그린-타오 정리

그린-타오 정리(Green–Tao theorem)는 유한한 등차수열 패턴을 띠는 소수 순서쌍의 존재성을 다루는 정리이다. 벤 그린과 테렌스 타오가 이 정리를 증명하였다.

진술

길이가 임의로 주어진 자연수 등차수열 [math]\displaystyle{ a, a+b, a+2b, \cdots a+b(n-1) }[/math]이 있을 때, 이들 수가 모두 소수가 되게 하는 자연수 [math]\displaystyle{ a, b }[/math]는 반드시 존재한다.

짧은 길이의 경우 아래와 같은 예를 생각할 수 있다.

• 길이 3: (3, 5, 7), (11, 17, 23), (7, 19, 31), (31, 37, 43), …
• 길이 4: (11, 17, 23, 29), (7, 19, 31, 43), (17, 29, 41, 53), …
• 길이 5: (5, 11, 17, 23, 29), (7, 37, 67, 97, 127), (11, 41, 71, 101, 131), …
• 길이 6: (7, 37, 67, 97, 127, 157), …
• 길이 7: (7, 157, 307, 457, 607, 757, 907), …

길이가 비교적 긴 알려진 소수들로 아래 예가 있다. 여기서 [math]\displaystyle{ p\text{#} }[/math]는 소수 계승으로, [math]\displaystyle{ 23\text{#}=223092870 }[/math]이다.

• 길이 26: [math]\displaystyle{ 43142746595714191 + 23681770 \cdot 23\text{#} \cdot n,\ 0 \leq n \leq 25 }[/math] (OEIS의 수열 A204189)
• 길이 27: [math]\displaystyle{ 224584605939537911 + 81292139 \cdot 23\text{#} \cdot n,\ 0 \leq n \leq 26 }[/math] (OEIS의 수열 A327760)

정리의 확장

임의의 정수 [math]\displaystyle{ m }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ P(m) }[/math]이 언제나 정수이고 상수항이 0인 다항식 [math]\displaystyle{ P_1(x), P_2(x), \cdots P_{n-1}(x) }[/math]가 있다. 이때 다항식의 식이나 개수가 어떻게 주어지든 [math]\displaystyle{ a, a+P_1(m), a+P_2(m), \cdots a+P_{n-1}(m) }[/math]이 모두 소수가 되게 하는 정수 [math]\displaystyle{ a, m }[/math]은 반드시 존재하고, 그 개수는 무한하다.

앞서 소개한 정리는 일차다항식, 즉 [math]\displaystyle{ P_k(x)=kx }[/math]인 경우로 볼 수 있다.

기타

길이가 [math]\displaystyle{ n }[/math]이고 첫 항이 [math]\displaystyle{ n }[/math]보다 큰 소수 등차수열을 찾고 싶다면, 그 수열의 공비는 [math]\displaystyle{ p\text{#} }[/math]의 배수여야 한다. 단, 여기서 [math]\displaystyle{ p }[/math]는 [math]\displaystyle{ n }[/math] 이하의 자연수 중 가장 큰 소수이다.