行列. Matrix.
- 행렬(行列)은 여럿이 줄지어가는 모습을 뜻하는 말이기도 하다.
정의[편집 | 원본 편집]
수나 식을 직사각형 모양으로 배열한 것. 가로줄을 행(low), 세로줄을 열(column)이라고 한다.
좀 더 수학적으로 정의하면 다음과 같다.
[math]\displaystyle{ R }[/math]가 환이고 모든 [math]\displaystyle{ i=1, 2, \cdots, m }[/math]과 [math]\displaystyle{ j=1, 2, \cdots, n }[/math]에 대하여 [math]\displaystyle{ a_{ij}\in R }[/math]일 때, [math]\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn} \end{bmatrix} }[/math]를 [math]\displaystyle{ R }[/math] 위의 [math]\displaystyle{ \left(m\times n\right) }[/math] 행렬이라고 부른다.
[math]\displaystyle{ \left(m\times n\right) }[/math] 행렬 전체의 집합은 [math]\displaystyle{ M_{m, n}\left(R\right) }[/math]으로 나타낸다. [math]\displaystyle{ \mathcal M_{m, n}\left(R\right) }[/math]나 [math]\displaystyle{ \mathfrak M_{m, n}\left(R\right) }[/math]나 [math]\displaystyle{ \operatorname{Mat}_{m,n}\left( R \right) }[/math]처럼 나타내기도 한다.
- 만일 [math]\displaystyle{ m=n }[/math]이면 [math]\displaystyle{ A }[/math]를 [math]\displaystyle{ n }[/math]차 정사각행렬([math]\displaystyle{ n }[/math]‐th square matrix)이라고 한다. [math]\displaystyle{ n }[/math]차 정사각행렬 전체의 집합은 [math]\displaystyle{ M_{n, n}\left(R\right) }[/math] 또는 더 간편하게 [math]\displaystyle{ M_n\left(R\right) }[/math]로 나타낸다.
- 이때 n을 차수(order)라고 한다.
- 원소 [math]\displaystyle{ a_{11}, a_{22}, \cdots a_{nn} }[/math]을 포함하는 대각선을 주대각선(principal diagonal)이라고 한다.
- 만일 [math]\displaystyle{ m=1 }[/math]이면 행벡터(row vector)라고 한다.
- 만일 [math]\displaystyle{ n=1 }[/math]이면 열벡터(column vector)라고 한다.
행렬의 원소를 강조할 때는 [math]\displaystyle{ A=\left[ a_{ij} \right] = \left[ a_{ij} \right] _{m \times n}=\left( A \right) _{ij} }[/math]로 표기할 수 있다.
구성 성분[편집 | 원본 편집]
[math]\displaystyle{ A=\left(a_{ij}\right) }[/math]에서 [math]\displaystyle{ a_{ij} }[/math]를 행렬 [math]\displaystyle{ A }[/math]의 [math]\displaystyle{ \left(i, j\right) }[/math] 성분([math]\displaystyle{ \left(i, j\right) }[/math]‐th component) 혹은 [math]\displaystyle{ \left(i, j\right) }[/math] 원소([math]\displaystyle{ \left(i, j\right) }[/math]‐th entry)라고 한다.
위 행렬의 [math]\displaystyle{ \left(i, 1\right) }[/math] 성분부터 [math]\displaystyle{ \left(i, n\right) }[/math] 성분까지, 즉 다음 행렬
- [math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{in} \end{bmatrix} }[/math]
을 행렬의 [math]\displaystyle{ i }[/math]번째 행벡터라고 하고([math]\displaystyle{ i=1, 2, \cdots, m }[/math]), [math]\displaystyle{ [A]_i }[/math]로 적기도 한다.
또 행렬의 [math]\displaystyle{ \left(1, j\right) }[/math] 성분부터 [math]\displaystyle{ \left(m, j\right) }[/math] 성분까지, 즉 다음 행렬
- [math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} a_{1j}\\ a_{2j}\\ \vdots\\ a_{mj} \end{bmatrix} }[/math]
을 행렬의 [math]\displaystyle{ j }[/math]번째 열벡터라고 하고([math]\displaystyle{ j=1, 2, \cdots, n }[/math]), [math]\displaystyle{ [A]^j }[/math]로 적기도 한다.
위 행벡터, 열벡터를 이용해서 행렬을 다음과 같이 나타내기도 한다.
- [math]\displaystyle{ A =\begin{bmatrix} - &[A]_1& -\\ - &[A]_2& -\\ \vdots&\vdots&\vdots\\ - &[A]_m& - \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} {|} & {|} & {\cdots} & {|} \\ {[A]^{1}} & {[A]^{2}} & {\cdots} & {[A]^{n}} \\ {|} & {|} & {\cdots} & {|} \end{bmatrix} }[/math]
행렬의 성질[편집 | 원본 편집]
연산[편집 | 원본 편집]
덧셈과 뺄셈[편집 | 원본 편집]
행렬의 덧셈과 뺄셈은 행렬의 크기가 같을 때만 정의된다. 행렬의 덧셈·뺄셈 얘기가 나올 때 ‘크기가 맞을 때’라고 하면 이 조건을 의미하는 것이다.
행렬 [math]\displaystyle{ A, B }[/math]가 [math]\displaystyle{ \left(m\times n\right) }[/math]행렬일 때, 행렬의 덧셈과 뺄셈을 다음과 같이 성분별로(componentwisely) 정의한다. 즉,
- (덧셈) [math]\displaystyle{ A+B=\left(a_{ij}+b_{ij}\right) }[/math]
- (뺄셈) [math]\displaystyle{ A-B=\left(a_{ij}-b_{ij}\right) }[/math]
예를 들어, [math]\displaystyle{ R=\mathbb{R} }[/math]이고 [math]\displaystyle{ A,B\in M_2(R) }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 9 & -12\\ -5 & 3 \end{bmatrix},B=\begin{bmatrix} -2 & 7\\ 0 & 1 \end{bmatrix} }[/math]이면
- [math]\displaystyle{ \begin{align} A+B&=\begin{bmatrix} 9 & -12\\ -5 & 3 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} -2 & 7\\ 0 & 1 \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} 9+(-2) & -12+7\\ -5+0 & 3+1 \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} 7 & -5\\ -5 & 4 \end{bmatrix} \end{align} }[/math]
이며, [math]\displaystyle{ R=\mathbb{Z}_3 }[/math]이고 [math]\displaystyle{ A,B\in M_2(R) }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 2 & 1 \end{bmatrix},B=\begin{bmatrix} 2 & 2\\ 0 & 1 \end{bmatrix} }[/math]이면
- [math]\displaystyle{ \begin{align} A-B&=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 2 & 1 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 2 & 2\\ 0 & 1 \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} 1-2 & 0-2\\ 2-0 & 1-1 \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} -1 & -2\\ 2 & 0 \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} 2 & 1\\ 2 & 0 \end{bmatrix} \end{align} }[/math]
환 [math]\displaystyle{ R }[/math]의 덧셈의 결합법칙과 교환법칙이 성립하기 때문에, 행렬의 덧셈에 대해 결합법칙과 교환법칙이 성립함은 자명하다.
[math]\displaystyle{ R }[/math]상수곱[편집 | 원본 편집]
행렬의 집합 위에서는 [math]\displaystyle{ R }[/math]상수곱이라는 작용(action)이 정의된다.
행렬 [math]\displaystyle{ A, B }[/math]가 [math]\displaystyle{ \left(m\times n\right) }[/math]행렬이고 [math]\displaystyle{ r\in R }[/math]일 때, 행렬의 [math]\displaystyle{ R }[/math]상수곱을 다음과 같이 성분별로(componentwisely) 정의한다. 즉,
- ([math]\displaystyle{ R }[/math]상수곱) [math]\displaystyle{ rA=\left(ra_{ij}\right) }[/math]
행렬의 덧셈과 뺄셈에 대한 위 상수곱의 분배법칙이 성립함은 자명하다(환 [math]\displaystyle{ R }[/math]의 덧셈에 대한 환 [math]\displaystyle{ R }[/math]의 곱셈의 교환법칙이 성립하기 때문). 또, 위 상수곱은 환 [math]\displaystyle{ R }[/math]의 곱셈과도 compatible하다(환 [math]\displaystyle{ R }[/math]의 결합법칙 때문).
몇 가지만 더 확인하면 앞서 정의한 덧셈과 [math]\displaystyle{ R }[/math]상수곱에 대하여 [math]\displaystyle{ \left(m\times n\right) }[/math]행렬 전체의 집합 [math]\displaystyle{ M_{\left(m, n\right)}\left(R\right) }[/math]은 [math]\displaystyle{ R }[/math]가군이 되고, 특별히 [math]\displaystyle{ R }[/math]이 체이면 [math]\displaystyle{ R }[/math]벡터공간이 됨을 금방 확인할 수 있다.
곱셈[편집 | 원본 편집]
행렬의 곱셈은 앞 행렬의 행의 개수와 뒤 행렬의 열의 개수가 같을 때만 정의된다. 행렬의 곱셈 얘기가 나올 때 ‘크기가 맞을 때’라고 하면 이 조건을 의미하는 것이다.
행렬 [math]\displaystyle{ A }[/math]의 행 개수와 행렬 [math]\displaystyle{ B }[/math]의 열 개수가 같을 때, 두 행렬의 곱셈은 [math]\displaystyle{ A }[/math]의 각 행벡터와 [math]\displaystyle{ B }[/math]의 각 열벡터의 내적(inner product)을 원소로 가지는 행렬로 정의된다.
즉, 행렬 [math]\displaystyle{ A }[/math]가 [math]\displaystyle{ \left(m\times n\right) }[/math]행렬이고 [math]\displaystyle{ B }[/math]가 [math]\displaystyle{ \left(n\times r\right) }[/math]행렬일 때, 두 행렬의 곱 [math]\displaystyle{ C=AB }[/math]는 [math]\displaystyle{ \left(c_{ij}\right)=\left(\left[A\right] _i\cdot\left[B\right] ^j\right) }[/math]인 [math]\displaystyle{ \left(m\times r\right) }[/math]행렬이다.
행렬의 곱셈을 이렇게 일견 부자연스럽게 정의하는 데는 다 이유가 있다. 이는 선형대수학의 기본 정리, 즉 행렬과 선형사상은 같은 것이라는 명제를 배우고 나면 금방 이해할 수 있다.
가령 행렬[math]\displaystyle{ A,B }[/math]를 각 각 함수[math]\displaystyle{ L_1(\mathbf{x})=A\mathbf{x}, L_2(\mathbf{x})=B\mathbf{x} }[/math]로서 생각했을 때 우리가 위의 곱셈을 따른다면 두 함수의 합성은 [math]\displaystyle{ L_1 \circ L_2(\mathbf{x})=AB\mathbf{x} }[/math] 로서 나타나게 된다. 즉 함수의 합성을 곱의 계산으로 할 있게 되는 것이다!
행렬의 곱셈은 결합법칙은 만족하나 교환법칙은 성립하지 않는다. 이는 함수의 합성이 그렇기 때문이다. 한편 덧셈과 뺄셈에 대한 곱셈의 분배법칙은 성립한다.
앞서 정의한 덧셈과 [math]\displaystyle{ R }[/math]상수곱 그리고 지금 정의한 곱셈에 대하여 [math]\displaystyle{ n }[/math]차 정사각행렬 전체의 집합 [math]\displaystyle{ M_n\left(R\right) }[/math]은 [math]\displaystyle{ R }[/math]대수(결합대수)가 됨을 보일 수 있다.
특수한 행렬[편집 | 원본 편집]
아래 내용은 모든 행렬에서 정의된다.
- 영행렬(zero matrix) [math]\displaystyle{ O }[/math]
- 모든 원소가 0인 행렬로, 행렬의 덧셈의 항등원이다.
- 전치행렬(transpose of a matrix) [math]\displaystyle{ A^T }[/math]
- 원래 행렬의 행과 열을 뒤바꾼 행렬이다. 원래 행렬을 [math]\displaystyle{ A }[/math]에 대해 전치행렬을 [math]\displaystyle{ A^T }[/math]와 같이 표기한다. 자세한 내용은 전치행렬을 참조.
아래 내용은 정사각행렬에서만 정의된다.
- 단위행렬(identity matrix) [math]\displaystyle{ I }[/math]
- 역행렬(inverse matrix) [math]\displaystyle{ A^{-1} }[/math]
- 멱영행렬(nilpotent matrix)
- 여러 번 거듭제곱하면 영행렬이 되는 행렬이다. 어떤 행렬이 멱영행렬이면 행렬의 차수가 [math]\displaystyle{ n }[/math]일 때 [math]\displaystyle{ n }[/math]번 이하로 거듭제곱하면 영행렬이 됨을 증명할 수 있다. 단위행렬은 멱영행렬이 아니고, 따라서 멱영행렬은 당연히 가역이 아니다.
- 대각행렬(diagonal matrix)
- 주대각선 외의 원소가 0인 행렬이다. 주대각선의 원소가 [math]\displaystyle{ a_1,a_2,\cdots a_n }[/math]일 때, 대각행렬을 [math]\displaystyle{ \operatorname{diag}\left(a_1,a_2,\cdots a_n\right)= \begin{pmatrix} a_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_n \end{pmatrix} }[/math]로 표기한다. 자세한 내용은 대각행렬을 참조.
- 대칭행렬(symmetric matrix)
- [math]\displaystyle{ A = A^T }[/math]인 행렬이다. 모든 대각행렬은 당연히 대칭행렬이다. 모든 대칭행렬은 직교기저로써 대각화할 수 있다.
- 직교행렬(orthogonal matrix)
- [math]\displaystyle{ A A^T = A^T A = I }[/math]인 행렬이다. 직교행렬은 점곱을 보존하고, 나아가 길이와 거리도 보존한다.
아래 내용은 복소수체 [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math] 위의 행렬에 대해서만 정의된다.
- 켤레전치행렬(conjugate transpose matrix) [math]\displaystyle{ A^\ast }[/math]
- 정규행렬(normal matrix)
- [math]\displaystyle{ A A^\ast = A^\ast A }[/math]인 정사각행렬이다. 모든 정규행렬은 직교기저로써 대각화할 수 있다.
- 에르미트행렬(Hermitian matrix)
- [math]\displaystyle{ A = A^\ast }[/math]인 정사각행렬이다. 모든 에르미트행렬은 정규행렬이다.
- 유니터리행렬(unitary matrix)
- [math]\displaystyle{ A A^\ast = A^\ast A = I }[/math]인 정사각행렬이다. 유니터리행렬은 안곱을 보존하고, 나아가 길이와 거리도 보존한다. 모든 유니터리행렬은 정규행렬이다.