브룬 정리(Brun's theorem), 또는 브룬 추측(Brun's conjecture)은 쌍둥이 소수의 역수의 합들을 모두 더한 것이 수렴한다는 정리이다. 이 수렴값은 브룬 상수(Brun's constant)로 불리우며 보통 [math]\displaystyle{ B_2 }[/math]로 표기한다.
진술[편집 | 원본 편집]
[math]\displaystyle{ p_1, p_2, \cdots }[/math]를 쌍둥이 소수 중 작은 수라 하자. 즉 [math]\displaystyle{ p_i\in\mathbb P \wedge (p_i+2)\in\mathbb P }[/math]를 만족한다고 하자. 그렇다면 다음 급수가 수렴한다:
증명[편집 | 원본 편집]
이하 쌍둥이 소수 세기 함수를 [math]\displaystyle{ \pi_2 (x) = \# (p: \, p\le x \wedge p \in \mathbb P \wedge (p+2) \in\mathbb P) }[/math]로 정의한다.
Lemma 1.[편집 | 원본 편집]
(Abel's summation formula) [math]\displaystyle{ a_n \;\; (n\in \mathbb N) }[/math]이 복소 수열이고 [math]\displaystyle{ \varphi(x) }[/math]가 일급 함수일 때, [math]\displaystyle{ A(x) := \sum_{0 \lt n\le x} a_n }[/math]이라고 하면
이다.
Proof. 먼저 정의에서 [math]\displaystyle{ A(\lfloor x \rfloor ) = A(x) }[/math]임을 안다. 따라서
Lemma 2.[편집 | 원본 편집]
(Mertens' third theorem보다 약한 명제) [math]\displaystyle{ \prod_{p\le x} \left( 1- \frac 1 p \right) \,=\, O\left(\frac{1}{\log x}\right) }[/math].
Proof. [math]\displaystyle{ \log (1-x) }[/math]의 Taylor expansion은 [math]\displaystyle{ \sum_{k \ge 1} \frac{x^k}{k} }[/math]로 주어지므로,
이다. 이때 처음의 항은 Mertens' second theorem에 의하여 [math]\displaystyle{ \sum_{p \le x} \frac 1 p = \log \log x + O\left(\frac 1 {\log x}\right) + C_0 }[/math] for some constant [math]\displaystyle{ C_0 }[/math]이고, [math]\displaystyle{ k \ge 2 }[/math]일 때 [math]\displaystyle{ \frac{1}{kp^k} \le \frac {1}{2 p^k} }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ \sum_p \sum_{k \ge 2}\frac{1}{kp^k} \le \sum_p \sum_{k \ge 2}\frac{1}{2p^k} = \sum_p \frac{1}{2(p^2 - p)} \le \sum_p p^{-2} \lt \infty }[/math]이고 이를 [math]\displaystyle{ C_1 }[/math]이라 하자. 마지막으로 [math]\displaystyle{ \sum_{p \gt x} \sum_{k \ge 2}\frac{1}{kp^k} \le \sum_{p \gt x} \sum_{k \ge 2}\frac{1}{2p^k} = \sum_{p \gt x}\frac{1}{2(p^2 - p)} \le \sum_{p \gt x} p^{-2} }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ \sum_{p \gt x} \sum_{k \ge 2}\frac{1}{kp^k}=O\left( \sum_{p \gt x} p^{-2} \right)=O\left( \frac 1 {\log x}\right) }[/math]이다. 따라서
이고, 양변에 exp를 취하면 증명이 끝난다.
Lemma 3.[편집 | 원본 편집]
실-유한수열 [math]\displaystyle{ \{a_i \} \in [0,1]^n }[/math]을 생각하자. [math]\displaystyle{ \sigma_k =\sum_{1 \le i_1 \lt \cdots \lt i_k \le n} a_{i _1}\cdots a_{i _k} }[/math]를 [math]\displaystyle{ k }[/math]-번째 symmetric sum이라고 하자. 그러면 모든 홀수 [math]\displaystyle{ k }[/math]와 짝수 [math]\displaystyle{ l }[/math]에 대하여 다음이 성립한다:
Proof. [math]\displaystyle{ n }[/math]에 대하여 귀납법을 사용한다. [math]\displaystyle{ n=1 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ 1-\sigma_1 = 1-a_1 \le 1 }[/math]이므로 OK. [math]\displaystyle{ n=m }[/math]일 때 참이라 가정하자. [math]\displaystyle{ n=m }[/math]일 때의 symmetric sum을 [math]\displaystyle{ \sigma_k }[/math], [math]\displaystyle{ n=m+1 }[/math]일 때의 symmetric sum을 [math]\displaystyle{ \sigma_k^* }[/math]로 표기하면 정의에 의하여
이다. 따라서
Lemma 4.[편집 | 원본 편집]
Proof. Brun's simple pure sieve를 이용한다. 일단 충분히 큰 [math]\displaystyle{ x }[/math]를 잡고 [math]\displaystyle{ y\le x }[/math]는 어떤 고정된(fixed) 수로 나중에 고르기로 하자. (즉, 어떠한 [math]\displaystyle{ y \le x }[/math]가 존재한다-식의 argument인 것이다.) 모든 [math]\displaystyle{ y }[/math] 이하의 홀수 소수 [math]\displaystyle{ p\le y }[/math]에 대하여 다음 집합을 정의하자:
[math]\displaystyle{ n\gt y }[/math]이고 [math]\displaystyle{ \exists p\le y: \; n\in A_p }[/math]이면 [math]\displaystyle{ n }[/math]이나 [math]\displaystyle{ n+2 }[/math] 중 하나가 합성수임은 당연하다. 즉 [math]\displaystyle{ q\le x }[/math]이고 [math]\displaystyle{ q\in\mathbb P \wedge (q+2)\in \mathbb P }[/math]인 [math]\displaystyle{ q }[/math]는 [math]\displaystyle{ A_p }[/math]의 원소가 아니거나, 그 원소이더라도 [math]\displaystyle{ q }[/math] 자체가 [math]\displaystyle{ p }[/math]이면 된다. 전자의 경우의 수는 [math]\displaystyle{ x-\left| \bigcup_{p\le y} A_p \right| }[/math]를 넘지 못하고, 후자의 경우의 수는 [math]\displaystyle{ y }[/math]를 넘지 못하므로, 가능한 [math]\displaystyle{ q }[/math]의 수는 [math]\displaystyle{ x+y-\left| \bigcup_{p\le y} A_p \right| }[/math]를 넘지 못함을 알 수 있다.
포함-배제 원리에 의하여, 모든 짝수 [math]\displaystyle{ l }[/math]에 대하여 다음이 성립한다:
이제 [math]\displaystyle{ \left| \bigcap_{i=1}^j A_{p_i} \right| }[/math]을 계산해보자. 중국인의 나머지 정리에 의하여, [math]\displaystyle{ p_1 p_2 \cdots p_j }[/math] 개의 연속된 수 안에는 정확히 [math]\displaystyle{ 2^j }[/math] 개의 [math]\displaystyle{ n\in \bigcap_{i=1}^j A_{p_i} }[/math]가 있으므로([math]\displaystyle{ n \equiv 0\mbox{ or }-2\mbox{ mod }p_i }[/math])
여기에서 [math]\displaystyle{ |\varepsilon(p_1, \cdots, p_j) \le 2^j| }[/math]이다. 따라서, [math]\displaystyle{ \sigma_k }[/math]를 집합 [math]\displaystyle{ \left\{ \frac 2 p : \; p\le y\right\} }[/math]의 [math]\displaystyle{ k }[/math]-th symmetric sum이라고 하면,
이다. 여기서 오차항(error term) [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math]의 수는 [math]\displaystyle{ (y/2)^l }[/math] 개보다 적으므로, [math]\displaystyle{ \sum\varepsilon \le y^l }[/math]이다. Lemma 3.에 의하여,
이다. 이때
이고, 또한 Lemma 2., 또는 거창하게 Mertens' third theorem에 의하여,
을 얻는다. 이때 [math]\displaystyle{ l \approx 4e^2 \log\log x }[/math], [math]\displaystyle{ y=x^{1/(100 \log \log x)} }[/math]으로 잡으면 조건을 만족하며,
이다.
Brun's Theorem의 증명[편집 | 원본 편집]
Proof of Brun's Theorem. [math]\displaystyle{ \pi_2 (x) \lt C_0 \frac{x (\log \log x)^2}{(\log x)^2}\lt C \frac{x}{(\log x)^{3/2}} }[/math] for all [math]\displaystyle{ x\ge 2 }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ n = \pi_2(p_n) \lt C \frac{p_n}{(\log p_n)^{3/2}} \le C \frac{p_n}{(\log n)^{3/2}} }[/math] for [math]\displaystyle{ n\ge 2 }[/math]이다. 따라서 [math]\displaystyle{ \frac 1 {p_n} \lt \frac C {n(\log n)^{3/2}} }[/math] for [math]\displaystyle{ n\ge 2 }[/math]이고,
으로 증명이 완료된다.
브룬 상수의 값[편집 | 원본 편집]
Brun 상수의 정확한 값은 알려진 바가 없다. 2002 년에 Pascal Sebah와 Patrick Demichel이 1016 정도까지의 소수의 역수의 합을 구하여 외삽법을 이용하여 추정한 Brun 상수의 값은 약 1.902160583104이다. Dominic Klyve은 확장된 리만 가설을 이용하여 [math]\displaystyle{ B_2 \lt 2.1754 }[/math]임을 증명하였다.
쌍둥이 소수 추측과의 관계[편집 | 원본 편집]
비록 Brun의 정리가 놀라운 결과이기는 하지만, 안타깝게도 쌍둥이 추측에는 거의 영향을 주지 못한다. 물론 쌍둥이 소수의 빈도가 갈수록 작아진다는 것을 보여주기는 하지만, 이것이 쌍둥이 소수 추측을 증명하거나 반증할 수 없다. 수해라 일학자!
참고문헌[편집 | 원본 편집]
- Allison Berke. An Introduction to The Twin Prime Conjecture (2006). http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-104-seminar-in-analysis-applications-to-number-theory-fall-2006/projects/berke.pdf 에서 2016.01.19.에 확인.
- Art of Problem Solving
- Wolfram MathWorld