쌍둥이 소수

Twin Prime

쌍둥이 소수는 (p, p+2)가 모두 정수인 숫자쌍을 의미한다.

2를 제외한 모든 소수는 홀수이므로, (2, 3)을 제외한 소수 사이의 최소 간격은 2이다. 쌍둥이 소수는 최소 간격을 두는 홀수 소수들을 묶은 것이다.

목록

(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619), ... (oeis:A077800)

성질

• (3, 5)를 제외한 모든 쌍둥이 소수는 [math]\displaystyle{ (6k-1,6k+1)\ (k \in \mathbb{N}) }[/math] 꼴로 표현된다.
• [math]\displaystyle{ p \gt 10 }[/math]일 때, [math]\displaystyle{ (p,p+2) }[/math]가 쌍둥이 소수이면 [math]\displaystyle{ p-2,p-4 }[/math]는 각각 9 이상의 3의 배수이므로 소수가 아니다. 즉 [math]\displaystyle{ (p-2,p), (p+2,p+4) }[/math]두 쌍은 쌍둥이 소수가 아니다.
  • 따라서 (3, 5)와 (5, 7)을 제외하고 [math]\displaystyle{ (p, p+2) }[/math]와 [math]\displaystyle{ (q, q+2) }[/math]가 각각 쌍둥이 소수이면, 두 소수쌍은 수가 서로 겹치치 않으며 [math]\displaystyle{ |p-q| \ge 6 }[/math]이다.
• 윌슨의 정리와 비슷한 형태로 쌍둥이 소수와 관련된 식이 있다.
  • [math]\displaystyle{ (p,p+2) }[/math]가 쌍둥이 소수이면 [math]\displaystyle{ 4(p-1)!+4 \equiv -p \pmod{p(p+2)} }[/math]이고, 그 역도 성립한다.

쌍둥이 소수 추측

쌍둥이 소수 추측은 쌍둥이 소수의 쌍이 무한히 많이 있을 것이라는 추측이다. 이것이 참인지는 아직 밝혀지지 않았다. 다만 (p, p+2)에 대해 둘 중 하나는 소수이고 다른 하나는 소수 또는 반소수(두 소수의 곱)가 되는 쌍까지 확대할 경우 무한히 많다는 것은 알려져 있다. 이를 천의 정리(Chen's theorem)라 부른다.

브룬의 정리(Brun's Theorem)에 따르면 [math]\displaystyle{ \sum_{p \in A} {\frac{1}{p}} }[/math]는 수렴한다. 여기서 [math]\displaystyle{ A }[/math]는 모든 쌍둥이 소수들의 집합이다. 만약 이 값이 발산했다면 쌍둥이 소수의 개수도 무한하다는 결론이 따라 나왔을 것이다. 물론 급수가 수렴한다고 해서 항의 개수가 유한하다고는 할 수 없다.

쌍둥이 소수의 개수

소수 계량 함수인 [math]\displaystyle{ \pi(n) }[/math]과 같은 맥락으로 쌍둥이 소수의 개수를 세는 함수인 [math]\displaystyle{ \pi_2(n) }[/math]를 생각해볼 수 있다. 가령 100 이하의 쌍둥이 소수는 8쌍이 있으므로 [math]\displaystyle{ \pi_2(10)=8 }[/math]이다.

아래 표는 1부터 [math]\displaystyle{ 10^n }[/math]까지의 쌍둥이 소수의 개수를 정리한 것이다.

[math]\displaystyle{ N }[/math]	[math]\displaystyle{ \pi_2(N) }[/math]
[math]\displaystyle{ 10^3 }[/math]	35
[math]\displaystyle{ 10^4 }[/math]	205
[math]\displaystyle{ 10^5 }[/math]	1,224
[math]\displaystyle{ 10^6 }[/math]	8,169
[math]\displaystyle{ 10^7 }[/math]	58,980
[math]\displaystyle{ 10^8 }[/math]	440,312
[math]\displaystyle{ 10^9 }[/math]	3,424,506
[math]\displaystyle{ 10^{10} }[/math]	27,412,679
[math]\displaystyle{ 10^{11} }[/math]	224,376,048
[math]\displaystyle{ 10^{12} }[/math]	1,870,585,220
[math]\displaystyle{ 10^{13} }[/math]	15,834,664,872
[math]\displaystyle{ 10^{14} }[/math]	135,780,321,665
[math]\displaystyle{ 10^{15} }[/math]	1,177,209,242,304
[math]\displaystyle{ 10^{16} }[/math]	10,304,195,697,298

알려진 가장 큰 쌍둥이 소수

2021년 12월까지 발견된 쌍둥이 소수 중 가장 큰 소수쌍은 [math]\displaystyle{ 2996863034895 \cdot 2^{1290000} \pm 1 }[/math]로, 십진법으로 풀어쓰면 38만 8342자리수가 된다.

아래 표를 보면 대다수의 큰 쌍둥이 소수는 [math]\displaystyle{ k \cdot 2^n \pm 1 (k\lt 2^n) }[/math] 형태를 하고 있다. 이는 큰 수의 소수 여부를 빠르게 알아내는 뤼카-레머-리젤 소수판정법이나 프로트의 정리를 적용할 수 있는 형태이기 때문이다.

순위	소수	자리수	발견 일시
1	[math]\displaystyle{ 2996863034895 \cdot 2^{1290000} \pm 1 }[/math]	388342	2016년 9월
2	[math]\displaystyle{ 3756801695685 \cdot 2^{666669} \pm 1 }[/math]	200700	2011년 12월
3	[math]\displaystyle{ 65516468355 \cdot 2^{333333} \pm 1 }[/math]	100355	2009년 8월
4	[math]\displaystyle{ 160204065 \cdot 2^{262148} \pm 1 }[/math]	78923	2021년 7월
5	[math]\displaystyle{ 12770275971 \cdot 2^{222225} \pm 1 }[/math]	66907	2017년 7월
6	[math]\displaystyle{ 70965694293 \cdot 2^{200006} \pm 1 }[/math]	60219	2016년 4월
7	[math]\displaystyle{ 66444866235 \cdot 2^{200003} \pm 1 }[/math]	60218	2016년 4월
8	[math]\displaystyle{ 4884940623 \cdot 2^{198800} \pm 1 }[/math]	59855	2015년 7월
9	[math]\displaystyle{ 2003663613 \cdot 2^{195000} \pm 1 }[/math]	58711	2007년 1월
10	[math]\displaystyle{ 17976255129 \cdot 2^{183241} \pm 1 }[/math]	55172	2021년 5월

같이 보기

• 사촌 소수: [math]\displaystyle{ (p,p+4) }[/math]가 소수쌍인 경우
• 섹시 소수: [math]\displaystyle{ (p,p+6) }[/math]이 소수쌍인 경우
• 세쌍둥이 소수
• 네쌍둥이 소수