0으로 나누기(divide by 0)는 산술에서 정의하지 않는 것들 중 하나이다. 어떤 수를 0으로 나눌 경우 일반적인 수체계에는 모순이 생긴다.
1 정의되지 않은 이유[편집]
수학에서 0으로 나누기는 정의되어 있지 않다. 이는 곱셈 연산의 결과를 유일하게 하기 위해서이다.
하나 나눗셈의 예를 들면, 10에는 2가 5개 있으므로 10÷2=5이다. 하지만 같은 방법으로 10÷0을 계산하려 하면, 0은 값이 없기 때문에 계산하지 못한다.
좀 더 일반적인 경우를 살펴보자. a를 b로 나눈 결과가 c라는 것은 a=b×c와 같다. 여기서 b가 0이라면 우변은 0이되고, 따라서 a 역시 0일 수밖에 없다. 그런데 이는 c의 값을 유일하게 정하지 않으므로 문제가 된다.
흔히 말하는 [math]\displaystyle{ \frac 1 0 = \infty }[/math]는 사실 극한 형태이며, [math]\displaystyle{ \lim_{n \to 0^+} \frac{1}{n} = \infty }[/math]를 나타낸다. 만약 [math]\displaystyle{ \frac 1 0 = \infty }[/math]로 정의하면 [math]\displaystyle{ \infty = \frac 1 0 = \frac 1{-0} = -\infty }[/math]라는 이상한 결과가 나오게 된다. 일반적인 실수 체계에서는 말도 안 되는 소리지만, 이를 참으로 여겨 수직선([math]\displaystyle{ \mathbb R \cup \{\infty \} }[/math])을 원으로, 복소평면([math]\displaystyle{ \mathbb C \cup \{\infty \} }[/math])을 구면으로 만들 수도 있다. 이를 각각 실사영직선, 리만 구라고 한다. 참고 물론 저 체계에서 [math]\displaystyle{ \infty = -\infty }[/math]이라고 해서 [math]\displaystyle{ 2\infty =0, \infty = 0 }[/math]이라는 소리는 하지 않는 게 좋다. 이항이 성립하지 않을 뿐만 아니라 일반적인 수체계에서는 성립하지 않는 정의이기 때문이다.
2 허용하게 되면?[편집]
0으로 나누는 연산이 수학에서 아예 존재하지 않는 것은 아니다. 0으로 나누기를 허용하기 전에, 0과 나눗셈에 대해 간단히 알고 가자.
대수학에서 0이란, 덧셈에 대한 항등원을 뜻한다. 즉, [math]\displaystyle{ a+e=e+a=a }[/math]가 성립하게 만드는 원소 [math]\displaystyle{ e }[/math]를 0으로 정의하는 것.
나눗셈이란, 어떤 수의 곱셈의 역원을 곱하는 행위를 뜻한다. 초등학교에서 말하는 "전체안에 부분이 몇 개"는 사실 정확한 비유가 아니며, 이해를 돕기위해 만든 설명일 뿐. 즉, [math]\displaystyle{ a\div b }[/math]는 사실 [math]\displaystyle{ a\times b^{-1} }[/math]을 뜻하며, [math]\displaystyle{ b^{-1} }[/math]는 [math]\displaystyle{ b }[/math]의 곱셈에 대한 역원을 뜻한다.
한편, 어떤 수에 곱셈에 대한 역원을 곱하면 역원의 정의에 의해 곱셈에 대한 항등원이 나온다. 환에서 곱셈에 대한 항등원은 보통 1로 정의하므로, [math]\displaystyle{ a\times a^{-1}=1 }[/math]이 성립한다. 여기까지 알았으면 0으로 나누기, 즉 0의 곱셈에 대한 역원이 존재한다고 가정해보자. 그럼, 역원의 정의에 의해,
- [math]\displaystyle{ 0\times0^{-1}=1 }[/math]
가 성립한다. 한편, 임의의 수에 덧셈에 대한 항등원(= 0)을 곱하면 0이 나오므로,
- [math]\displaystyle{ 0\times0^{-1}=0 }[/math]
따라서, 0=1이 성립한다. 이제, 환의 임의의 원소 [math]\displaystyle{ a }[/math]에 대해,
- [math]\displaystyle{ a=a\times1=a\times0=0 }[/math]
이므로, 이 환에는 원소가 0밖에 없다.
따라서, 0으로 나누기를 허용하면 수가 0 단 하나뿐인 상황이 벌어지게 된다. 이러한 수체계를 영환(zero-ring)이라 부르며, 당연히 수학적으로 큰 의미가 없다. 이런 재미없는 상황을 방지하기 위해서 체는 [math]\displaystyle{ 0\neq1 }[/math]를 가정하며, 이 조건은 0의 곱셈에 대한 역원이 존재하지 않음을 내포한다.
3 프로그래밍 언어의 처리[편집]
위에 있는 0으로 나눴더니 스파크가 튀면서 칩이 손상된다는 동영상은 재미를 위해 만든 것이다. 0으로 나눈다고 스파크 튀면서 불나진 않으니 안심. 대부분의 프로그래밍 언어에서는 0으로 나누면 Divide-by-Zero 오류를 내고, 예외 처리가 없으면 시스템이 정지된다. 하지만 지금 시대에 이런 기초적인 예외 처리를 하지 않는 경우는 없고, 시스템이 정지되는 일 역시 없다.