaystyle{ a\cdot b=a\cdot c }[/math]이고 [math]\displaystyle{ a\neq0 }[/math]이면, [math]\displaystyle{ b=c }[/math].

다른 곱셈

• 두 벡터 [math]\displaystyle{ \vec{u},\,\vec{v} }[/math]에 대해, [math]\displaystyle{ \vec{u}\cdot\vec{v} }[/math]는 벡터의 내적이 된다. [math]\displaystyle{ \vec{u}\times\vec{v} }[/math]는 벡터의 외적. 벡터 계산을 할 때는 ×와 •가 서로 다른 것을 의미하니 주의하자.
• 두 행렬 \(A,\,B\)에 대해, \(A\)를 \(n\times m\), \(B\)를 \(m\times p\) 행렬이라고 하자. 그럼 [math]\displaystyle{ \left(AB\right)_{ij} }[/math]는 [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^mA_{ik}B_{kj} }[/math]로 정의한다. 즉, \(A\)의 \(i\)번째 행벡터와 \(B\)의 \(j\)번째 열벡터의 내적을 구한 것.

관련 항목

• 사칙연산
• 덧셈
• 나눗셈