항등원


恒等元. Identity element(또는 그냥 identity).

수학에서 항등원이란 거칠게 말하면 연산해 보았자 그대로인 원소를 말한다.

정식 정의는 다음과 같다. (S, ∗)가 마그마(magma)[1]일 때,

  • [S의 모든 원소 a에 대해 ea=a]인 S의 원소 e가 존재하면, 이를 좌항등원(left identity)이라 한다.
  • [S의 모든 원소 a에 대해 ae=a]인 S의 원소 e가 존재하면, 이를 우항등원(right identity)이라 한다.
  • S의 원소 e가 좌항등원이자 우항등원이면, 양쪽 항등원(two‐sided identity) 혹은 그냥 항등원이라 한다.

항등원은 존재하면 유일하므로, 그냥 e 혹은 혼동의 여지가 있을 때는 eS와 같이 표기한다. 한편, 이항연산이 덧셈일 때는 정수에서의 예에 따라 0으로, 곱셈일 때는 역시 정수에서의 예에 따라 1로 표기하는 경우가 많다.

1 항등원의 특성[편집]

마그마 (S, ∗)에 좌항등원과 우항등원이 모두 존재하면 둘은 서로 같다.

(증명) 좌항등원을 e, 우항등원을 f라 적으면 정의에 의해 e=ef=f이기 때문이다.

따라서 e=fS의 (양쪽) 항등원이 된다.

위 명제에 따라 항등원은 존재하면 유일함을 금방 알 수 있다.

마그마에는 좌항등원이 여럿 존재하거나, 우항등원이 여럿 존재할 수 있다. 그러나 좌항등원과 우항등원이 모두 존재하는 경우, 위 명제에 따라 양쪽 항등원 하나만을 유일하게 갖게 된다.

2 관련 문서[편집]


  1. ∗는 S 위의 이항연산이라는 것 외에 아무 조건이 없는 대수구조(algebraic structure). “S 위의 이항연산”이라 하였으므로 S가 ∗에 관해 닫혀 있어야 함은 물론이다.