영어 : Division(Divide) / 일본어 : 除法(除算)・割り(-算)
정의[편집 | 원본 편집]
덧셈에 반대되는 연산인 뺄셈이 존재하듯이, 곱셈에 반대되는 연산도 존재하는데, 이를 나눗셈이라 한다. 어떤 식 [math]\displaystyle{ x\times y=z }[/math]을 [math]\displaystyle{ x }[/math]만의 식으로 정리시킬 때, 이를 [math]\displaystyle{ x=z\div y }[/math]로 표기하며, 여기서 [math]\displaystyle{ z }[/math]를 피제수(Dividend), [math]\displaystyle{ y }[/math]를 제수(Divisor)라 부른다. 각각 나누어지는 수, 나누는 수라는 뜻.
초등학교에서는 나눗셈 기호를 꼬박꼬박 써주지만, 분수를 배우고 나서는 그냥 슬래시(/)로 표기하는 경우가 많다. [math]\displaystyle{ x=z/y }[/math] 이렇게. 이렇게 쓰는 이유는 표기가 훨씬 간단해서이기도 하지만, 학년이 올라갈 수록 "무언가를 무언가로 나눈다"라는 개념보단 "무언가가 무언가로 나눠진 수"라는 개념을 더 많이 접하기 때문이다. 다르게 설명하면, ÷는 나눗셈이라는 연산을 나타내는 기호지만, /는 연산과 수를 동시에 나타낼 수 있기 때문에 /를 쓰는 것. 게다가 국제 표준화 기구에서는 ÷를 단순 산수 외에 쓰지 말 것을 권장하고 있다.
계산법[편집 | 원본 편집]
10÷5를 계산하고 싶다고 하자. 곱셈의 역연산임을 고려하여 저 연산을 해석하면, "5에 무엇을 곱해야 10이 나오는가"를 묻는 문제와 동일하다. 이렇게 생각하면 답이 2임을 별도의 계산 없이 쉽게 알 수 있다. 문제는, 수가 커지면 역연산으로 생각하는 것이 쉬워지지 않는다는 점이다. 1221÷11을 보고 "11에 111을 곱하면 1221이므로 답은 111이군!"라고 바로 생각할 수 있는 사람이 과연 몇이나 될까? 이를 해결하기 위해 쓰는 방법이 바로 초등학교에서 배우는 long division. 하는 방법은 각 자릿수에 대해 피제수를 넘지 않지 않게 제수에 수를 곱하여 빼주는 과정을 반복하는 것이다. 다만, 이 방법은 자연수와 0이 아닌 정수에 대해서만 성립한다.
유리수의 나눗셈은 의외로 간단한데, 두 유리수를 분수로 나타낸 뒤, 피제수에 제수의 역수를 곱하면 된다. 즉, [math]\displaystyle{ \frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c} }[/math]. 소수 표기 상태에서 나눗셈을 계산하고 싶다면 그냥 long division을 해준 뒤에 소수점을 제 위치에 찍어주면 끝. 무리수와 복소수로 가면 나눗셈을 계산한다는 것 자체에 큰 의미가 없으며, 그냥 분수 표기로 나타내는 걸로 끝낸다.
0으로 나누는 것은 일반적인 환에서는 해서는 안 된다. zero ring을 제외한 모든 환은 [math]\displaystyle{ 0\neq1 }[/math]을 가정하는데, 0으로 나누기를 허용하면 0=1을 얻어 모순이 생기기 때문. 다만, 0=1이 성립하는 zero ring에서는 0으로 나눠도 상관없다. 그런데 zero ring에서는 원소가 0 하나밖에 없어서 연산 자체의 의미가 없다는 것은 함정.
나눗셈을 어느 범위에서 정의하냐에 따라 나머지(Remainder)가 생길 수도 있다. 예를 들어, 10÷3을 자연수 범위에서 계산하면 나누어 떨어지지 않는데, 이 때는 long division을 가능한 범위에서 계속 해 주고, 나누어 떨어지지 않는 수는 나머지로 처리하면 된다. 더 자세한 것은 나눗셈 정리를 참조.
다른 나눗셈[편집 | 원본 편집]
- 다항식의 나눗셈: 두 다항식을 분수 형태로 나타내는 것으로 끝내기도 하지만, 유클리드 호제법을 사용하여 몫과 나머지를 구하기도 한다.
- 행렬의 나눗셈: 행렬의 나눗셈은 역행렬을 곱하는 것이며, 나눗셈 기호는 쓰지 않는다.
- 추상대수학에서: 행렬과 마찬가지로, 역원을 곱하는 것으로 대체한다.
분수[편집 | 원본 편집]
분수(fraction)는 정수 a를 0이 아닌 정수 b로 나눈 몫을 [math]\displaystyle{ {{a}\over{b}} }[/math]로 표시한 것. [math]\displaystyle{ a, b }[/math]가 양의 정수일 때에, 분수 [math]\displaystyle{ {{a}\over{b}} }[/math]는 [math]\displaystyle{ 1 }[/math]을 [math]\displaystyle{ b }[/math]등분 한 것이 [math]\displaystyle{ a }[/math]개 모인 것으로 생각할 수도 있고, [math]\displaystyle{ a }[/math]의 [math]\displaystyle{ b }[/math]에 대한 비 [math]\displaystyle{ a:b }[/math]의 값으로 볼 수도 있다.